賈天一, 高婧潔, 申曉紅, 劉宏偉

(1. 西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室, 陜西 西安 710071;2. 西北工業(yè)大學航海學院, 陜西 西安 710072; 3. 長安大學信息工程學院, 陜西 西安 710064)

0 引 言

水下航行器的高精度自定位在導航、監(jiān)視、海底測繪、水下搜救等諸多應用中具有至關重要的作用。一般情況下,航行器可通過自身裝備的慣性導航或航位推算系統(tǒng)使用慣性測量單元(inertial measurement unit, IMU)或多普勒速度儀(Doppler velocity logs, DVL)來估計航行器的位置。然而,這一類方法很難避免位置誤差的無限累積。由于這種累積誤差會隨著時間的增長而無限制增長,如果長期不采用其他技術進行校正,定位誤差將繼續(xù)增大,導致定位性能隨著運行時間的增長而下降。因此,在一些水下長時間的任務場景中,需要通過其他方法進行位置校正。

一種方法是通過全球定位系統(tǒng)(global positioning systems, GPS)進行位置校正。但是由于傳播介質水對電磁波的強衰減作用,GPS的電磁波信號在水下只能傳播幾米的距離。進而導致航行器必須上浮至水面附近才能接收到GPS信號。這種操作,尤其是在深海情況下,是非常耗能費時的。另一種方法是利用水下聲學定位系統(tǒng),例如長基線(long baseline, LBL)系統(tǒng)進行航行器定位。這類系統(tǒng)通過測量航行器與已知位置應答器之間的雙程傳播時間(two-way travel time, TWTT)來進行定位,這種定位機制可以克服上述慣性導航定位方法的缺陷,能夠提供一個有界的、長期的高精度定位。但同時,該類方法的定位精度也會受到時間測量噪聲和水聲信號傳播速度不確定的影響。

針對運動水下航行器自定位的研究盡管已經取得了許多進展,但是為了簡化研究,通常會忽略測量周期內航行器運動帶來的影響。在測量周期內,由于水聲信號的長傳播時延以及航行器的運動特性,造成航行器接收到來自不同應答器回復信號的位置并不相同,并且航行器位置的變化與航行器運動速度和信號傳播時間有關?，F(xiàn)代的水下航行器往往具有高速行駛能力,在測量周期中忽略航行器的運動是導致其定位性能下降的主要因素之一。

已有研究驗證了在定位中考慮航行器運動可有效提高定位性能。文獻[20]利用擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)構造了一種組合導航算法,并進行了實驗驗證。文獻[21]提出了一種貝葉斯方法來補償航行器運動，以獲得更好的定位精度。文獻[23]和文獻[24]分別提出了運動航行器位置估計的近似解和修正解。但是包括上述方法在內的傳統(tǒng)方法尚未考慮聲速不確定帶來的影響。

在水下環(huán)境中,聲速會隨著溫度、鹽度和深度的變化而變化。這意味著聲速既是時變的，也是空變的。因此,針對聲速的不確定性,一些研究者提出將聲速建模為未知的確定性常數(shù),即聲速完全未知,需要結合測量進行估計;還有一些研究者采用聲速剖面進行建模,用于構建聲速的空間特征。盡管聲速剖面只是關于深度的函數(shù),但該模型仍然很復雜。

針對水下復雜環(huán)境的聲速建模,本文假設在一個很短的測量周期內,聲速是與時間無關的未知常數(shù)。在每個測量周期內,可以獲得聲速的名義值(例如可采用水下航行器上裝備的聲速測量儀獲得)。但是由于水下復雜環(huán)境因素和測量方法限制,獲得的名義聲速通常存在誤差,因此本文將聲速名義值建模為真實值的測量值,即測量的聲速受到了噪聲的污染。本文基于該假設研究聲速不確定條件下的運動航行器定位問題,利用加權最小二乘(weighted least squares, WLS)方法估計航行器位置，研究利用最大似然(maximum likelihood, ML)估計法將獲取的聲速更新為更準確的值。

1 信號模型

圖1 運動航行器自定位場景Fig.1 Localization scenario of a moving vehicle

假設應答器的反應時間和信號處理時間可以忽略不計,信號傳播時間的真實值可表示為

(1)

(2)

(3)

然而,測量航行器獲取的傳播時間會受到噪聲的污染,將獲取的個時間測量表示為向量形式

=[,,…,]=+Δ

(4)

前文已經提到,如水下環(huán)境中，很難準確測量聲速。由于受到溫、鹽、壓等因素的影響,聲速是時變空變的。因此,在定位中航行器不可能獲得聲速的真實值,獲取的只是聲速的單次測量值。本文將獲取聲速建模為關于真實值的觀測:

=+Δ

(5)

2 基于WLS的目標定位方法

2.1 第一步求解

對式(3)進行變形,可以得到

(6)

將(-)移到等式左側,兩邊同時平方后整理可得

(7)

(8)

式中:

(9)

(10)

式中:

式(10)的WLS解可以表示為

(11)

其中,加權矩陣可由下式計算得到:

(12)

需要注意的是，由于加權矩陣依賴于位置真實值,在計算時可首先將近似為單位陣,通過式(11)計算出一個初始值,然后更新后，再利用式(11)計算得到第一步的最終結果。

2.2 第二步求解

(13)

(14)

式中:

式(14)的WLS解可以表示為

(15)

其中,加權矩陣可由下式計算得到:

(16)

航行器位置的最終估計結果可由下式計算得到:

(17)

其中，符號函數(shù)sign為了保證最終估計的位置結果，正負號與第一步計算結果一致。

3 基于ML估計的聲速更新方法

上述基于WLS的定位方法只能求解目標位置,事實上,可以聯(lián)合時間觀測和聲速觀測進一步更新聲速。本節(jié)將利用ML估計法更新聲速。時間測量和聲速的聯(lián)合分布密度函數(shù)可寫為

(,)=(|)()

(18)

式中:表示時間測量的似然函數(shù);表示聲速的分布函數(shù)。對式(18)取對數(shù)后并忽略常數(shù)項,可得

(19)

定義未知變量=[(),],對其進行變形可得關于未知變量的目標函數(shù):

(20)

對于式(20),可以采用Gauss-Newton迭代法求解,迭代公式可寫為

(21)

式中:

式(21)中的初始值可通過前文基于WLS的目標定位方法以及聲速測量給出,即=[,]。

事實上,在ML估計法中,除了可以返回聲速估計外,也可以返回位置估計。該位置估計結果和WLS的估計結果幾乎不存在差異,并且根據(jù)大量仿真實驗結果可知,二者在小噪聲條件下均可以達到克拉美羅下界(Cramer-Rao lower bound, CRLB)。另一方面,ML估計法也可以直接實現(xiàn)兩個參數(shù)的同時聯(lián)合估計,但是ML估計受限于初始值的選取。本文利用WLS方法提供位置估計,作為算法初始值,以獲得聲速的更新。

4 理論性能

理論性能主要包括理論定位精度和提出算法的復雜度分析。理論定位精度主要通過CRLB來描述,算法復雜度主要通過涉及的乘法運算次數(shù)衡量。

4.1 CRLB

CRLB建立了無偏估計誤差協(xié)方差矩陣的下界。下面推導位置向量和聲速的CRLB。定義未知變量的CRLB矩陣為

(22)

代入式(19),并取期望可得

(23)

式中:

?()?的第列和??的第個元素為

對式(23)利用分塊矩陣求逆公式,可得目標位置和聲速的CRLB分別為

(24)

4.2 算法復雜度

WLS方法的計算效率主要受到第一步中矩陣求逆的影響,其復雜度可近似表示為(),其中表示應答器數(shù)目。ML估計法主要受到迭代次數(shù)和每次迭代中的求逆運算影響,其復雜度可近似表示為((+1))?？梢钥闯?ML估計法的復雜度較大,特別是當?shù)螖?shù)增加時。

5 仿真實驗和結果分析

仿真中,采用9個應答器,其坐標位置詳見表1。

表1 應答器坐標位置Table 1 Positions of transponders m

(25)

式中:()表示對真實值的估計量;表示蒙特卡羅實驗次數(shù)。除非特別說明,本文中一般取=5 000。在仿真中，對文獻[25]中的聯(lián)合(位置和聲速)估計法。文獻[23]中的運動航行器定位近似解以及文獻[24]中的運動航行器定位修正解的性能進行了對比。

5.1 定位結果和分析

圖2 500次蒙特卡羅實驗定位結果分布圖Fig.2 The output distribution of different methods obtained from 500 Monte Carlo simulations

圖3給出了各個方法在距離測量方差增加時的定位性能。聲速標準差設置為=5 m/s,航行器運動速度為10 m/s?？梢钥闯?本文所提的方法,即基于WLS的目標定位方法,在距離測量噪聲不大(小于10m)時都可以達到CRLB,而文獻中已有方法的性能均不理想,特別是在小噪聲時,3種方法都不能達到CRLB。具體原因如下:文獻[25]中的聯(lián)合估計法,可以通過時間測量同時估計目標位置和信號傳播速度(聲速)。但是該方法是基于靜態(tài)的定位情景提出來的,即在定位模型中忽略了航行器的運動,從而導致面向運動航行器定位時,定位精度不高。盡管文獻[23]的修正解和文獻[24]的近似解都是針對運動航行器的定位解,但是二者均未考慮聲速不確定性對求解方法的影響,因此定位性能較差。

圖3 距離測量方差對定位性能的影響Fig.3 Effect of range measurement variance to localization performance

圖4給出了聲速標準差增加時,不同方法的定位性能,其中距離測量噪聲參數(shù)設置為=1 m,航行器運動速度為10 m/s?？傮w可以看出,本文所提方法在圖中所示的參數(shù)變化范圍內,都可以達到CRLB。而定位近似解和定位修正解由于在模型中沒有考慮聲速的不確定性,所以RMSE隨著聲速標準差的增大而明顯增大。當聲速標準差接近于0時,二者性能接近于本文所提方法的定位性能。聯(lián)合估計法將聲速視為未知量,其定位性能不會受到聲速標準差的影響。

圖4 聲速標準差對定位性能的影響Fig.4 Effect of sound speed standard deviation to localization performance

圖5給出了航行器運動速度增加時,不同方法的定位性能,其中距離測量噪聲參數(shù)設置為=1 m,聲速標準差設置為=5 m/s。同樣,本文所提方法在所示速度范圍內,均可達到CRLB。由于聯(lián)合估計法基于靜態(tài)定位情景,忽略了航行器的運動,其定位性能主要受到航行運動速度的影響,且隨著運動速度的增大,定位性能下降。當航行器運動速度接近于0時,聯(lián)合估計方法的定位性能接近于本文所提方法的性能。由于定位近似解和定位修正解都是針對運動航行器的定位解,因此二者性能并未受到航行器運動速度變化的影響。

圖5 航行器運動速度對定位性能的影響Fig.5 Effect of vehicle motion speed to localization performance

5.2 聲速更新結果和分析

上述涉及的3種已有算法中,只有聯(lián)合估計法可以估計聲速。因此,本小節(jié)對比聯(lián)合估計法,研究本文所提基于ML估計的聲速更新性能。聲速仿真結果圖例中的“CRLB”表示本文第4節(jié)中推導的CRLB,而圖例中“聲速完全未知的CRLB”是在假設聲速完全未知的定位情景下,僅通過時延測量信息同時估計目標位置和聲速時,聲速所對應的CRLB。

圖6給出了距離測量噪聲對聲速更新的影響,仿真參數(shù)設置與圖3相同。可以看出,本文所提方法在所示噪聲方差變化范圍內都可以達到CRLB,并且在噪聲不大(小于10m)時,聲速更新的RMSE優(yōu)于原始聲速標準差(5 m/s)。而聯(lián)合估計法未能達到CRLB,但是其聲速估計性能在噪聲較小時保持恒定,在噪聲較大時接近于聲速未知時的CRLB。

圖6 距離測量方差對聲速更新的影響Fig.6 Effect of range measurement variance to sound speed update

圖7展示了聲速標準差對聲速更新的影響,其仿真參數(shù)設置與圖4相同。聯(lián)合估計法的聲速估計性能未能達到CRLB,但性能維持恒定。本文所提方法的聲速估計性能受聲速標準差影響不明顯,特別是在聲速標準差相對較大時,此時的性能接近于聲速未知時的CRLB。也就是說,在聲速標準差很大時,相比于時間測量,由聲速測量獲得的信息幾乎可以忽略不計,此時可將聲速視為未知量。

圖7 聲速標準差對聲速更新的影響Fig.7 Effect of sound speed standard deviation to sound speed update

圖8展示了航行器運動速度對聲速更新的影響,其仿真參數(shù)設置與圖5相同。聯(lián)合估計法的速度估計主要受到航行運動速度的影響,且隨著運動速度的增大性能下降。當航行器運動速度接近于0時,聯(lián)合估計方法的性能接近于本文所提方法的速度估計性能。這一結論與圖5所得定位性能結論一致。

圖8 航行器運動速度對聲速更新的影響Fig.8 Effect of vehicle motion speed to sound speed update

6 結 論

本文針對聲速不確定條件下的運動水下航行器自定位問題,構建了運動狀態(tài)下的時間測量定位模型,并對聲速不確定性建模。推導了基于WLS的目標定位方法和基于ML的聲速更新方法。仿真結果驗證了相比于文獻已有的聯(lián)合估計法、定位近似解和定位修正解,本文所提定位方法在各種仿真條件下性能突出,均能達到相應的位置估計CRLB;而相比于聯(lián)合估計法給出的聲速估計結果,基于ML的聲速更新方法也能達到聲速估計的CRLB。綜上所述,本文所提方法提升了現(xiàn)有方法的定位性能。