陳硯圃，楊一鳴，解云虹，丁海洋

一種基于準均勻采樣的電力諧波分析方法

陳硯圃1，楊一鳴1，解云虹2，丁海洋2

(1.西京學(xué)院計算機學(xué)院，陜西 西安 710123；2.國防科技大學(xué)信息通信學(xué)院試驗訓(xùn)練基地，陜西 西安 710106)

針對電力諧波的準同步加窗分析法存在所用信號周期多、計算復(fù)雜和諧波泄漏分布不均勻等問題，基于準均勻采樣提出了一種僅需1個信號周期特別適于單片機快速、準確實現(xiàn)的電力諧波分析方法。準均勻采樣的時間離散誤差不隨連續(xù)采樣而積累，在1個信號周期內(nèi)取2的整數(shù)次冪個同步采樣點，直接采用FFT算法即可實現(xiàn)諧波分析?；谛盘柕幕ń?，并假設(shè)信號采樣時的時間離散誤差和幅值量化誤差均服從均勻分布，對采用準均勻采樣的電力諧波估計誤差進行了分析。給出了基于準均勻采樣電力諧波分析的算法和具體實現(xiàn)流程，流程中通過長整型變量對采樣時間進行精確控制，算法簡單高效。最后對準均勻采樣諧波分析算法進行了仿真，結(jié)果表明基于通用單片機即可實現(xiàn)電力諧波的快速、準確分析。

電力諧波分析；準均勻采樣；準同步采樣；頻譜泄漏；單片機

0 引言

近年來，大量固態(tài)開關(guān)器件在電力設(shè)備中的廣泛應(yīng)用導(dǎo)致電網(wǎng)的諧波污染日趨嚴重，另一方面，隨著泛在電力物聯(lián)網(wǎng)的全面建設(shè)，對電網(wǎng)諧波動態(tài)監(jiān)測終端的需求日益劇增，急需能夠?qū)﹄娏χC波進行實時、準確測量的有效嵌入式解決方案。

理論上只要對電力信號進行整周期截斷和均勻、同步采樣，利用離散傅里葉變換(DFT)即可實現(xiàn)電力諧波的無誤差分析[1-3]。但電網(wǎng)工作頻率存在小幅波動，且采樣間隔又只能取單片機定時時鐘周期的整數(shù)倍，實際中難以做到信號的整周期截斷和均勻、同步采樣?；跀?shù)字采樣的電力諧波分析主要有同步采樣[4]、雙速率采樣[5]、準同步采樣[6]、窗函數(shù)加權(quán)[7]和頻譜補償[8]等多種方法。同步采樣法通過引入鎖相環(huán)倍頻電路可實現(xiàn)采樣與電力信號的同步，但當信號波動或受到干擾時鎖相環(huán)會出現(xiàn)失鎖現(xiàn)象。雙速率采樣法通過動態(tài)調(diào)整兩個不同的采樣間隔與采樣點數(shù)可消除采樣間隔的積累誤差，但無法直接借助FFT算法實現(xiàn)快速計算。準同步采樣法結(jié)合信號加窗[9-17]可有效抑制諧波間的泄漏干擾，但需借助多個信號周期進行分析，降低了實時性。頻譜補償法先精確測得信號頻率[9,18-19]，再通過譜線插值[20-23]對柵欄效應(yīng)帶來的諧波誤差進行補償，但計算較為復(fù)雜。

針對現(xiàn)有方法存在的實時性差、計算復(fù)雜和諧波泄漏分布不均勻等問題，受直接數(shù)字頻率合成(DDS)原理的啟發(fā)，提出一種基于準均勻采樣的電力諧波分析方法。該方法能夠使采樣過程與信號周期同步，并且1個周期內(nèi)的采樣點數(shù)可固定在2的整數(shù)次冪，實時性好且計算快。

受定時時鐘周期的影響，實際的采樣時間與均勻采樣時間之間存在偏差，準均勻采樣不是嚴格的均勻采樣，諧波分析存在誤差。但隨著技術(shù)的發(fā)展，單片機的時鐘頻率已顯著提高，定時時鐘周期對諧波分析的影響也隨之減小。

1 采用準均勻采樣的諧波分析

由DFT的定義，給出復(fù)諧波系數(shù)

當＞2時，滿足奈奎斯特采樣定理，則第次諧波的幅度和相位分別為

式中：round(·)為四舍五入取整；t相對t的偏差在±c/2之內(nèi)。實際的離散采樣序列為

2 誤差分析

對基于準均勻采樣的諧波分析，采樣時間的離散和幅值的量化均會引入諧波分析誤差。以式(5)給出的采樣時間t對信號進行采樣，得到信號的準均勻采樣時間序列為

基波通常是電力信號的主要成分，忽略其他諧波對誤差的作用，則時間離散誤差序列可進一步近似為

對式(7)做DFT，得

式(12)給出的標準差用于表示時間離散引起的諧波分析誤差。定時時鐘周期越小、采樣點數(shù)越多，諧波分析的誤差就越小。另外式(12)與諧波次數(shù)無關(guān)，說明時間離散引起的誤差在各次諧波上呈均勻分布，有利于小幅諧波的有效分析。

式(14)給出的標準差用于表示幅值量化引起的諧波分析誤差。量化結(jié)果的有效位數(shù)越長、采樣點數(shù)越多，諧波分析的誤差越小。類似于時間離散，幅值量化對應(yīng)的諧波誤差在各次諧波上也呈均勻分布。

第次諧波相位的平均誤差為

雖然增加采樣點數(shù)能夠減小諧波分析誤差，但考慮到單片機的內(nèi)存有限，采樣點數(shù)在滿足采樣定理的基礎(chǔ)上不宜過大。

3 準均勻采樣諧波分析算法

為了使各離散采樣時間盡可能滿足均勻、同步采樣的要求，采用長整型數(shù)表示采樣間隔s并用于對采樣時間的遞增控制，以使經(jīng)過次采樣后時間的積累誤差幾乎可以忽略不計。對采樣時間的控制由單片機的定時器完成，定時計數(shù)器常用的自動重裝加1、自動重裝減1以及連續(xù)加1等工作模式均可用于對采樣時間的控制。定時器的工作計數(shù)器cnt有cnt個二進制位，其定時時鐘周期為c。這里采用連續(xù)加1工作模式，當工作計數(shù)器cnt連續(xù)增加到預(yù)設(shè)的計數(shù)值時會自動觸發(fā)一次采樣中斷申請。為了方便，引入以下幾個整型變量：sum為sum個二進制位的時間計數(shù)累加和，記錄采樣的精確時間；add為更新sum的累加增量；ov為預(yù)設(shè)的采樣觸發(fā)計數(shù)值，對應(yīng)下一次采樣的觸發(fā)時間。

每次觸發(fā)采樣時，用于更新時間計數(shù)累加和的累加增量為

式中，int(·)為取整函數(shù)。add的值為s/c放大取整后的結(jié)果，低f位對應(yīng)s/c的小數(shù)部分。只要f選的足夠大，由add累加得到的sum就足夠精確。預(yù)設(shè)的采樣觸發(fā)計數(shù)值ov取自sum的高cnt位，用于和工作計數(shù)器cnt的動態(tài)值進行比較以觸發(fā)采樣中斷。雖然每次采樣時間的偏差均在±c/2之內(nèi)，但連續(xù)次采樣后不會產(chǎn)生時間積累誤差，保證了采樣過程與信號周期的同步。

綜上所述，基于準均勻采樣的諧波分析算法的流程如下：

①?累加計數(shù)初始化：

cnt=0；

acc=0；

add=int((2^f)*r/(*c))；

②?啟動一次采樣；

③?預(yù)設(shè)下一次采樣觸發(fā)計數(shù)值：

acc=acc+add；

ov=round(acc/(2^(sum-cnt))；

④?等待本次采樣結(jié)束，并保存采樣數(shù)據(jù)；

⑤?等待預(yù)設(shè)定時時間到(cnt=ov)；

⑥?若尚未完成次采樣，轉(zhuǎn)②；

⑦?對個采樣數(shù)據(jù)做FFT，完成一次諧波計算。

4 仿真分析

仿真實驗中的被測信號為基波頻率r= 49～ 51 Hz的交流電壓信號，含有5個不為0的諧波分量，最高諧波次數(shù)為49，基波和各次諧波的幅度和相位如表1所示。其中各次諧波(含基波)的幅度用有效值表示，被測信號的總有效值為100.13 V。仿真中基波頻率以0.01 Hz的步長在49～51 Hz內(nèi)變化，共有201個基頻測試點，每次諧波分析的信號起始點隨機給出。每周期中的采樣點數(shù)= 128，可以有效測出64次諧波以內(nèi)各次諧波的幅度和相位。時間計數(shù)累加和sum、累加增量add均為32位的二進制整數(shù)，工作計數(shù)器cnt和采樣觸發(fā)計數(shù)值ov均為16位的寄存器。

表1 實驗信號的參數(shù)

仿真中，定時時鐘周期c分別取10 μs、1 μs、0.1 μs和0.01 μs，由式(12)可以給出相應(yīng)的諧波幅度分析的標準差分別為11 mV、1.1 mV、0.11 mV和0.011 mV；采樣時幅值量化的位數(shù)分別取10、12、14和16，由式(14)可以得出相應(yīng)的諧波幅度分析的標準差分別為12 mV、3.0 mV、0.74 mV和0.19 mV。

表2和表3給出的是定時時鐘周期c分別取10 μs、1 μs、0.1 μs和0.01 μs，不計入采樣量化誤差時各次諧波幅度估計的標準差和相位估計的平均誤差。從表2的結(jié)果可以看出：時間的準均勻離散給各次諧波幅度估計帶來的誤差基本一致，且與式(12)的計算值非常吻合；隨著c的減小，各次諧波幅度的誤差成比例減小，即使當c= 10 μs時該誤差也僅為10 mV的量級。由表3的數(shù)據(jù)可知：信號諧波的幅度越小，相位估計誤差就越大；隨著c的減小，相位估計誤差成比例減小，即使當c= 10 μs時對幅度僅為0.1 V的諧波仍能給出5°量級的分析結(jié)果。

表2 不同定時時鐘周期對應(yīng)的幅度標準差

表3 不同定時時鐘周期對應(yīng)的相位平均誤差

實際上，目前單片機的系統(tǒng)時鐘頻率普遍在十至上百MHz，定時時鐘周期小于0.1 μs。對100 V量級的交流電，時間離散在各次諧波引入的幅度標準差僅為0.1 mV量級或更低，對1 mV以上的諧波均能進行有效分析。因而在一般情況下，準均勻采樣過程中的時間離散對諧波分析的影響可以忽略。

表4和表5給出的是幅度量化位數(shù)分別取10、12、14和16，不計入時間離散時各次諧波幅度估計的標準差和相位估計的平均誤差，由表4的結(jié)果可以看出：采樣量化位數(shù)給定時各次諧波幅度估計的誤差基本一致，且與式(14)的計算值非常吻合；隨著的增加，各次諧波幅度的誤差成比例減小，即使當= 10時該誤差也僅為10 mV的量級。由表5的數(shù)據(jù)可知：信號諧波的幅度越小，其相位估計誤差就越大；隨著的增大，相位分析誤差成比例減小，但即使當= 10時對幅值僅為0.1 V的諧波仍能給出±5°量級的估計結(jié)果。

目前，內(nèi)置10位和12位ADC的單片機最為普遍。對100 V量級的交流電，可分別對100 mV、10 mV以上的諧波進行有效分析。如對更小幅度的諧波進行分析，須選用內(nèi)置更高精度ADC的單片機。

表4 不同采樣量化對應(yīng)的幅度標準差

表5 不同采樣量化對應(yīng)的相位平均誤差

進一步，通過仿真實驗對準均勻采樣法與其他諧波分析法進行對比。由于準均勻采樣法只借助一個信號周期的采樣數(shù)據(jù)進行諧波分析，故只需與同樣只借助1個信號周期采樣數(shù)據(jù)的均勻采樣法和雙速率采樣法進行仿真分析。實驗信號仍由表1的參數(shù)構(gòu)建，信號頻率的變化范圍為49～51 Hz，1周期內(nèi)采樣128點。圖1是3種方法對第25次諧波的仿真結(jié)果，縱軸為諧波幅度的絕對誤差。均勻采樣(非同步采樣)與信號周期的不同步程度與信號頻率直接相關(guān)，因而諧波誤差明顯隨頻率變化，最大誤差接近30 mV；雙速率采樣由于能夠與信號周期同步，最大誤差接近10 mV，優(yōu)于均勻采樣；準均勻采樣諧波分析的效果最好，最大誤差僅為2 mV。

表6 同時計入離散和量化的幅度標準差

表7 同時計入離散和量化的相位平均誤差

圖1 準均勻、均勻(非同步)與雙速率采樣諧波分析誤差

5 結(jié)論

基于準均勻采樣法對電力信號進行采樣時，各離散采樣點的時間偏差均小于定時時鐘周期的一半，各離散采樣時間的偏差不會隨采樣的連續(xù)進行而不斷積累。準均勻采樣引入的諧波誤差為均勻分布于各次諧波的隨機干擾，這有利于弱諧波分量免于被相鄰強諧波分量的泄漏干擾所淹沒。假設(shè)準均勻采樣的時間離散偏差和幅度量化誤差均服從均勻分布，導(dǎo)出了諧波分析的誤差公式，給出了準均勻采樣諧波分析的具體算法與流程。新方法完成一次諧波分析只需一個信號周期內(nèi)2的整數(shù)次冪個采樣點，算法簡單高效且精度高，可廣泛應(yīng)用于各類嵌入式電網(wǎng)參數(shù)檢測終端。

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A power harmonic analysis method using quasi-uniform sampling

CHEN Yanpu1, YANG Yiming1, XIE Yunhong2, DING Haiyang2

(1. School of Computer Science, Xijing University, Xi'an 710123, China;2. Information and Communications Institute, National University of Defense Technology, Xi’an 710106, China)

There are problems of sampling in multiple signal periods, with high complexity and uneven harmonic leakage distribution in the quasi-synchronous windowing analysis method of the power harmonic. Thus a fast and accurate power harmonic analysis method suitable for MCU is proposed using quasi-uniform sampling. The time discrete error of quasi-uniform sampling does not accumulate with continuous sampling, so two integer power synchronous sampling points can be obtained in one signal cycle, and harmonic analysis can be realized directly with the help of a FFT algorithm. Based on the fundamental component approximation of the signal and assuming that the time discrete and amplitude quantization errors of signal sampling obey a uniform distribution, the power harmonic estimation error using quasi-uniform sampling is analyzed. The algorithm and specific implementation process of power harmonic analysis are given. In the process, the sampling time is accurately controlled by long integer variables, and the algorithm is simple and efficient. Finally, the quasi-uniform sampling harmonic analysis algorithm is simulated. The results show that fast and accurate power harmonic analysis can be realized based on a general purpose MCU.

harmonic analysis; quasi-uniform sampling; quasi-synchronization; spectral leakage; MCU

10.19783/j.cnki.pspc.220221

國家自然科學(xué)基金項目資助(61871387)

2022-02-23；

2022-04-26

陳硯圃(1963—)，男，通信作者，博士，教授，研究方向為信號處理、測控技術(shù)與儀器儀表；E-mail: ch80021@ 163.com

楊一鳴(1997—)，女，碩士研究生，研究方向為新型電力負荷與電能質(zhì)量分析。E-mail: 1119839497@qq.com

This work is supported by the National Natural Science Foundation of China (No. 61871387).

(編輯 魏小麗)