戰(zhàn)家治， 崔皆凡

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110000)

0 引 言

兩相混合式步進(jìn)電機(jī)因其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，常應(yīng)用于工業(yè)制造、自動(dòng)化、軍事、航空航天等領(lǐng)域，如機(jī)器人、機(jī)械手臂、印刷包裝設(shè)備、數(shù)控機(jī)床、精密儀器、雷達(dá)裝置等，步進(jìn)電機(jī)具有廣闊的發(fā)展前景[1-2]。在一般運(yùn)行條件下，步進(jìn)電機(jī)直接使用開(kāi)環(huán)控制就能得到較好的運(yùn)行特性，同時(shí)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、維護(hù)方便等優(yōu)點(diǎn)。但開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)存在振蕩區(qū)，跟蹤精度不高，且對(duì)系統(tǒng)突加負(fù)載，步進(jìn)電機(jī)可能產(chǎn)生失步、堵轉(zhuǎn)等問(wèn)題，除此之外，電機(jī)性能不僅易受負(fù)載變化影響，而且運(yùn)行時(shí)還會(huì)受參數(shù)攝動(dòng)、摩擦阻力因素以及運(yùn)行溫度等影響，使實(shí)現(xiàn)對(duì)步進(jìn)電機(jī)的精確控制的難度增大。傳統(tǒng)的 PID 控制難以滿(mǎn)足步進(jìn)電機(jī)實(shí)現(xiàn)高精度位置跟蹤的要求。因此，需要設(shè)計(jì)一種控制器使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的位置跟蹤性能以及較高的響應(yīng)速度。

反步設(shè)計(jì)法的基本思想是將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成不超過(guò)系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后為每個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)部分Lyapunov函數(shù)和中間虛擬控制量，一直“后退”到整個(gè)系統(tǒng)，將其集成起來(lái)完成整個(gè)控制律的設(shè)計(jì)。

目前已有文獻(xiàn)對(duì)反步控制方法進(jìn)行研究，例如，文獻(xiàn)[3]設(shè)計(jì)了一種魯棒反步控制器，提高了永磁同步直線電機(jī)的魯棒性，并且解決了高頻噪聲等問(wèn)題。文獻(xiàn)[4]將自適應(yīng)控制與反步控制用于內(nèi)置式永磁同步電機(jī)(PMSM)控制中，可以改善系統(tǒng)的抗干擾性。文獻(xiàn)[5]將系統(tǒng)辨識(shí)與反步控制結(jié)合，提高了伺服系統(tǒng)的魯棒性和轉(zhuǎn)速穩(wěn)定性，但是整個(gè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)比較復(fù)雜。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一種帶有積分環(huán)節(jié)的反步自適應(yīng)控制器并運(yùn)用在PMSM上，驗(yàn)證了在速度方面具有較好的魯棒性。文獻(xiàn)[7]將魯棒控制與反步控制相結(jié)合，提高了永磁同步直線電機(jī)的跟蹤精度，但仍存在一定的跟蹤誤差。文獻(xiàn)[8]采用了自學(xué)習(xí)滑模與自抗擾反步結(jié)合的控制方法，雖然具有較好的抗干擾性，但跟蹤精度仍不理想。文獻(xiàn)[9]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與反步控制結(jié)合，并運(yùn)用到PMSM中，得到了較好的位置跟蹤效果。

本文研究的兩相混合式步進(jìn)電機(jī)是一個(gè)具有非線性、多變量的系統(tǒng)，為了改善兩相混合式步進(jìn)電機(jī)的跟蹤性能，本文在已有的兩相混合式步進(jìn)電機(jī)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，提出了考慮電機(jī)電阻變化，黏滯系數(shù)變化以及負(fù)載擾動(dòng)情況下的兩相混合式步進(jìn)電機(jī)數(shù)學(xué)模型，并在單一反步控制的基礎(chǔ)上引入了徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和自適應(yīng)率，提出了基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)反步控制策略，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近系統(tǒng)的非線性部分，以抑制系統(tǒng)非線性的影響，同時(shí)設(shè)計(jì)自適應(yīng)率，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整,使反步控制器不過(guò)于依賴(lài)參數(shù)的選取，達(dá)到對(duì)變化對(duì)象、隨機(jī)擾動(dòng)等因素的良好控制效果,使系統(tǒng)具有較高位置跟蹤精度。

1 步進(jìn)電機(jī)數(shù)學(xué)模型

假設(shè)磁路線性且不飽和，忽略定子端部和極間漏磁，忽略定子軛部和極身磁阻，忽略永磁體漏磁。

則兩相混合式步進(jìn)電機(jī)在d-q坐標(biāo)下的電壓方程為[10]

(1)

式中：id和iq為d-q坐標(biāo)系下的直交軸電流；Ud和Uq為d-q坐標(biāo)系下的直交軸電壓；Rs為定子每相電阻；ωr為轉(zhuǎn)子的電角速度；Msr為定轉(zhuǎn)子之間互感的最大值，Im為假定把永磁體的磁場(chǎng)等效為轉(zhuǎn)子電流建立的磁場(chǎng)的電流值。

(1) 考慮電動(dòng)機(jī)運(yùn)行時(shí)溫度對(duì)電阻的影響，用R+R0代替Rs[11]：

(2)

(2) 電磁轉(zhuǎn)矩表示為

Te=Te0+Th+Tc

(3)

式中：Te0為基本電磁轉(zhuǎn)矩;Th為諧波轉(zhuǎn)矩;Tc為齒隙轉(zhuǎn)矩。

(3) 考慮到電機(jī)負(fù)載變化、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和摩擦系數(shù)等對(duì)機(jī)械方程的影響，則：

(4)

考慮到電機(jī)負(fù)載變化TL=TL0+ΔTL，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化J=J0+ΔJ，黏滯阻尼系數(shù)的變化B=B0+ΔB。則

(5)

綜合式(2)、式(3)和式(5)，可得兩相混合式步進(jìn)電機(jī)的數(shù)學(xué)模型：

(6)

式中：p為齒極對(duì)數(shù)。

2 基于RBF的反步控制器設(shè)計(jì)

因?yàn)閮上嗷旌鲜讲竭M(jìn)電機(jī)是一個(gè)典型的二階非線性系統(tǒng)[12]，其狀態(tài)方程可寫(xiě)為

(7)

式中：x1和x2為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，x1為電機(jī)運(yùn)行的轉(zhuǎn)子位置θ，x2為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ωr。

控制目標(biāo)是使輸出x1跟蹤期望軌跡xd，并且所有的信號(hào)有界。u為控制輸入矢量；f(x)是包含參數(shù)或非參數(shù)不確定性的非線性函數(shù)矢量，是需要利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近的部分；g(x)為與電機(jī)有關(guān)的系數(shù)。f(x)、g(x)的表達(dá)式為

(8)

定義角度誤差為z1=x1-xd，其中xd為指令信號(hào)，則:

(9)

基本的反演控制方法設(shè)計(jì)步驟如下:

第一步。定義Lyapunov函數(shù)

(10)

求導(dǎo)得：

(11)

(12)

第二步。定義Lyapunov函數(shù)

(13)

求導(dǎo)得：

(14)

(15)

c1、c2為反步控制器所選參數(shù)，并無(wú)實(shí)際物理意義。

將式(8)代入式(15)中可得：

(16)

式中：c2≥0。

則有：

(17)

由式(17)可得，V2(t)≤e-λtV2(0),如果t→∞，則z1→0，z2→0且指數(shù)收斂，從而x1→xd，且指數(shù)收斂，x2有界。

模型中f(x)是來(lái)自步進(jìn)電機(jī)運(yùn)行各個(gè)方面的不確定因素，是非線性項(xiàng)，包括電機(jī)運(yùn)行時(shí)的溫度變化、黏滯系數(shù)以及摩擦阻力變化等，影響著電機(jī)的響應(yīng)速度、穩(wěn)態(tài)誤差、跟蹤精度。由于f(x)是一個(gè)不確定項(xiàng)，本文采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行逼近。

3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)選取2-5-1，隱含層引入高斯基函數(shù)作為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，整個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)算法為

(18)

式中：x為網(wǎng)絡(luò)的輸入，分別為電機(jī)運(yùn)行的轉(zhuǎn)子位置θ和角速度ωr；j為隱含層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)；cj為高斯基函數(shù)第j個(gè)神經(jīng)元的中心向量；bj為高斯基函數(shù)第j個(gè)神經(jīng)元的基寬；h=[hj]T為網(wǎng)絡(luò)的高斯基函數(shù)的輸出；W*為網(wǎng)絡(luò)的理想權(quán)值；ε為網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，ε≤εN;εN為規(guī)定最小誤差。

網(wǎng)絡(luò)輸入取x=[x1x2]T，則網(wǎng)絡(luò)輸入為

(19)

-WTh(x)+ε

(20)

4 控制算法設(shè)計(jì)與分析

采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近f(x)，根據(jù)式(15)，此時(shí)的控制律為

(21)

式中：η≥0。

根據(jù)上述分析，重新設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)如下

(22)

式中：γ≥0。

z2[-WTh(x)+ε-ηsgn(z2)]=

z2ε-η|z2|

(23)

取自適應(yīng)律為

(24)

取η≥εN,則

(25)

5 仿真分析

為了驗(yàn)證RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與反步控制結(jié)合在兩相混合式步進(jìn)電機(jī)上的控制效果，一般進(jìn)行可仿真驗(yàn)證。所采用的電機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 電機(jī)的基本參數(shù)

針對(duì)上述電機(jī)，設(shè)計(jì)基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的步進(jìn)電機(jī)反步控制系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 RBF反步控制系統(tǒng)模型

仿真分別在空載和負(fù)載條件下，對(duì)電機(jī)位置環(huán)施加正弦信號(hào)和階躍信號(hào)進(jìn)行試驗(yàn)。RBF反步控制器參數(shù)如表2所示。

表2 RBF反步控制器參數(shù)

對(duì)電機(jī)施加幅值為3 rad的正弦位置信號(hào)，仿真時(shí)間為10 s，根據(jù)圖2所示的電機(jī)位置波形所示，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反步控制器的位置波形能較好地跟蹤給定的位置信號(hào)，而單一反步控制器波形不平滑，且跟蹤誤差較大。

圖2 正弦位置波形

圖3和圖4所示的分別是RBF反步控制和單一反步控制的正弦位置誤差波形，可以看出，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反步控制的位置誤差較小，且波動(dòng)較小，最大誤差為0.001 52 rad。而單一反步控制的位置誤差較大，最大誤差為0.111 8 rad。相比之下，改進(jìn)反步控制最大位置誤差僅占單一反步控制位置誤差的2%。

圖3 正弦信號(hào)下基于RBF反步控制位置誤差波形

圖4 正弦信號(hào)下單一反步控制正弦誤差波形

圖5所示的是電機(jī)帶10 N·m負(fù)載，從0運(yùn)行到10 rad的階躍波形圖像，可以看出，加入RBF的控制系統(tǒng)比單一反步控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差小，且響應(yīng)時(shí)間較短。

圖5 階躍波形

圖6和圖7所示的分別是RBF反步控制和單一反步控制的位置誤差波形，可以看出RBF反步控制系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間為0.885 s，與單一反步控制系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間1 s相比，響應(yīng)時(shí)間縮短了0.115 s，且RBF反步控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為-0.001 913 5 rad，與單一反步控制系統(tǒng)的0.2 rad相比減少了0.198 086 5 rad，僅占單一反步控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的0.01%，并且單一反步控制系統(tǒng)存在一定的波動(dòng)。而改進(jìn)反步控制系統(tǒng)基本無(wú)波動(dòng)。由此可知，基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反步控制器與單一反步控制器相比，具有較短的響應(yīng)時(shí)間和較好的位置跟蹤效果。

圖6 RBF反步控制階躍誤差波形

圖7 單一反步控制階躍誤差波形

6 試驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化反步控制器的可行性，搭建了步進(jìn)電機(jī)試驗(yàn)平臺(tái)，試驗(yàn)平臺(tái)控制對(duì)象是57式兩相混合式步進(jìn)電機(jī)，步進(jìn)角是1.8°，主控芯片是STM32F103ZET6。試驗(yàn)平臺(tái)以STM32作為主控模塊，系統(tǒng)主要硬件包括電源模塊、控制模塊、TB67S109A驅(qū)動(dòng)模塊、編碼器反饋模塊、接口模塊(包含SWD接口、串口轉(zhuǎn)換電路)、絲杠滑臺(tái)以及步進(jìn)電機(jī)組成。

圖8 步進(jìn)電機(jī)控制系統(tǒng)試驗(yàn)裝置

電機(jī)設(shè)定給定位置為100 mm，圖9、圖10分別為改進(jìn)前后電機(jī)空載位置波形誤差。可知，優(yōu)化后的反步控制器響應(yīng)時(shí)間更短，約為0.4 s,且穩(wěn)態(tài)誤差也較小。

圖9 單一反步控制位置誤差波形

圖10 基于RBF反步控制位置誤差波形

圖11、圖12分別優(yōu)化前后，電機(jī)帶載5 N時(shí)的位置誤差波形。可知，RBF優(yōu)化后的反步控制器響應(yīng)時(shí)間明顯減小，約為0.5 s，且跟蹤性能明顯優(yōu)于單一的反步控制器。

圖11 單一反步控制帶載位置誤差波形

圖12 基于RBF反步控制帶載位置誤差波形

7 結(jié) 語(yǔ)

為了提升兩相混合式步進(jìn)電機(jī)控制性能，本文在已有的兩相混合式步進(jìn)電機(jī)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，提出了考慮電機(jī)電阻變化，黏滯系數(shù)變化以及負(fù)載擾動(dòng)情況下的兩相混合式步進(jìn)電機(jī)數(shù)學(xué)模型，并提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反步控制方法，在單一的反步控制的基礎(chǔ)上引入了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)對(duì)系統(tǒng)中的非線性項(xiàng)進(jìn)行逼近，同時(shí)引入自適應(yīng)律對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的高斯基函數(shù)權(quán)值進(jìn)行在線調(diào)整。通過(guò)與單一反步控制進(jìn)行對(duì)比，證明改進(jìn)后的反步控制策略，跟蹤精度明顯提高，同時(shí)加快了系統(tǒng)響應(yīng)速度，設(shè)計(jì)結(jié)果通過(guò)仿真與試驗(yàn)得到了驗(yàn)證。