李浩東, 李長兵

(1.廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，廣東 廣州 510000；2.廣州數(shù)控信息科技有限公司，廣東 廣州 510000)

0 引 言

數(shù)控機床、伺服轉(zhuǎn)臺等精密伺服系統(tǒng)都對系統(tǒng)的控制精度提出了很高的要求。然而系統(tǒng)的控制精度不可避免地受到包括非線性摩擦力在內(nèi)的系統(tǒng)擾動的影響。因此為了提高系統(tǒng)的控制精度，必須采取合適的方法對系統(tǒng)擾動進行補償來消除或減弱系統(tǒng)擾動的影響。系統(tǒng)中摩擦力補償?shù)姆椒ㄒ话惆凑帐欠窕谀Σ亮δＰ蛠韰^(qū)分。基于摩擦力模型的補償方法主要通過建立系統(tǒng)中摩擦力的數(shù)學(xué)模型實現(xiàn)對摩擦力模型特性的準確描述，通過數(shù)學(xué)模型觀測出系統(tǒng)的摩擦力矩并進行補償[1-3]，基于摩擦力模型的方法的補償效果依賴于模型的準確性，越能描述系統(tǒng)摩擦力特性的模型，其補償效果越好。常見的摩擦力模型有庫倫摩擦力模型、庫倫+黏性摩擦力模型、Dahl模型、Stribeck模型、LuGre模型、Maxwell-slip模型等。LuGre模型[4]能夠很好地描述摩擦力的動靜態(tài)特性，包括Stribeck特性、爬行、極限環(huán)振蕩、摩擦記憶、變靜摩擦力等，模型結(jié)構(gòu)比Maxwell-slip模型簡單，因此LuGre模型是當下研究的熱點之一。不基于模型的摩擦力補償方法主要是將摩擦力當作普通擾動處理，如利用PID控制器、擾動觀測器(DOB)[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能控制方法[6]實現(xiàn)對摩擦力擾動的補償。由于摩擦力的強非線性，不基于摩擦力模型的方法很難實現(xiàn)最佳的補償效果，且一些智能控制算法往往設(shè)計較為復(fù)雜，占用大量的控制資源，實際難以推廣應(yīng)用。

采用固定參數(shù)模型的摩擦力補償方法中需要精確辨識出系統(tǒng)的摩擦力模型參數(shù)，考慮到實際系統(tǒng)運動過程中，潤滑條件變化，表面磨損等會使摩擦力模型參數(shù)發(fā)生變化導(dǎo)致摩擦力出現(xiàn)過補償和欠補償?shù)默F(xiàn)象。文獻[7]利用雙觀測器實現(xiàn)對LuGre模型中不可測狀態(tài)量的觀測，并利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計自適應(yīng)控制器實現(xiàn)了摩擦力的在線辨識和補償，克服了摩擦力參數(shù)變化導(dǎo)致補償不佳的問題，但是雙觀測器的結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜，且自適應(yīng)控制器設(shè)計過程中未考慮系統(tǒng)其他擾動的影響。在伺服系統(tǒng)中，對于系統(tǒng)參數(shù)攝動，系統(tǒng)不確定因素，系統(tǒng)環(huán)境變化等擾動一般采用DOB觀測器對其觀測和抑制[8]，常用如DOB、擴張狀態(tài)觀測器(ESO)、降階擴張狀態(tài)觀測器(RESO)[9]等，此類觀測器從本質(zhì)上都是將系統(tǒng)的擾動當作集總擾動來處理，因此對于摩擦力補償階段出現(xiàn)的欠補償和過補償可以將其看作是系統(tǒng)集總擾動的一部分，利用DOB進行補償。文獻[10]通過將基于Stribeck模型的摩擦力補償方法和DOB相結(jié)合，在補償摩擦力的同時，利用DOB實現(xiàn)對系統(tǒng)內(nèi)擾動的補償，然而DOB的補償效果受限于Q濾波器的帶寬的限制。

本文提出一種基于LuGre摩擦力模型和RESO相結(jié)合的摩擦力補償方法，利用速度和轉(zhuǎn)矩信息辨識出LuGre摩擦力模型參數(shù)，將摩擦力模型觀測出的摩擦力矩以電流的形式補償?shù)诫娏鳝h(huán)的控制輸入端，同時考慮到RESO具有結(jié)構(gòu)簡單、抗擾動性能強的優(yōu)點，利用RESO來觀測補償系統(tǒng)中的其他集總擾動，減弱摩擦力和擾動對系統(tǒng)造成的影響，提高系統(tǒng)的控制精度。

1 永磁同步伺服系統(tǒng)動力學(xué)分析

永磁同步伺服系統(tǒng)由表貼式永磁同步電機(PMSM)通過聯(lián)軸器聯(lián)結(jié)滾珠絲杠副構(gòu)成。在矢量控制方法中，電機通過坐標變換在d-q坐標系下的數(shù)學(xué)模型表示為[11]

(1)

(2)

ψd=Ldid+ψf

(3)

ψq=Lqiq

(4)

式中:Rd、Rq、Ld、Lq、ψd、ψq分別為d、q軸的定子電阻、電感和磁鏈；ψf為永磁體磁鏈。

對于精密伺服系統(tǒng)，系統(tǒng)的剛性一般很大，可以忽略系統(tǒng)中聯(lián)結(jié)處的間隙，將機械部分看作剛性系統(tǒng)，則系統(tǒng)的動力學(xué)方程可簡化為

(5)

式中:J為系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動慣量；Kt為轉(zhuǎn)矩系數(shù)；p為電機極對數(shù)；Ff為系統(tǒng)的摩擦力；Td為系統(tǒng)中其他擾動集合。

2 系統(tǒng)摩擦力模型的建立與模型參數(shù)辨識

2.1 系統(tǒng)摩擦力模型的建立

LuGre摩擦力模型是一種鬃毛模型，即假設(shè)物體表面由無數(shù)鬃毛構(gòu)成，對接觸的物體表面施加作用力時，接觸面的鬃毛產(chǎn)生形變進而產(chǎn)生摩擦力。對于永磁同步伺服系統(tǒng)，LuGre模型可以描述出系統(tǒng)中的靜摩擦力，滑動摩擦力，庫倫摩擦力，同時在預(yù)滑動階段還能描述可變的靜摩擦力。LuGre摩擦力數(shù)學(xué)模型為[12]

(6)

(7)

(8)

式中：Ff為摩擦力；z為鬃毛形變量；Fc、Fs、Vs和B為摩擦力中的靜態(tài)參數(shù)，分別為庫倫摩擦力、靜摩擦力、切換速度和黏滯摩擦系數(shù)；σ0和σ1為鬃毛剛度系數(shù)和微觀阻尼系數(shù)。

2.2 摩擦力參數(shù)辨識

為了能準確觀測出系統(tǒng)摩擦力的大小還需要對模型的參數(shù)進行辨識。LuGre模型參數(shù)的離線辨識分靜態(tài)參數(shù)和動態(tài)參數(shù)辨識兩步進行。靜態(tài)參數(shù)通過摩擦力的Stribeck靜態(tài)特性曲線辨識得到，動態(tài)參數(shù)通過已辨識出的靜態(tài)參數(shù)和位置響應(yīng)發(fā)生振蕩時的力矩信息辨識得到。

2.2.1 摩擦力靜態(tài)參數(shù)辨識

空載運行時通過給一組速度給定信號測得穩(wěn)態(tài)時相應(yīng)的轉(zhuǎn)矩值，由系統(tǒng)的運動方程式(5)可知，考慮摩擦力為系統(tǒng)的主要擾動，勻速運動時系統(tǒng)的給定轉(zhuǎn)矩與系統(tǒng)的摩擦力矩近似相等。假設(shè)速度正反運動時的摩擦力模型參數(shù)是相同的。通過測得的數(shù)據(jù)可得系統(tǒng)摩擦力的Stribeck曲線如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)Stribeck曲線

(9)

基于式(9)對Stribeck曲線進行擬合辨識得到模型中的靜態(tài)參數(shù)，辨識結(jié)果如表1所示。

表1 靜態(tài)參數(shù)辨識結(jié)果

2.2.2 摩擦力動態(tài)參數(shù)辨識

LuGre摩擦力模型是一種非線性系統(tǒng)，內(nèi)部狀態(tài)z不可測量，且靜態(tài)參數(shù)和動態(tài)參數(shù)存在耦合，采用最小二乘法和單純形法等難以保證辨識精度的收斂性，而遺傳算法作為一種啟發(fā)性算法，不需要對象的模型信息，同時能夠很好地避免局部最優(yōu)，魯棒性強，因此采用遺傳算法進行辨識[13]。

(10)

定義目標函數(shù):

(11)

動態(tài)參數(shù)辨識過程中的轉(zhuǎn)矩信息無法直接測量，因此利用系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩方程通過試驗中系統(tǒng)的q軸電流轉(zhuǎn)換得到。遺傳算法可利用MATLAB遺傳工具箱實現(xiàn)。動態(tài)參數(shù)的辨識結(jié)果如圖2所示。

圖2 力矩曲線對比

由圖2可知，辨識得到的摩擦力矩曲線和測得轉(zhuǎn)矩曲線基本保持一致，可以認為辨識的動態(tài)參數(shù)是準確的，辨識結(jié)果如表2所示。

表2 動態(tài)參數(shù)辨識結(jié)果

3 摩擦力補償控制方法設(shè)計

3.1 摩擦力前饋補償

系統(tǒng)中的摩擦力矩可以看作是施加在負載端的反向力矩，因此可以通過在電機的控制力矩上加上相等的力矩補償量來抵消摩擦力矩造成的影響。系統(tǒng)采用矢量控制策略，電流環(huán)和速度環(huán)采用PI控制器，位置環(huán)采用比例+速度前饋的控制方法，系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖

通過LuGre模型觀測出系統(tǒng)的摩擦力矩，利用系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩方程將摩擦力矩轉(zhuǎn)換成q軸電流iTf，通過將iTf補償?shù)诫娏鞯目刂戚斎攵思纯蓪崿F(xiàn)對系統(tǒng)中摩擦力矩的補償。在該補償方案中，為避免引入反饋環(huán)節(jié)影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，摩擦力模型的輸入信號為速度給定信號，補償方案結(jié)構(gòu)簡圖如圖4所示。圖4中，Kt為轉(zhuǎn)矩系數(shù)，J為系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動慣量，L為電機定子電感，R為電機定子電阻。

圖4 摩擦力前饋結(jié)構(gòu)簡圖

3.2 擾動補償

摩擦力前饋補償方案中補償?shù)男ЧQ于摩擦力模型參數(shù)辨識結(jié)果的精確性，在實際系統(tǒng)中，摩擦力參數(shù)會根據(jù)系統(tǒng)運行實時狀況,例如潤滑條件等發(fā)生變化，導(dǎo)致摩擦力存在欠補償和過補償?shù)膯栴}。實際的伺服系統(tǒng)中除摩擦力之外還有如系統(tǒng)參數(shù)攝動、轉(zhuǎn)矩脈動等的擾動，為進一步提高系統(tǒng)的精度，采用RESO對此類擾動進行觀測補償。

空載條件下，系統(tǒng)的運動方程式(5)可以化為

(12)

式中：f(t)為系統(tǒng)中的集總擾動。

設(shè)x1、x2分別代表速度ω和擾動f(t)的狀態(tài)變量。則式(12)可轉(zhuǎn)化為

(13)

取z1為x1的觀測值，z2是x2的線性觀測器值。可設(shè)計擴張狀態(tài)觀測器為[13]

(14)

β1、β2為相應(yīng)的參數(shù)與觀測器帶寬有關(guān)，實際系統(tǒng)中為了確保輸出量的精確度，輸出的位置信息和速度信息可直接通過編碼器獲得，因此:

(15)

由式(9)和式(12)可得：

(16)

式(16)中狀態(tài)變量x1的微分可能會引入噪聲，對其進行改寫，定義新的狀態(tài)變量：

znew=βx1-z2

(17)

則降階狀態(tài)觀測器可設(shè)為

(18)

同樣觀測器的參數(shù)β可以通過系統(tǒng)的帶寬求得，并可以根據(jù)實際情況調(diào)節(jié)。降階擾動觀測器補償結(jié)構(gòu)框圖如圖5所示。

圖5 RESO補償結(jié)構(gòu)框圖

4 摩擦力補償試驗結(jié)果與分析

4.1 試驗平臺

本文利用滾珠絲杠平臺對所提方法進行試驗驗證，平臺如圖6所示。電機采用廣州數(shù)控130SJT-100D型PMSM，驅(qū)動采用廣州數(shù)控GR2050T系列驅(qū)動，絲杠平臺采用硬軌平臺，系統(tǒng)的位置信息由電機端17位絕對值編碼器得到。絲杠導(dǎo)程為5 mm，電機轉(zhuǎn)動慣量為Jm=2.42 g·m2，聯(lián)軸器轉(zhuǎn)動慣量為Jc=0.046 4 g·m2，滾珠絲杠和直線運動部件折合的總轉(zhuǎn)動慣量為Jb=0.160 213 g·m2。

圖6 精密滾珠絲杠試驗平臺

4.2 試驗結(jié)果

為了驗證摩擦力等擾動對系統(tǒng)位置跟蹤精度的影響，位置參考信號分別給定0.5 sin(πt-0.5π) mm和2.5 sin(πt-0.5π) mm不同幅值的正弦信號，消除特定位置引起的位置波動對試驗準確性的影響。圖7為系統(tǒng)未進行摩擦力和擾動補償時的位置跟蹤誤差曲線。

圖7 系統(tǒng)未補償時系統(tǒng)位置跟蹤誤差

由圖7可知，位置的跟蹤誤差存在一個較大的峰值，誤差峰值在正弦信號的峰值處,這是由于系統(tǒng)運動換向時，摩擦力導(dǎo)致位置出現(xiàn)平頂現(xiàn)象造成的位置跟蹤誤差，參考信號為0.5 mm時，誤差約為±14.5 mm，參考信號幅值為2.5 mm時，誤差約為±24 mm。

圖8為系統(tǒng)摩擦力前饋補償下的位置跟蹤誤差，采用摩擦力前饋補償后，參考信號幅值為0.5 mm時，系統(tǒng)的位置跟蹤誤差約為±5.6 mm，參考信號幅值為2.5 mm時，位置跟蹤誤差為±9.9 mm。比未補償時位置跟蹤誤差減小了60%以上，證明了摩擦力前饋補償能夠有效的提高系統(tǒng)的控制精度。圖9為系統(tǒng)在摩擦力補償?shù)幕A(chǔ)上利用RESO對系統(tǒng)中的擾動進行補償后的位置跟蹤誤差，與圖8相比，參考信號幅值為0.5 mm時，系統(tǒng)的位置跟蹤誤差約為±3.5 mm，參考信號幅值為2.5 mm時，位置跟蹤誤差為±6.5 mm，比摩擦力補償時位置跟蹤誤差減小了35%左右，進一步提高了系統(tǒng)的控制精度，驗證了所提方法的有效性。

圖8 摩擦力前饋補償下位置跟蹤誤差

圖9 摩擦力前饋補償和RESO共同作用下位置跟蹤誤差

5 結(jié) 語

本文提出一種將基于LuGre模型的摩擦力前饋補償和RESO結(jié)合起來的系統(tǒng)摩擦力擾動補償方法，通過Stribeck特性曲線和力矩信息辨識出LuGre模型靜態(tài)和動態(tài)參數(shù)，利用LuGre模型實現(xiàn)對系統(tǒng)中摩擦力矩的準確觀測，并通過前饋補償方案減弱了系統(tǒng)摩擦力對位置跟蹤精度造成的影響。同時設(shè)計降階擾動觀測器實現(xiàn)對系統(tǒng)中其他集中擾動力矩的補償，進一步提高了系統(tǒng)的控制精度。試驗結(jié)果顯示所提方法比未進行任何補償時位置的跟蹤誤差減小75%左右,比僅采用LuGre模型的摩擦力前饋補償，位置控制誤差減小35%左右，證明了所提方法的有效性。