周仲旺

（濰坊學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 濰坊 261061）

1 廣義勾股定理

定理1 對正實數(shù)a,b,c，若滿足a≤b2時，a,b,c構(gòu)成銳角三角形。

證明 對方程ax+bx= cx兩邊取對數(shù)，。令函數(shù)則，一方面， 另一方面，,所以存在唯一性成立[1]。令函數(shù)當(dāng)n<1時，所以a,b,c不構(gòu)成三角形，當(dāng)n>1時，所以a,b,c構(gòu)成三角形。令函數(shù),當(dāng)n<2 時，所以a,b,c構(gòu)成鈍角三角形，當(dāng)n>2時，,所以a,b,c構(gòu)成銳角三角形。

用此定理很容易判斷一個三角形是鈍角三角形、直角三角形還是銳角三角形，且使所謂的勾股數(shù)成為歷史不再存在。

該定理可以看成廣義勾股定理，這樣，不光直角三角形才有勾股定理，除底邊小于等于腰的等腰三角形外，每個三角形都有一個勾股定理， 也就是說，除底邊小于等于腰的等腰三角形外， 每個三角形都對應(yīng)著唯一一個大于等于 1的實數(shù)n,我們把這個實數(shù)n稱為三角形的秩。對于任意給定的大于1的實數(shù)n，秩為n的三角形有一族，像秩為2的(直角)三角形可以看成一族那樣，底邊小于腰的等腰三角形的秩是正無窮大，這樣的三角形顯然是銳角三角形（可以認為它的秩大于2），它也構(gòu)成一族三角形，底邊等于腰的等腰三角形即等邊三角形是唯一沒有秩的三角形，顯然，等邊三角形也可以看成一族，這族含的三角形最少。任意三角形的秩都可以用matlab算出來。由這個定理可知，以為邊的三角形一定是銳角三角形，據(jù)此，對任意給定的實數(shù)n≥1,能很容易地構(gòu)造出一個秩為n的三角形，反之，任意給定一個秩為n的三角形，都可以用這個方法構(gòu)造出來。

2 新正弦新余弦

定義1 對于秩為r的任意三角形ABC，設(shè)它的最大角為∠C, , ,ABcBCaCAb= = = , 定義較小角銳角∠A的新正弦,新余弦。注意，只有較小角銳角才有新正弦新余弦，顯然sinr(r,A) + c osr(r,A)= 1 （1）。

定理2 對任意秩r>1和任意銳角α,它們的新正弦 s in(r,α) ,新余弦 c os(r,α)存在且唯一。

3 解三角形的簡捷方法

根據(jù)定理1定理2，三角形的秩和它的較小角唯一決定較小角的新余弦，反過來，三角形的較小角和較小角的新余弦唯一決定它的秩。這樣我們可以造個新數(shù)學(xué)用表，這個表表示的是秩、角、新余（正）弦及其關(guān)系（已知這三者中的兩者能用計算機通過已造好的表而不是通過方程立即選出第三者，當(dāng)然，這個表根據(jù)方程造），已知秩可以查出較小角的新余弦，已知較小角的新余弦可以查出秩，已知秩和新余弦又可以查出較小角（通常的查銳角的余弦的數(shù)學(xué)用表，只不過是這里的秩等于2的特殊情況）。進一步，只要給定了三角形的秩r和它的一個較小角α，三角形的另一較小角β和最大角就定了，反之，只要給定了三角形的一個較小角和最大角，它的另一較小角和秩就定了（正弦定理），這樣，再造個新數(shù)學(xué)用表，已知三角形的一個較小角和最大角就能算出它的另一較小角接著查出它的秩，已知三角形的秩和一較小角，就能查出它的另一較小角接著算出它的最大角。這兩個新數(shù)學(xué)用表可以在計算器上通過把余弦函數(shù)反余弦函數(shù)擴展成為五個新函數(shù)下面是這兩個新數(shù)學(xué)用表的重要應(yīng)用之一。

例1 設(shè)三角形ABC的秩是3，AC=3,BC=4,試求它的最長邊AB。

解AB3=AC3+BC3= 33+ 43= 9 1,所以最長邊AB≈ 4.498。假如要求這個三角形的三個角，只要有個新數(shù)學(xué)用表，求出新余弦后查查表就行了。

例2 設(shè)三角形ABC的秩是4,,最長邊AB=6,試求這個三角形的另外兩邊AC,BC和另外兩角∠B,∠C。

例3 設(shè)三角形ABC的秩是4,，試求這個三角形的另外兩個角∠B,∠C。

例4 在三角形ABC中，試求三角形ABC的秩， 的長，∠C的平分線CD的長及AD,BD的長。

解 設(shè)三角形ABC的秩為r，則用matlab求得r≈1.6,

注：假如有個新數(shù)學(xué)用表，這個題完全可以查表解決，即已知兩個較小角可以查出這個三角形的秩，然后再查出較小角的新余弦或新正弦，最后極易求出三角形的邊長和角的平分線長！這個解法也說明了已知三角形兩角一邊時，如何使用查表的方法解三角形。

當(dāng)已知三角形兩邊一角時，只要這個角不是三角形的最大角，就可以根據(jù)新三角函數(shù)使用查表的方法解三角形（其實，即使這個角是三角形的最大角，也可以使用查表的方法，不過，本文不研究這個問題）。當(dāng)已知三角形三邊時，可以先用matlab求出它的秩，然后根據(jù)新余弦查查表就能查出它的兩個較小角，這比用余弦定理正弦定理好。

總之，引進三角形的秩，在已知三角形的兩角一邊、兩邊一角或者三邊的情況下，解三角形基本上查查表就行，在其它情況下，更是如此，由此可見三角形的秩的重要作用。

4 三角形的秩的幾何意義

秩為r的三角形最大角∠C的兩鄰邊為a,b(a≥b) ，∠C的余弦所以r越大cosC越大∠C越小。當(dāng)秩等于1時，三角形的兩邊a,b的夾角最大，是180度，隨著秩的增大，三角形的兩邊a,b夾的三角形的最大角逐漸變小，當(dāng)秩趨向于正無窮大時，三角形趨向于一個以a為腰以b為底的等腰三角形，這時三角形的兩邊a,b夾的三角形的最大角達到最小，若底邊再等于腰，三角形的最大角達到最小值60度。也就是說：以三角形最大角對應(yīng)的頂點為圓心以最小邊為半徑畫個圓，當(dāng)最小邊的另一端點在這個圓上移動且三角形的其它兩頂點固定時，這樣得到的鈍角三角形占這個圓的四分之一，而銳角三角形至多占這個圓的十二分之一，從這個意義上說，鈍角三角形比銳角三角形多，盡管鈍角三角形比銳角三角形多，可鈍角三角形的秩在區(qū)間(1,2)上，而銳角三角形的秩在區(qū)間(2,+∞)上。

根據(jù)上面分析，我們可以用三角形的秩判斷三角形的形狀，即三角形的秩越小越接近于平角三角形，秩越大越接近于等腰三角形。例如：秩為1.01的三角形非常細長，基本上是平角三角形，直角三角形的秩為2，秩比較大，它就比較像等腰三角形，秩為9的三角形基本上是等腰三角形。

5 廣義三角函數(shù)理論

定義2 在平面在直角坐標(biāo)系中，從坐標(biāo)原點O出發(fā)的一條射線與x軸的正向的夾角為x，在射線上取一點B，B的坐標(biāo)為(p,q)，在 軸上取一點A，其坐標(biāo)為(z,0)，設(shè)三角形OAB的秩為r,令當(dāng)q≥0時，令當(dāng)q<0時，令這樣，對任意角x都定義了它的新余弦新正弦，由此引入了關(guān)于自變量x(r視為常數(shù))的新余弦函數(shù)和新正弦函數(shù)稱為廣義三角函數(shù)，當(dāng)r=2時，就是通常的余弦函數(shù)正弦函數(shù)，不難看出新余弦函數(shù)新正弦函數(shù)也都是以2π為周期的周期函數(shù),其中OB必須是三角形OAB的最長邊,

定理 3[2]若函數(shù)F(x,y)滿足下列條件：

(ⅰ)F(x0,y0) = 0 （通常稱為初始條件） ，

(ⅱ)F在以P0(x0,y0)為內(nèi)點的某一鄰域D?R2上連續(xù)，

(ⅲ)F在D內(nèi)存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)Fx(x,y),Fy(x,y)，

(ⅳ)Fy(x0,y0) ≠ 0。

則（?。┐嬖邳c 的某鄰域U(P0)?D，在U(P0)上方程F(x,y)= 0 唯一地決定了一個定義在某區(qū)間(x0?δ,x0+δ)上的函數(shù)y=f(x)，使得當(dāng)x∈ (x0?δ,x0+δ)時， (x,f(x)∈U(P0)，且

（ⅱ）f(x)在 (x0?δ,x0+δ)上連續(xù)，有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且

定理4 當(dāng)r>2時，新余弦函數(shù)y(x) = c os(r,x)在(0,)上連續(xù)，具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)且

注：此定理不難推廣到區(qū)間(?∞,+∞)上。

根據(jù)(1)(2)(3)式，不難得到

定理 5 當(dāng)x是銳角時

所以，當(dāng)r>2時，cos(r,x) ,sin(r,x)的單調(diào)性很清楚了。

注：當(dāng)x是銳角時，顯然 (c os(r,x) + s in(r,x) )2> 1 ,(cos(r,x) ? s in(r,x))2<1。

注：當(dāng)1

值得一提的是：根據(jù)(2)式，在原來基本初等函數(shù)的意義下，新余弦函數(shù)新正弦函數(shù)基本沒有顯示式，但反新余弦函數(shù)反新正弦函數(shù)都有顯示式。

經(jīng)過簡單計算得：sin(3,0.3) = 0.297,sin(3,0.75) = 0.69,sin(3,1.25) = 0.96

sin(3,1.5) = 0.999,cos(3,0.3) = 0.99,cos(3,0.75) = 0.87,cos(3,1.25) = 0.48,cos(3,1.5) = 0.111再根據(jù)單調(diào)性，不難作出sin(3,x)，co s (3,x)的圖像，它與sinx,cosx的圖像差不多。

經(jīng)過簡單計算得：sin(1.5,0.27) = 0.27,sin(1.5,0.914) = 0.82,sin(1.5,1.28) = 0.97

sin(1.5,1.43) = 0.99596,cos(1.5,0.27) = 0.901,cos(1.5,0.914) = 0.409,cos(1.5,1.28) = 0.121

cos(1.5,1.43) = 0.0332,π2 = 1.57，再根據(jù)單調(diào)性和凸性，不難作出sin(1.5,x) ， co s (1.5,x)的圖像，它與sinx,cosx的圖像差不多，只不過cosx的圖像上凸而cos(1.5,x)的圖像下凸。

綜合以上研究，基本上搞清楚廣義三角函數(shù)了。

所有的新正弦函數(shù)新余弦函數(shù)都應(yīng)看成基本初等函數(shù)，sinx,cosx其實就是sin(2,x) ,cos(2,x) ,sinx, cosx寫為sin(2,x) ,cos(2,x)更科學(xué)。cos(r,x)和cosx間有關(guān)系(2)，所以新基本初等函數(shù)實際上只有兩個，即對一個固定的r, sin(r,x)和cos(r,x)。根據(jù)(2)，cos(r,x)一般不能由cosx表示，但cosx都可由cos(r,x)表示，所以，凡是能用正弦余弦表示的函數(shù)必能用新正弦新余弦表示，但是能用新余弦新正弦表示的函數(shù)一般不能用余弦正弦表示，這說明廣義三角函數(shù)是比三角函數(shù)更基本更有意義的函數(shù)！廣義三角函數(shù)在物理學(xué)以及其他學(xué)科中都有重要應(yīng)用，例如在水波、聲波、簡諧振動和交流電中，這些問題用廣義三角函數(shù)研究比純粹用三角函數(shù)研究更精確更好。另外，廣義三角函數(shù)能使導(dǎo)彈命中率更高嗎？廣義三角函數(shù)能使衛(wèi)星定位更精確嗎？這些問題有待專家進一步研究，凡是能用三角函數(shù)研究的實際問題都能用廣義三角函數(shù)研究，這只要把三角函數(shù)中隱含的秩2改成廣義三角函數(shù)中的秩r即可。