陳 磊,袁 德

(海裝廣州局，廣東 廣州 510320)

0 引 言

定子端部漏感是定子漏感參數(shù)的重要組成部分[1-2]，準(zhǔn)確的端部漏感計(jì)算是電機(jī)過渡過程分析和高性能電機(jī)控制的關(guān)鍵[3]。目前計(jì)算電機(jī)定子端部漏感的方法已經(jīng)較為成熟。

在傳統(tǒng)電機(jī)設(shè)計(jì)中，一般采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算端部漏感[4-5]。由于經(jīng)驗(yàn)公式中含有大量簡化使計(jì)算精度較低，當(dāng)繞組端部形狀不一樣時(shí)需重新調(diào)整修正系數(shù)，給計(jì)算帶來不便。文獻(xiàn)[6]通過推導(dǎo)電機(jī)內(nèi)電磁場方程計(jì)算端部漏感，但是電機(jī)內(nèi)電磁場的推導(dǎo)較為復(fù)雜，當(dāng)繞組端部形狀復(fù)雜時(shí)難以求出相應(yīng)的解析解。隨著計(jì)算能力的提升，基于數(shù)值計(jì)算[7-15]的端部漏感計(jì)算方法得到廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[10]建立電機(jī)三維有限元模型，并基于能量法和端部磁鏈計(jì)算電機(jī)定子端部漏感，然而有限元三維建模繁瑣且計(jì)算時(shí)間成本較大，不利于電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)階段；文獻(xiàn)[11-13]采用基于Boit-Savart定理的離散積分法計(jì)算端部漏感，引入氣隙電流和鏡像電流等效氣隙和鐵心對端部漏磁場的影響，并將端部繞組分為若干小段，以每小段為數(shù)值計(jì)算單元，通過離散積分得到端部漏感；文獻(xiàn)[14-15]采用基于矢量磁位的離散積分方法計(jì)算端部漏感，相比于基于Boit-Savart定理的計(jì)算法，基于矢量磁位的計(jì)算法不再受磁通面形狀的影響，使繞組的空間建模更為靈活，且能考慮傾角和喇叭口等情況。

電機(jī)定子繞組端部類型較多，當(dāng)采用不同的方法計(jì)算端部漏感時(shí)，由于方法本身存在差異導(dǎo)致計(jì)算誤差也不同，需根據(jù)端部漏感計(jì)算方法特性以及繞組端部形狀選擇適用的計(jì)算方法，而目前還鮮有文獻(xiàn)對不同端部漏感計(jì)算方法的適用范圍進(jìn)行研究。本文以喇叭口形、半橢圓形以及半矩形端部繞組為算例，采用能量法、Boit-Savart定理、矢量磁位的端部漏感計(jì)算方法對3種不同形狀端部的漏感進(jìn)行計(jì)算并將計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)測試結(jié)果進(jìn)行比較，分析得出3種端部漏感計(jì)算方法的適用范圍。

1 基于能量法的定子端部漏感計(jì)算

在三相感應(yīng)電機(jī)中，端部漏磁場能量可以表示為

MendABIBIA+MendACICIA+MendBCICIB

(1)

式中：LendA、LendB、LendC分別為A相、B相、C相的繞組端部自感；MendAB、MendBC、MendCA分別為A相和B相、B相和C相、C相和A相的繞組端部互感；IA、IB、IC為三相電流幅值。

根據(jù)三相旋轉(zhuǎn)感應(yīng)電機(jī)的對稱性有：

(2)

假設(shè)三相電流對稱，那么可將式(1)進(jìn)一步改寫為

(3)

令L-M=Lend為某一相繞組的端部漏感，對式(3)進(jìn)行變換可得端部漏感為

(4)

式中:Wend為電機(jī)端部磁場總能量；IA為繞組電流幅值。

端部磁場的總能量可利用Maxwell有限元仿真軟件計(jì)算得出。在電機(jī)端部設(shè)置圓柱形求解域，如圖1所示。求解域的磁場能量為

圖1 端部磁場能量的求解域

(5)

通過Maxwell有限元仿真軟件中場計(jì)算器對磁場能求解域內(nèi)的能量進(jìn)行積分即可得到端部磁場的總能量，再根據(jù)式(4)計(jì)算得到端部漏感。

2 基于Boit-Savart定理的定子端部漏感計(jì)算

2.1 繞組端部計(jì)算模型的建立

不同端部的繞組漏感計(jì)算模型如圖2～圖4所示。引入氣隙電流和鏡像電流將模型進(jìn)行等效。為計(jì)及鐵心內(nèi)部線圈直線部分電流對端部磁場的影響，在定子槽中引入線圈直線部分電流的鏡像電流。

圖2 喇叭口形端部漏感的計(jì)算模型

圖3 半橢圓形端部漏感的計(jì)算模型

圖4 半矩形端部漏感的計(jì)算模型

在圖2～圖4中，各繞組端部的計(jì)算模型可分為7大部分，其中第1部分為端部電流，第2部分為端部電流的鏡像電流，第3～5部分為氣隙電流，第6、7部分為定子槽內(nèi)直線段鏡像電流，其中各段電流的取值為

(6)

式中：i1m為1號線圈m段電流；N為線圈匝數(shù)；p為極對數(shù)；i為線圈電流幅值；β為短距比。

為增加端部漏感計(jì)算精度需充分考慮端部電流的空間分布。將繞組端部中各段電流分為若干小段，如將第m段電流分為n小段，每小段電流可用下標(biāo)mn表示，并以每小段電流作為計(jì)算單元，采用Boit-Savart定理計(jì)算1號線圈每小段電流在2號線圈內(nèi)產(chǎn)生的磁鏈。

在計(jì)算2號線圈內(nèi)的磁鏈時(shí)，需選取2號線圈端部的磁通面并對其進(jìn)行剖分，當(dāng)繞組端部的磁通面形狀較為復(fù)雜時(shí)會(huì)采用近似面來等效原磁通面。以喇叭口形端部為例，由于繞組為雙層繞組，上層邊和下層邊不在同一圓內(nèi)，為簡化計(jì)算選取位于上層邊和下層邊之間的中層面進(jìn)行磁通計(jì)算，如圖5所示。

圖5 喇叭口形線圈端部中層面

由于繞組圓弧部分存在傾角，半橢圓形端部繞組磁通面不在同一柱面內(nèi)。為簡化計(jì)算，對磁通面進(jìn)行分塊，如圖6所示。磁通面1為平面矩形磁通面，磁通面2為平面半橢圓形磁通面。磁通面2的外輪廓與繞組圓弧段導(dǎo)體內(nèi)表面重合。

圖6 半橢圓形繞組端部的磁通面

由于半矩形繞組端部沒有傾角，且繞組端部圓弧段的圓心與電機(jī)圓心相近，可建立如圖7所示的磁通面。

圖7 半矩形繞組端部的磁通面

2.2 各相端部漏感的計(jì)算

根據(jù)Biot-Savart定理，線圈1端部P1mn段在2號線圈Q2v點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(7)

式中：μ0為空氣磁導(dǎo)率；i1m為線圈端部m段的電流幅值；lP1mn為線圈端部P1mn段的長度矢量；r2v1mn為1號線圈P1mn段中點(diǎn)到點(diǎn)Q2v的距離矢量。

1號線圈P1mn段在2號線圈端部磁通面上產(chǎn)生的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(8)

式中：K為2號線圈端部磁通面上所有的剖分點(diǎn)；n2v為Q2v點(diǎn)的單位法向量。

1號線圈與2號線圈的端部互感為

(9)

式中：S2為線圈2磁通面面積；Nm為m段電流的總數(shù)；Nn為每m大段電流所分段數(shù)。

在得到各個(gè)端部線圈的自感和互感后，需通過關(guān)聯(lián)矩陣計(jì)算各相端部漏感。以18槽、1對極的三相感應(yīng)電機(jī)為例，每個(gè)槽內(nèi)均有上下2層線圈邊，因此關(guān)聯(lián)矩陣C的大小為6×18。其中矩陣每行分別對應(yīng)A相繞組的上層邊、A相繞組的下層邊、B相繞組的上層邊、B相繞組的下層邊、C相繞組的上層邊、C相繞組的下層邊。把每槽線圈當(dāng)成一條支路，每相繞組當(dāng)成一個(gè)回路，并規(guī)定電流的正方向，再根據(jù)繞組連接關(guān)系，確定關(guān)聯(lián)矩陣中各元素的值。當(dāng)回路電流與支路電流相同時(shí)元素取值為1，相反時(shí)取值為-1，不相關(guān)時(shí)取值為0。

以電機(jī)的A相繞組為例，其繞組連接如圖8所示，實(shí)線代表上層邊，虛線代表下層邊，采用短距的連接方式，并規(guī)定電流向上為正方向。

圖8 A相繞組連接圖

根據(jù)圖8的連接方式以及電流正方向可以寫出A相繞組的關(guān)聯(lián)矩陣式(10)，其中矩陣的第一行對應(yīng)A相繞組的上層邊，第二行對應(yīng)A相繞組的下層邊；由于1號槽上層邊電流方向?yàn)檎缘谝恍械谝涣袨?，矩陣中其他位置的參數(shù)同理。

(10)

得到各線圈之間的互感矩陣Mend和關(guān)聯(lián)矩陣C后，各相端部漏感的計(jì)算公式為

(11)

式中：u和v的取值為1、2、3，且分別對應(yīng)A、B、C相；Z為線圈總數(shù)；a為繞組并聯(lián)支路數(shù)。

3 基于矢量磁位的定子端部漏感計(jì)算

3.1 繞組端部計(jì)算模型的建立

基于矢量磁位計(jì)算法的不同繞組端部漏感計(jì)算模型如圖9～圖11所示。利用鏡像電流和氣隙電流來等效鐵心和氣隙對端部磁場的影響，并將各段電流進(jìn)行分段，分段方法以及各段電流取值與2.1節(jié)的方法相同，并確定各小段電流的空間坐標(biāo)。

圖9 喇叭口形端部漏感的計(jì)算模型

圖10 半橢圓形端部漏感的計(jì)算模型

圖11 半矩形端部漏感的計(jì)算模型

需確定2號線圈矢量磁位的積分路徑。以喇叭口形繞組為例，圖12所示為計(jì)算線圈端部磁通的積分路徑，積分路徑經(jīng)過導(dǎo)體中心，再由端部h點(diǎn)以直線連接到另一端部a點(diǎn)，其中h點(diǎn)和a點(diǎn)為鐵心端面與繞組的交點(diǎn)。2號線圈電流段的劃分與1號線圈端部電流段的劃分相似，分為8大段，分別為ab、bc、cd、de、ef、fg、gh、ha。最后將每段電流劃分為n小段電流，并以每小段電流作為數(shù)值計(jì)算基本單元。

圖12 繞組端部矢量磁位積分路徑

基于矢量磁位的計(jì)算法不再受磁通面的限制，在沿線圈導(dǎo)體的一維空間上取點(diǎn)即可。但值得注意的是，在利用矢量磁位法計(jì)算繞組端部自感時(shí)，電流路徑與積分路徑重合，導(dǎo)致rQ2xyP1mn為0。根據(jù)式(13)，rQ2xyP1mn作為分母不能為0，因此需要重新選取積分路徑?？紤]繞組導(dǎo)體形狀，選取導(dǎo)條內(nèi)側(cè)為新積分路徑，圖13所示為計(jì)算線圈端部自感的新積分路徑。

圖13 計(jì)算線圈端部自感的新積分路徑

3.2 各相端部漏感

電流在空間中任意一點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位可由下式計(jì)算得出：

(12)

那么1號線圈P1mn段電流在2號線圈Q2xy段處產(chǎn)生的矢量磁位為

(13)

式中：lP1mn為1號線圈P1mn段處的長度矢量；rQ2xyP1mn為1號線圈P1mn段中點(diǎn)到2號線圈Q2xy段中點(diǎn)的空間距離。

根據(jù)式(13)，1號線圈電流在2號線圈Q2xy處產(chǎn)生的矢量磁位為

(14)

根據(jù)Stokes原理，矢量磁位A在任意閉合回路上的矢量積分等于閉合回路所包圍曲面的磁通量，即

(15)

根據(jù)式(15)，將2號線圈上矢量磁位沿積分路徑離散積分得到1號線圈電流在2號線圈端部產(chǎn)生的磁鏈為

(16)

式中：Ny為2號線圈電流段的總數(shù)；Nx為每y段電流所分小段電流總數(shù)；lQ2mn為2號線圈Q2mn處的長度矢量。

根據(jù)磁鏈表達(dá)式式(16)，1、2號線圈端部漏感為

(17)

式中：i1為1號線圈的電流。

計(jì)算得到各線圈端部漏感后，通過關(guān)聯(lián)矩陣和式(11)對各相漏感進(jìn)行計(jì)算。

4 不同形狀繞組端部漏感計(jì)算及試驗(yàn)驗(yàn)證

選取3臺(tái)繞組端部形狀分別為喇叭口形、半橢圓形以及半矩形的電機(jī)為試驗(yàn)對象，3臺(tái)電機(jī)的端部繞組形狀如圖14所示。

圖14 不同繞組端部形狀的樣機(jī)

試驗(yàn)所用喇叭口形端部繞組的電機(jī)為六相感應(yīng)電機(jī)，為方便對比將1Y繞組和2Y繞組串聯(lián)變?yōu)槿喔袘?yīng)電機(jī)；半橢圓形端部繞組電機(jī)為普通的三相繞線型電機(jī)；半矩形端部繞組樣機(jī)為大功率推進(jìn)電機(jī)的縮比樣機(jī)。

3臺(tái)電機(jī)的基本參數(shù)以及繞組端部的形狀參數(shù)如表1所示。

表1 電機(jī)基本參數(shù)

由于繞組端部漏感難以采用試驗(yàn)直接測量，參考文獻(xiàn)[16]的方法對端部漏感進(jìn)行測量。

分別利用能量法、基于Boit-Savart定理的計(jì)算法和基于矢量磁位的計(jì)算法對喇叭口形、半橢圓形以及半矩形端部繞組電機(jī)的端部漏感進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算及試驗(yàn)測量結(jié)果如表2所示。

表2 端部漏感計(jì)算及試驗(yàn)測量結(jié)果 mH

對比表2的結(jié)果，可以看出：喇叭口形繞組端部漏感，采用矢量磁位計(jì)算的結(jié)果與試驗(yàn)測試結(jié)果最為接近；半橢圓形繞組端部漏感，采用能量法計(jì)算的結(jié)果與試驗(yàn)測試結(jié)果最為接近；半矩形繞組端部漏感，采用基于Boit-Savart定理的計(jì)算結(jié)果和矢量磁位的計(jì)算結(jié)果均與試驗(yàn)測試結(jié)果相近。

結(jié)合表2的對比結(jié)果以及3種端部漏感計(jì)算方法的特性，總結(jié)如下。

(1) 喇叭口形繞組端部漏感宜采用矢量磁位法計(jì)算?；谑噶看盼坏挠?jì)算法能夠計(jì)及喇叭口處的磁通量和斜邊部分傾角，計(jì)算精度較高且計(jì)算速率較快；能量法能夠考慮到喇叭口處磁通量以及斜邊傾角，但計(jì)算誤差較大，其原因在于求解域內(nèi)不僅有端部繞組產(chǎn)生的磁場，還有其他部件產(chǎn)生的漏磁；基于Boit-Savart定理的計(jì)算法需對繞組端部的磁通面進(jìn)行剖分，如果磁通面的形狀過于復(fù)雜會(huì)使建模難度增加，對于喇叭口形則是采用中層面進(jìn)行簡化，簡化后無法計(jì)及喇叭口處磁通量以及斜邊傾角，導(dǎo)致精度不及矢量磁位法。

(2) 半橢圓形繞組端部漏感的計(jì)算宜采用能量法。半橢圓形繞組的端部具有傾角且繞組端部的圓弧段不規(guī)則，其空間坐標(biāo)及磁通面建模較為復(fù)雜，為方便計(jì)算在建模時(shí)會(huì)進(jìn)行一定簡化，使誤差增大，因此基于Boit-Savart定理的計(jì)算法和基于矢量磁位的計(jì)算法不適用。

(3) 半矩形繞組端部漏感的計(jì)算宜采用基于Boit-Savart定理或基于矢量磁位的計(jì)算法。由于半矩形繞組端部結(jié)構(gòu)較為簡單，其圓弧段一般與電機(jī)同心，磁通面的建立以及繞組端部一維坐標(biāo)的選取均比較容易，宜采用比能量法精度更高的Boit-Savart計(jì)算法或矢量磁位計(jì)算法。

5 結(jié) 語

本文以喇叭口形、半橢圓形以及半矩形端部繞組為例，采用能量法、Boit-Savart定理、矢量磁位的端部漏感計(jì)算方法對3種不同形狀端部的漏感進(jìn)行計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)測試結(jié)果進(jìn)行比較，分析得出3種端部漏感計(jì)算方法的適用范圍。

總結(jié)得出，當(dāng)繞組端部不存在傾角且磁通面外輪廓規(guī)則時(shí)，可利用Boit-Savart計(jì)算法或矢量磁位計(jì)算法；當(dāng)繞組端部存在傾角且繞組端部一維坐標(biāo)的選取均比較容易時(shí)，宜采用矢量磁位計(jì)算法；當(dāng)繞組端部不規(guī)則，建模較為困難時(shí)，宜采用能量法。