李雪梅，崔菲菲，駱海濤，李 喆

（1.桂林電子科技大學 機電工程學院，桂林 541004；2.中國科學院沈陽自動化研究所，沈陽 110016）

0 引言

隨著制造業(yè)的日益發(fā)展與進步，各行各業(yè)對產品的質量和生產效率的要求也在不斷提高，然而人工作業(yè)很難滿足工業(yè)發(fā)展的需求[1]。為了解決這一問題，許多行業(yè)開始使用機器人代替人工作業(yè)，從而促使工業(yè)機器人的需求量越來越大。同時，對機器人的控制精度、穩(wěn)定性以及生產效率的要求也在不斷提高[2]，而機器人運動學分析是實現機器人運動控制與軌跡規(guī)劃，提高機器人控制精度、穩(wěn)定性以和生產效率的基礎[3]。

機器人的所有操作動作都靠其關節(jié)變化來實現，關節(jié)數越多其靈活性越高，越能完成較復雜的動作[4]。目前使用最為廣泛的是6自由度工業(yè)器人，該類型機器人的運動學分析相對復雜。因此，對6自由度機器人的運動學進行研究很有必要。

1 機器人運動學分析

1.1 基于D-H參數法的機器人模型

以EFORT機器人作為分析模型，該模型是一個開式運動鏈機器人。它由7個連桿通過6個旋轉關節(jié)串聯而成，可以在工作空間以不同的方式運動。采用Denavit與Hartenberg兩位科學家提出的D-H參數法來描述連桿和關節(jié)的幾何關系。由于連桿0是機器人的基座，連桿6連接著末端執(zhí)行器。因此，在機座處建立基坐標系{0}，在連桿6處建立工具坐標系{6}，其他坐標系分別建在余下的各個關節(jié)處[5]，如圖1所示。

圖1 機器人的D-H空間坐標系

根據圖1建立的機器人連桿坐標系，可以獲得EFORT機器人的D-H參數表，如表1所示。

表1 EFORT機器人參數

1.2 正運動學分析

機器人正運動學分析是在已知機器人各個關節(jié)的轉角θi和關節(jié)偏移di的條件下，通過運動學方程求解出機器人末端執(zhí)行器任意時刻的位姿[6]。根據EFORT機器人坐標系和D-H參數表，可以計算出相鄰兩個坐標之間的變換矩陣nTn+1(i=1，2，…，6)。即：

由于該型機器人含有6個旋轉關節(jié)，所以存在6個未知變量，即關節(jié)角θ1～θ6，將6個關節(jié)參數代入到式(1)中，然后依次相乘，得到六自由度機器人末端執(zhí)行器相對基坐標系的總變換矩陣：

為了檢驗機器人的正運動學方程是否正確，將表1中的數據代入式(2)中并利用MATLAB計算，計算的結果為：

0T6的左側3x3矩陣表示機器人的姿態(tài)，可以發(fā)現：機器人末端的x軸與基坐標系的y軸方向相反，y軸與基坐標系的x軸同向，z軸與基坐標系的z軸同向。第四列元素代表機器人末端的位置，可以發(fā)現：機器人末端位置在基坐標系中沿x0軸平移了940mm的距離，沿z0軸平移了1290mm的距離[7]。計算結果與圖1所示的工具坐標系6的位姿完全相同，表明正運動學方程是正確的。

1.3 逆運動學分析

機器人的逆運動學分析是在已知機器人末端執(zhí)行器某一個期望點位置和姿態(tài)的條件下，求解機器人6個旋轉關節(jié)的參數。由于所研究的EFORT機器人滿足Piper準則，所以采用反變換法求解6個關節(jié)角度值。由式(1)可以發(fā)現，矩陣中含有三角函數，為了使角度解耦[8]，可用單個矩陣的“逆”左乘末端執(zhí)行器的位姿矩陣0T6，于是可求得各關節(jié)變量θ1～θ6，依次求得結果如下：

由于在[-180°，180°]區(qū)間內，θ1有1個解，θ2、θ3分別有4個解，θ4、θ5、θ6分別有8個解，因此可以得到8組封閉解。

為了檢驗逆運動學算法是否正確，在機器人的工作空間中任意選取一個末端點的位姿，其矩陣為：

調用MATLAB工具箱中的robot.ikine(T)函數，計算出各個連桿的關節(jié)角為：

q=[0，-1.5708，0.5236，0，1.0472，0]

用時0.043毫秒。由于機器人工具箱中自帶的ikine函數在求解時會出現迭代不收斂的情況，從而無法確定每次獲得的任意位姿下機器人的關節(jié)角度是否都是準確的、合理的[9]。因此，用MATLAB編寫出前文用反變換法計算出的逆解表達式的相應代碼，可求出機器人的8組封閉解：

用時0.006毫秒。將以上8組解分別代回MATLAB的fkine函數中，均能得到與式(4)相同的結果，從而對逆運動學算法的準確性進行了檢驗。

2 運動學仿真

為了更直觀地觀察機器人在工作空間中的運動狀態(tài)，采用MATLAB軟件對其進行運動學仿真。利用MATLAB Robotics Toolbox中的Link和robot函數對機器人的初始位姿進行建模。相關程序如下：

建立的模型如圖2所示。

圖2 機器人三維結構圖

圖2顯示，將初始值（0，-pi/2，0，0，pi/2，-pi/2）分別輸入到q1～q6中，可以得到機器人末端的位姿，與圖1所示位姿相同，進一步檢驗了正運動學的正確性。也可以通過拖動q1～q6的值來觀察機器人在空間中的運動情況，方便實時模擬仿真。

3 機器人工作空間分析

當機器人的所有關節(jié)進行所有可能的運動時，機器人末端執(zhí)行器所能達到的所有點的集合稱為機器人的工作空間。對機器人的工作空間進行分析，常用的方法是蒙特卡羅法，該法是通過隨機抽樣來使機器人的關節(jié)取值多樣化，以便在笛卡爾空間中獲得大量的末端點，進而可獲得機器人工作空間的形狀。該法求解步驟如下：

1）由機器人的正運動學方程，可以求解到機器人末端參考點在笛卡爾坐標系中的位置向量為：

2）使用MATLAB中的RAND函數，可以在0～1范圍內得到一組偽隨機數，得到各個關節(jié)變量的隨機值：

其中：θimax、θimin分別表示關節(jié)i運動轉角范圍的最大、小值；N為迭代次數，這里N取值為20000。

3）將機器人各關節(jié)變量隨機生成的N個隨機數代入末端執(zhí)行器位置向量[px，py，pz]T中，可得機器人末端執(zhí)行器在笛卡爾空間中的位置坐標。

4）借助MATLAB中的plot3函數繪制出機器人末端的工作空間點狀云圖，如圖3所示。

圖3 三維工作空間

圖4、圖5分別為空間點云圖在xoy二維平面和xoz二維平面上的投影。機器人的三維空間隨機位置點數量足夠的多，獲得的空間的精確度就越高，空間輪廓也越清晰。

圖4 XOY平面投影

圖5 XOZ平面投影

通過分析機器人的工作空間點云圖可以發(fā)現，機器人的工作空間沒有出現空腔和空洞，說明機器人整體上滿足作業(yè)要求[10]。

4 機器人的可操作性分析

機器人的可操作性是一個相對重要的技術指標，它關系到機器人在工作過程中與操作目標之間的協調性，這對于提高生產效率及生產安全性都至關重要[11]。

分析機器人的可操作性，一般用雅克比矩陣J(q)的行列式是否為0來判別機器人是否處于奇異位置，用雅克比矩陣的奇異性來描述機器人的靈巧性[12]。速度可操縱性橢球體可以表示機器人任意改變末端執(zhí)行器位置和方向的能力。

末端執(zhí)行器速度空間橢球體方程為：

式(J(q)J(q)T)-1指工作空間中的某個橢球，也叫作機器人操作度橢球。末端執(zhí)行器可以以較高的速度沿著橢球的主軸方向運動，而以較慢的速度在副軸上運動。如果該橢球的形狀近似于球形，即它所有的半徑均在同一數量級，那么機器人末端可以達到任意的笛卡爾速度。如果其中一個或多個半徑相對較小，表明機器人末端不能達到那些小半徑所對應的速度。

當關節(jié)角為[0，-π/2，-π/2，0，π/6，-π/2]時，機器人是奇異的。然后用MATLAB 中的plot_ellipse(J*J’)函數繪制出末端執(zhí)行器平移速度橢球，如圖6所示，可以發(fā)現，末端執(zhí)行器的平移速度橢球近似于一個厚度幾乎為零的厚板。這表明機器人不能繞小半徑對應的方向旋轉，同時用MATLAB工具箱中的maniplty函數計算出此狀態(tài)下的機器人可操作度為0。

圖6 機器人末端平移速度橢球

當機器人處于標準位置時，末端執(zhí)行器的旋轉速度橢球如圖7所示。由圖7可以看出：機器人末端執(zhí)行器旋轉速度橢球近似于一個球體，所以末端執(zhí)行器可以在y軸和z軸方向實現比x軸方向更高的速度，機器人的可操作度大一些。此時機器人旋轉操作度為0.475631，平移操作度為2.44949。

圖7 機器人末端旋轉速度橢球

5 結語

以EFORT機器人作為研究目標，采用D-H方法完成了6R機器人的運動學分析。通過兩個相鄰連桿之間的變換矩陣順次相乘得到末端執(zhí)行器的位姿矩陣。根據反變換法求解出機器人的8組封閉解，并運用MATLAB軟件檢驗了其正、逆運動學方程的準確性和合理性。結果表明：用反變換編寫的函數求解速度要快于工具箱自帶函數求解速度。其次，依據蒙特卡羅法分析了機器人的工作空間，結果顯示，所得到的點云圖均勻且并不存在空腔等問題。最后，利用雅克比矩陣函數，分析了機器人的靈活性，結果表明機器人具有良好的可操作性。