吳亦源 秦衛(wèi)陽 徐佳文 吳沁娛 王平

(1.中國航發(fā)北京航空材料研究院，北京 100095)(2.西北工業(yè)大學，西安 710072)(3.東南大學，南京 211189)(4.中國航發(fā)湖南動力機械研究所，株洲 412002)

引言

振動對于機械的性能與安全影響很大.以旋轉機械為例，由于存在臨界轉速，很小的不平衡就會產生很大的振動，其振動控制十分必要.20世紀90年代初，一些學者發(fā)現(xiàn)并證明了晶體中彈性波帶隙的存在[1，2]，提出了聲子晶體概念[3]，并通過實驗驗證了彈性波帶隙的存在[4].超材料的性質主要由其結構決定，具有某些超常規(guī)的特性，例如：負等效質量或密度[5]、負折射率[6,7]、完美吸收等[8,9].

Liu等[10]在2000年提出了局域共振型聲子晶體，將被硅橡膠包裹住的鉛球放入環(huán)氧樹脂中，實現(xiàn)了負的等效密度，最終形成帶隙.Yang等人[11]提出了薄膜型超材料，將嵌有質量塊的薄膜固定在硬質框架上，實現(xiàn)了200～300 Hz內的負等效質量.Mei等人[12]提出了一種由彈性薄膜和附在其上的對稱剛性薄板組成的超材料，實現(xiàn)了多個頻段對彈性波的吸收.除此以外，還有許多學者設計了諸如復合平板型超材料[13]、懸臂梁型超材料[14]、薄膜圓柱型超材料[15]等多種超材料模式，以滿足不同環(huán)境和不同行業(yè)的需要.

雖然薄膜-質量塊型超材料有著實現(xiàn)方便的特點，但對于復雜、間隙很小的結構，此類超材料的使用受到限制，而且薄膜存在老化問題，會影響超材料的可靠性，針對這種情況，出現(xiàn)了基于壓電原理和壓電分流阻尼的壓電超材料，利用電感-壓電換能器耦合所產生的LC局部共振現(xiàn)象來實現(xiàn)頻率帶隙.Chen等[16]通過在梁上附加壓電片，通過調節(jié)內部參數(shù)，實現(xiàn)了超材料帶隙的可調性，并得出了初步結論；張浩等[17]通過引入負電容電路、多模態(tài)電路以及多種元胞的設計，提出了一種可以展寬超材料帶隙的方法；陳圣兵等[18,19]分析了桿局域共振帶隙的形成機理，并對分流電路中元件參數(shù)變化對帶隙的影響進行了研究，為超材料帶隙的主動調控提供了一種新方法.李夏臨等[20]提出了一種二維平面陀螺超材料結構，建立了其動力學方程，分析了其帶隙特性和色散關系，證明了二維平面陀螺超材料結構對于扭轉振動有很好的抑制作用.王偉能等[21]發(fā)現(xiàn)，對于三角陀螺超材料結構，通過陀螺轉速的調節(jié)，可以控制結構的帶隙.研究結果表明，波在帶隙頻段內受到很好的抑制.劉杰等[22]提出了D型和I-WP型三重周期極小曲面夾芯結構，并研究了其隔聲效果.由理論分析與實驗結果，發(fā)現(xiàn)I-WP型極小曲面夾芯結構在4400～5000 Hz頻段，隔聲量可達60 dB.

本文提出了一種壓電超材料單元結構，由基體與上下兩層壓電材料組成，并與外接電感相連接，構成了厚度很小的超材料減振胞元.對于此模型，基于二維理論模型和三維有限元模型進行了仿真，證明其可以產生低頻帶隙.針對壓電超材料梁進行了模擬，分析了內部元件電阻和諧振頻率的改變對壓電超材料梁減振能力的影響，獲得了更好的減振特性.

1 物理模型與建模

1.1 壓電超材料元胞及梁模型

壓電超材料由壓電材料元胞周期排列組成.壓電超材料基本單元元胞由基體及附在其上下表面的兩片壓電片組成，并與電感相連，如圖1(a)所示.圖1(b)為壓電超材料元胞的俯視圖，其中，A為壓電片，B為基體，壓電片邊長為l，基體薄板邊長為a，厚度為h.

(a)壓電超材料元胞示意圖

1.2 可調電感分流電路模型

考慮到傳統(tǒng)的繞線電感數(shù)值不可調，且繞線電感的電感值普遍較小(小型繞線電感普遍為μH量級)，由于PZT的電容值只有nF量級，如產生300 Hz頻率段的帶隙，需連接數(shù)亨的感性分流電路，而此量級的電感電路一般具有極大的體積、電阻和磁遲滯.故此，難以利用繞線電感與PZT構造低頻局部共振，即難以產生低頻禁帶.此處利用運算放大器搭建了模擬電感電路，如圖2所示.特別值得注意的是，通過調節(jié)電路中的可調電阻R1和R2，可以改變模擬電感電路的等效電感的數(shù)值，而不必改變系統(tǒng)整體的機械和電路結構.

圖2 壓電超材料分流電路示意圖

1.3 壓電超材料帶隙特性分析

為了分析壓電超材料梁的減振特性，對超材料進行有限元建模，對于超材料周期性特性，通過將彈性波方程重組為穩(wěn)態(tài)簡諧場的本征值問題.求解本征值，可以清楚地看到超材料的帶隙現(xiàn)象[20-22].以如圖1(b)的壓電超材料元胞進行相關理論的介紹.

根據(jù)彈性力學，元胞的彎曲波控制方程可以表示為

(1)

式中，w為彎曲波位移，D為薄板彎曲剛度，ρs為基體的密度，且

(2)

D?4W(x,y)-ω2ρsW(x,y)=0

(3)

元胞的邊界條件可以由Bloch定理給出

W(x+ma,y+na)=W(x,y)e-i(mcos θ+nsin θ)ka

(4)

式中，k為波矢k的大小，θ為波矢k的方向，m，n=0，1.

引入?yún)?shù)變換式：

W(x,y)=Φ(x,y)·e-ik(xcos θ+ysin θ)

將參數(shù)變化式帶入Bloch邊界條件(4)可得

Φ(x+ma,y+na)=Φ(x,y)

(5)

可見通過變換，可以將Bloch邊界條件轉化為連續(xù)型邊界條件.

利用有限元法對偏微分方程進行求解后，可以得到其動力學方程為

(K0+λK1+λ2K2+λ3K3+λ4K4-

w2M)d=F

(6)

式中，Kj(j=0,1,2,3,4)為剛度矩陣，M為質量矩陣，d為節(jié)點位移向量，F(xiàn)為節(jié)點力向量.

把節(jié)點位移向量d按照節(jié)點位置進行分塊(其中F與d對應)，劃分為如圖3所示的子向量，則元胞邊界條件可表示為

圖3 節(jié)點分組

(7)

(8)

將式(7)和式(8)整理為矩陣形式，則有

(9)

式中，x=[dIdBdLdLB]T，且

(10)

將式(9)帶入式(6)，可得多項式特征值方程

(3)催化劑對纖維素轉化5-HMF的過程有著至關重要的作用，選擇合適的催化劑對5-HMF得率的提高尤為重要。選擇催化劑的過程主要是對催化機理的研究，也是本課題組下一步的工作重心。

(D0+λD0+λ2D0+λ3D0+λ4D0)x=0

(11)

式中

D0=TT(K0-w2M)T

Dj=TTKjT(j=1,2,3,4)

(12)

把方程(11)整理為標準的特征值方程可得

[Q(θ,w)-λI]y=0

(13)

式中，y=[xλxλ2xλ3x]T且

(14)

從式(13)可以看出，只要給定波矢方向θ和頻率ω，就可以求出特征值λ.本文中正方形基體為鋁，邊長為40 mm，厚度為3.13 mm，彈性模量為69 GPa，泊松比為0.33，質量密度為2730 kg/m3；壓電材料為壓電模塊中的PZT-5H壓電材料，為正方形，邊長為20 mm，厚度為0.5 mm，可計算出元胞的色散曲線.實際中，采用多場耦合有限元進行了仿真分析，結果如圖4所示.

圖4 壓電超材料帶隙分析

可以看出壓電超材料帶隙大約在262～280 Hz，理論計算與仿真結果是一致的.

2 計算結果與討論

2.1 電阻對壓電材料減振特性的影響

為了分析有壓電超材料的減振特性，在一根懸臂梁上，安裝了12個壓電超材料元胞，形成壓電超材料結構.此彈性梁在固支端受到基礎激勵，結構模型如圖5(a)所示.胞單元幾何參數(shù)為：正方形基體為鋁，邊長為25.38 mm，厚度為3.13 mm，彈性模量為69 GPa，泊松比為0.33，質量密度為2730 kg/m3；壓電材料為壓電模塊中的PZT-5H壓電材料，為正方形，邊長為21 mm，厚度為0.55 mm；梁的尺寸為：507.6 mm×25.38 mm×3.13 mm.

對壓電超材料來說，接入的電感與壓電片PZT的電容會組成LC電路，當彈性波傳入時，會發(fā)生局域共振，達到減振效果.因為壓電超材料在結構和電路組成(包括電路元器件和連接導線)方面不可避免地存在電阻．此處，在其分流電路中引入不同的電阻，并讓其組成有限單元的壓電超材料梁，通過拾取自由端位移，分析傳輸曲線在有一定電阻情況下的變化情況，如圖5所示.

(a)壓電超材料梁模型

圖5(b)為在L=16 H，R=20 Ω，f=291.73 Hz條件下梁在基礎激勵下(左端)的強迫響應，可以看出，梁左端的基礎激勵無法傳遞到右端，顯示了壓電超材料很好的減振效果.

圖6所示是分流電路串聯(lián)電阻時梁末端位移變化，圖中藍色線表示在未接入電感與電阻時，有限長度壓電超材料梁的頻響特性；其他曲線分別代表接入16 H電感后，外接不同電阻條件下，壓電超材料梁的頻響特性.此處分流電路中串聯(lián)的電感值保持16 H不變，且梁的結構保持不變.可以看出，對于傳統(tǒng)壓電梁來說，其在300 Hz以下不能產生吸振的效果；對于在16 H下外接了電阻的壓電梁來說，在300 Hz附近產生了帶隙；由圖6和圖7可以看出，電阻的改變對帶隙寬度并沒有影響；此外，由圖6可知，壓電超材料梁分流電路串聯(lián)電阻較小時，位移變化較大，壓電超材料梁對波傳播的衰減性能較好；而分流電路中串聯(lián)電阻較大時，彈性梁末端線平均位移變化較小，即波衰減性能較弱.故此，減小系統(tǒng)的阻尼及分流電路的電阻，可以增強壓電超材料的波衰減性能.

圖6 壓電超材料梁在不同外接電阻下的頻率-響應曲線

圖7 壓電超材料梁在不同外接電阻下的頻率-波數(shù)曲線

為了分析超材料梁在振動過程中壓電片電壓的變化，在首個壓電片上表面取中點，通過分析其電場模隨振動的變化.

圖8所示是壓電超材料梁在不同外接電阻下的電場模隨頻率變化的情況，圖中藍色線表示在不外加任何電阻與電感情況下，傳統(tǒng)有限長度壓電超材料梁的電場模隨頻率的變化情況；其余曲線表示在不同電阻，相同電感(16 H)的情況下，壓電超材料梁的電場模隨頻率的變化情況.可以看出，壓電超材料梁在沒有電感與電阻耦合作用的情況下，無法產生低頻帶隙；若存在電感與電阻耦合現(xiàn)象，其帶隙與頻響曲線的位置和范圍是一致.由圖8可知，壓電超材料梁分流電路串聯(lián)電阻較小時，電場模變化較大，壓電超材料梁對波傳播的衰減性能較好；而分流電路中串聯(lián)電阻較大時，波衰減性能較弱.因此，有限長度的壓電超材料梁對于振動有很大的衰減和吸收作用；若想獲得更為理想的振動衰減性能，需減小系統(tǒng)的阻尼及分流電路的電阻，以增強壓電超材料的波衰減性能.

圖8 壓電超材料梁在不同外接電阻下的頻率-電場模曲線

2.2 電感變化對壓電材料減振特性的影響

根據(jù)壓電超材料的減振機制可知，改變電感會改變LC電路的參數(shù)，進而影響壓電梁的減振特性.而對于有限長度的超材料梁來說，它既是一個整梁，也是有限個元胞的集合，所以在外加電感時，可以先把梁視為一個整體，統(tǒng)一加上相同的電感，以整體的形式改變諧振頻率，探究電感對壓電梁整體減振特性的影響；進一步地，在每個元胞上，加上不同的電感，使每個元胞上的諧振頻率出現(xiàn)變化，探究梁上元胞電感不同時，有限長度壓電梁的減振性能.

模型為2.1節(jié)所建立的壓電梁，利用有限元軟件分析壓電梁在結構不變，外接電感變化的情況下減振特性的變化，結果如圖9所示.

圖9顯示了壓電梁外接電感變化時彈性梁末端線平均位移和首個壓電片電壓的變化，圖中紫色線表示在未接入電感時，壓電梁的頻率-響應和頻率-電場模特性；其他曲線分別代表接入10 H、15 H、20 H、25 H電感，外接0.1 Ω電阻條件下，壓電超材料梁的頻率-響應和頻率-電場模特性.可以看出，對于傳統(tǒng)壓電梁，其在300 Hz以下不能產生吸振的效果；而對于外接了電感的壓電梁，其在370 Hz、300 Hz、260 Hz、230 Hz附近壓電梁末端位移大幅降低，同時壓電片上電壓大幅提升，即產生了帶隙，阻隔了振動波的傳遞，帶隙情況如表1所示.

由圖9及表1可得，壓電梁整體接入電感后，其具有阻隔低頻振動的作用，隨著電感的增大，壓電梁可對更低頻的振動產生阻隔作用，同時，帶隙寬度有輕微下降.因此，增大壓電梁的外接電感可以對更低頻率的振動產生阻隔作用，且對帶隙寬度影響不大.因此，增加壓電胞元外接電感，可以增強壓電梁的減振性能.

表1 壓電梁(整體)不同電感條件下帶隙始末位置及寬度統(tǒng)計表

(a)頻率-響應曲線

進一步地，對有限長度壓電梁上的每個元胞加上不同的電感，可以使其出現(xiàn)諧振頻率偏差，每個元胞分別相對上一個元胞電感以固定比率增加，本文所采取的增加比率為0%，1%、2%、3%，對應的諧振頻率相差為0%，1%、2%、3%，分析壓電梁的減振能力變化，結果如圖10所示.

(a)頻率-響應曲線

圖10為元胞諧振頻率按比率變化時壓電梁的頻率-響應和頻率-電場模特性，表2則展示了諧振頻率增加比率和壓電梁減振特性的關系.由圖10可知，壓電梁上的元胞諧振頻率存在差別后，壓電梁具有阻隔低頻振動的作用；對比與每個元胞電感固定的情況，元胞諧振頻率按固定比例增加可使壓電梁末端振幅減小的頻帶變寬，即帶隙變寬，表2則顯示了元胞諧振頻率不同時，帶隙的始末位置和寬度，隨著元胞外接電感增加比例的上升，壓電梁的帶隙變寬，起始頻率下降.因此，按固定比例依次增加元胞諧振頻率，可以增強壓電梁的波衰減性能，比例越大，波衰減性能越好.

表2 壓電梁(元胞)不同諧振頻率下帶隙始末位置及寬度統(tǒng)計表

3 結論

本文設計了一種壓電超材料元胞，研究了在不同內部元件電阻下，壓電超材料梁的減振特性，通過理論與仿真分析，證明了此壓電超材料可以產生低頻帶隙，并可以通過調節(jié)電感與電阻改變帶隙位置；壓電超材料對于懸臂梁基礎激勵有很好的減振作用；提高振動的減振效果，可以減小分流電路的電阻、增大梁整體的外接電感或按固定比例增加每個元胞的諧振頻率，增強壓電超材料的波衰減性能.

致謝：感謝中國航發(fā)振動技術重點實驗室對外開放項目(KY-52-2018-0020)的資助.