徐浩鈞，陳 昂，周福盛

（江蘇大學(xué) a.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院；b.汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

某建筑和裝飾板材的生產(chǎn)企業(yè)所用原材料主要是木質(zhì)纖維和其他植物素纖維，總體分為A、B、C三種類型。該企業(yè)每年按48周安排生產(chǎn)，需要提前制定24周的原材料訂購(gòu)和轉(zhuǎn)運(yùn)計(jì)劃，即根據(jù)產(chǎn)能要求確定原材料供應(yīng)商和每周需要訂購(gòu)的相應(yīng)原材料數(shù)量，確定第三方物流公司并委托其將供應(yīng)商每周的原材料供貨轉(zhuǎn)運(yùn)至企業(yè)倉(cāng)庫(kù)。2021年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽C題[1]附件給出該企業(yè)近5年402家原材料供應(yīng)商的訂貨量和供應(yīng)數(shù)據(jù)，8家轉(zhuǎn)運(yùn)商的運(yùn)輸損耗率數(shù)據(jù)，要求對(duì)生產(chǎn)企業(yè)原材料的訂購(gòu)與運(yùn)輸決策問題進(jìn)行探究。本文擬基于熵權(quán)法針對(duì)賽題要求逐一建模求解，對(duì)供應(yīng)商進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)[2]，以確定對(duì)企業(yè)最重要的供應(yīng)商，并給出優(yōu)化訂購(gòu)運(yùn)輸方案。

1 問題一模型的建立與求解

1.1 供應(yīng)商供貨特征指標(biāo)選取及標(biāo)準(zhǔn)化處理

（1）供貨比

供應(yīng)商i的供貨比是指在240周內(nèi)，企業(yè)向供應(yīng)商i訂貨的次數(shù)占總周數(shù)的比例，表示為

其中，ni為企業(yè)在240周內(nèi)向供應(yīng)商i訂購(gòu)原材料的次數(shù)。經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理后的供貨比為

（2）平均供貨量

平均供貨量βi是指供應(yīng)商每次提供的平均貨量，表示為

其中，pij為供應(yīng)商i第j周的供貨量，mi為剔除異常數(shù)據(jù)后供應(yīng)商i的總供貨次數(shù)。

為消除數(shù)量級(jí)差異影響，得到較為合理的數(shù)據(jù)，將平均供貨量取對(duì)數(shù)后再進(jìn)行極差變換。

同樣對(duì)平均供貨量βi進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到

（3）平均訂貨量

平均訂貨量φi是指企業(yè)每次向供應(yīng)商i訂購(gòu)的平均貨量，表示為

其中，qij為企業(yè)第j周向供應(yīng)商i的訂貨量，ni為剔除異常數(shù)據(jù)后企業(yè)向供應(yīng)商i的總訂貨次數(shù)。

分析數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)，平均訂貨量在數(shù)量級(jí)上的差異和平均供貨量類似，因此，對(duì)該數(shù)據(jù)同樣先取對(duì)數(shù)，再進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

（4）供訂比

現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)中存在企業(yè)向供應(yīng)商訂貨但供應(yīng)商拒絕發(fā)貨的情況，所以引入供訂比判定各供應(yīng)商的供應(yīng)信譽(yù)。供訂比越大，信用程度就越高，特征值越大。供訂比σi表示為

其中，mi為供應(yīng)商i的供貨次數(shù)，ni為企業(yè)訂貨次數(shù)。同樣對(duì)σi進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到

（5）訂貨量變異系數(shù)

變異系數(shù)是衡量各觀測(cè)值變異程度的統(tǒng)計(jì)量[3]。某一供應(yīng)商訂貨量的變異系數(shù)直接反映了該供應(yīng)商供貨的穩(wěn)定程度，其值同時(shí)受平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的影響。將企業(yè)240周內(nèi)向供應(yīng)商i的周平均訂貨量記為μi，周訂貨量的標(biāo)準(zhǔn)差為σi，則供應(yīng)商i的訂貨量變異系數(shù)Ci可表示為

將訂貨量變異系數(shù)Ci標(biāo)準(zhǔn)化處理。由于Ci為極小型變量，首先采用倒數(shù)變換將其一致化處理，得到極大型變量Ci′，

則標(biāo)準(zhǔn)化后的訂貨量變異系數(shù)Ci″為

對(duì)上述5個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)分析計(jì)算，得到各供應(yīng)商量化的供貨特征指標(biāo)如表1所示（部分），各特征指標(biāo)用xik表示（i=1，2，…，402，k=1，2，…，5）。

表1 各供應(yīng)商供貨特征指標(biāo)（部分）

1.2 供應(yīng)商對(duì)企業(yè)重要性的量化分析

（1）熵權(quán)法計(jì)算權(quán)重

熵權(quán)法是一個(gè)相對(duì)客觀的賦權(quán)方法，可很大程度地避免主觀影響[2]。上文已對(duì)5個(gè)指標(biāo)進(jìn)行了正向標(biāo)準(zhǔn)化處理，為方便描述，用zk，i表示第i個(gè)供應(yīng)商的第k個(gè)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值，計(jì)算第k個(gè)特征指標(biāo)的信息熵ek，

其中，pk，i是第i供應(yīng)商的第k個(gè)特征量在第k特征量總和中所占的比例，即

信息熵越大，特征指標(biāo)的信息越少，因此需要對(duì)其進(jìn)行正向化處理，而計(jì)算其對(duì)應(yīng)的信息效用值dk可正向衡量信息量，

最后，再進(jìn)行歸一化處理，得到各供應(yīng)商特征指標(biāo)的熵權(quán)wk（k=1，2，3，4，5）

經(jīng)計(jì)算得到5個(gè)特征指標(biāo)權(quán)重如圖1所示。

由圖1可見，平均供貨量所占權(quán)重最大，其次是平均訂貨量，供貨比次之，而供訂比和變異系數(shù)所占比重相較于前三者非常小，供訂比權(quán)重甚至小于10－10，說(shuō)明供訂比不能反映供應(yīng)商的供貨特征。最終，得到評(píng)價(jià)重要性的4項(xiàng)指標(biāo)如表2所示。

圖1 各供貨特征指標(biāo)權(quán)重

表2 評(píng)價(jià)供應(yīng)商供貨特征重要性的4項(xiàng)指標(biāo)

（2）綜合評(píng)價(jià)模型的建立

為簡(jiǎn)化問題，假設(shè)各項(xiàng)供貨指標(biāo)間相互獨(dú)立，選擇線性加權(quán)函數(shù)作為綜合評(píng)價(jià)模型，綜合評(píng)價(jià)402家供應(yīng)商對(duì)企業(yè)的重要性[4－5]。令Yi為供應(yīng)商i的重要性綜合得分，則

其中，wk為第k個(gè)供貨指標(biāo)的權(quán)重，xik為供應(yīng)商i第k個(gè)供貨指標(biāo)。

經(jīng)計(jì)算得到402家供應(yīng)商量化的重要性綜合得分，確定50家對(duì)企業(yè)最重要的供應(yīng)商，并用南丁格爾圖呈現(xiàn)綜合評(píng)價(jià)模型，結(jié)果如圖2所示。

2 問題二模型的建立與求解

2.1 滿足生產(chǎn)需求的供應(yīng)商最小數(shù)量選擇

引入0－1變量yij，若企業(yè)第j周向供應(yīng)商i訂貨，則yij=1，反之則yij=0。

各供應(yīng)商供應(yīng)的原材料種類不同，企業(yè)生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需各類原材料的數(shù)量也存在差異，因此用ki表示生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需供應(yīng)商i的原材料數(shù)量。企業(yè)生產(chǎn)每m3產(chǎn)品需消耗A類原材料0.6 m3，B類原材料0.66 m3，C類原材料0.72 m3，而各供應(yīng)商生產(chǎn)原材料的種類固定，即ki為固定值，ki∈{0.6，0.66，0.72}。

圖2 50家最重要的供應(yīng)商及其綜合得分

用xij表示企業(yè)第j周向供應(yīng)商i的訂貨量，則企業(yè)在第j周訂購(gòu)原材料的總量sj可表示為

企業(yè)第j周總訂貨量可帶來(lái)的預(yù)計(jì)產(chǎn)能qj可表示為

由上述分析建立目標(biāo)規(guī)劃模型。

（1）目標(biāo)函數(shù)確定

決策目標(biāo)設(shè)定為企業(yè)24周內(nèi)供應(yīng)商的選擇數(shù)量，決策變量為0-1變量yij，則目標(biāo)函數(shù)可表示為

（2）約束條件確定

1）企業(yè)每周的產(chǎn)能至少為2.82×104m3，即

2）因不同供應(yīng)商的供應(yīng)能力不同，引入?yún)?shù)Hij表示供應(yīng)限制。Hij可用過(guò)去5年中每個(gè)上半年（24周）各供應(yīng)商在各周以及前后兩周內(nèi)的最大供貨量表示（每年的第一周數(shù)據(jù)用每年前兩周的數(shù)據(jù)確定）。用tij（k）表示過(guò)去第k年供應(yīng)商i的供貨量，則供貨限制Hij可表示為

3）企業(yè)在向供應(yīng)商訂購(gòu)原材料時(shí)，需要考慮訂購(gòu)量不能超過(guò)供應(yīng)商的最大供貨能力，即

（3）模型建立與求解

建立滿足生產(chǎn)需求的供應(yīng)商選擇數(shù)最小的數(shù)學(xué)模型為

使用Lingo模型求解，可得最優(yōu)解z1=265。同時(shí)，根據(jù)對(duì)最優(yōu)解的分析，得到企業(yè)在未來(lái)24周每周選擇供應(yīng)商的最小數(shù)目mj，結(jié)果如圖3所示。

圖3 每周最少需選擇的供應(yīng)商個(gè)數(shù)

2.2 最經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)方案模型

由圖3知，未來(lái)24周企業(yè)向402家供應(yīng)商訂貨時(shí)，每周至少選擇供應(yīng)商的數(shù)量mj最多可達(dá)25家。為避免一些綜合評(píng)分很低的企業(yè)也可能被選中訂貨，對(duì)上述模型進(jìn)行優(yōu)化。

將模型候選供應(yīng)商的參考范圍從全部402家壓縮為問題一所求的最重要的50家，足以滿足生產(chǎn)需求。

由題意，此規(guī)劃問題的優(yōu)化目標(biāo)是：在供應(yīng)商確定的前提下，獲得訂貨費(fèi)用最小的原材料訂購(gòu)方案。設(shè)C類單價(jià)為1，A類為1.2，B類為1.1，即每家供應(yīng)商原材料的單價(jià)di固定，di∈{1，1.1，1.2}。設(shè)企業(yè)第j周的原材料訂購(gòu)總費(fèi)用為ej，24周總費(fèi)用為E，則目標(biāo)函數(shù)可表示為

達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)的同時(shí)，需滿足以下約束條件：

（1）企業(yè)每周的訂貨量依舊受各供應(yīng)商供貨能力所限，即

（2）每周選擇供應(yīng)商的數(shù)量應(yīng)為mj，即

（3）企業(yè)在第j周預(yù)計(jì)產(chǎn)能qj要大于企業(yè)每周的產(chǎn)能，即

綜上，建立該企業(yè)未來(lái)24周每周最經(jīng)濟(jì)的原材料訂購(gòu)方案模型為

使用Lingo求解得模型的最優(yōu)解E=488 047，同時(shí)，可得企業(yè)在未來(lái)24周最經(jīng)濟(jì)的原材料訂購(gòu)方案（部分）如表3所示，其中，D表示供貨，O表示訂貨。

2.3 模型結(jié)果的實(shí)施效果分析

由于供應(yīng)商不一定能保證嚴(yán)格按訂貨量供貨，利用SPSS統(tǒng)計(jì)，給出各供應(yīng)商的供訂比頻率分布直方圖和供訂比的正態(tài)P-P圖。如圖4、圖5所示，各供應(yīng)商供訂比頻率近似服從正態(tài)分布。

表3 未來(lái)24周最經(jīng)濟(jì)的原材料訂購(gòu)方案（部分）

圖4 各供應(yīng)商供訂比頻率分布直方圖

圖5 供訂比的正態(tài)P-P圖

運(yùn)用MATLAB構(gòu)造正態(tài)分布隨機(jī)矩陣T[6]，模擬未來(lái)24周內(nèi)各供應(yīng)商的實(shí)際供訂比，得到未來(lái)24周50家供應(yīng)商的實(shí)際供貨矩陣v，

根據(jù)原材料類別，對(duì)供應(yīng)商進(jìn)行分類，按照企業(yè)生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需不同原材料的供貨量，模擬未來(lái)24周的企業(yè)產(chǎn)能，作折線圖，評(píng)估方案實(shí)施效果。如圖6所示，在問題二的訂購(gòu)方案下，企業(yè)產(chǎn)能相對(duì)穩(wěn)定，實(shí)施效果良好。

圖6 問題二訂購(gòu)方案的模擬產(chǎn)能與原有計(jì)劃產(chǎn)能

在訂購(gòu)方案模型中用損耗率均值代替損耗率，給出相應(yīng)的訂購(gòu)方案，但實(shí)際情況下?lián)p耗率均值不可能完全真實(shí)表示損耗率?？赏ㄟ^(guò)引進(jìn)0－1變量R表示符合實(shí)際情況的損耗率，

再按隨機(jī)損耗率和損耗率均值作折線如圖7所示，評(píng)估方案實(shí)施效果，結(jié)果達(dá)到預(yù)期。

圖7 問題二轉(zhuǎn)運(yùn)方案情況下?lián)p耗率情況

3 問題三模型的建立與求解

問題三的模型與問題2類似，其關(guān)鍵是如何讓模型遵循“盡量多采購(gòu)A類和盡量少采購(gòu)C類”的規(guī)則，為此需引入一些新變量和新限制條件。

首先，引入變量xsup（j，k），表示第j周第k類的訂購(gòu)上限（為方便表述和編程，令A(yù)為1、B為2、C為3），其值與規(guī)模限制H相關(guān)，具體表示為

同時(shí)，構(gòu)造各周對(duì)各類原材料的計(jì)劃訂購(gòu)總量x0，具體表示如下：

最后，為了表示訂購(gòu)量達(dá)到訂購(gòu)上限，構(gòu)造0－1變量xif（j，k），

接下來(lái)，討論新的限制條件，即“A類的訂購(gòu)量達(dá)到上限時(shí)才會(huì)訂購(gòu)B類，當(dāng)B類訂購(gòu)達(dá)到上限時(shí)才會(huì)訂購(gòu)C類”。不訂購(gòu)B類，不訂購(gòu)C類分別用等式x0（j，2）=0，x0（j，3）=0表示。

限制條件表示為

建立企業(yè)未來(lái)24周最經(jīng)濟(jì)原材料訂購(gòu)模型

使用Lingo求解得模型最優(yōu)解E=516 062，以及企業(yè)未來(lái)24周每周最經(jīng)濟(jì)的原材料訂購(gòu)方案。

4 問題四的建模與求解

根據(jù)實(shí)際情況，企業(yè)產(chǎn)能受供應(yīng)商的供貨情況與轉(zhuǎn)運(yùn)商轉(zhuǎn)運(yùn)能力影響。如圖8所示，50家綜合評(píng)價(jià)高的供應(yīng)商的供貨上限之和與全部402家供應(yīng)商供貨上限之和相差無(wú)幾，故可用綜合指標(biāo)前50家供應(yīng)商的供應(yīng)能力代表供應(yīng)商供應(yīng)能力。

圖8 得分前50的供應(yīng)商供應(yīng)量占比

另外，為確定企業(yè)產(chǎn)能增加的上限，在制訂訂貨方案時(shí)，不考慮節(jié)約倉(cāng)儲(chǔ)成本。建立優(yōu)化模型，以確定改進(jìn)后部分企業(yè)的產(chǎn)能上限。

若企業(yè)每周產(chǎn)能用Qj表示，則目標(biāo)函數(shù)為

供貨上限與轉(zhuǎn)運(yùn)能力限制表示為

企業(yè)每周產(chǎn)能上限的最優(yōu)化模型為

利用Lingo求解，得到企業(yè)未來(lái)24周每周最大產(chǎn)能，以及在該產(chǎn)能下企業(yè)向50家供應(yīng)商訂購(gòu)原材料的方案和轉(zhuǎn)運(yùn)商的選擇方案，并得到在產(chǎn)能提高后企業(yè)每周產(chǎn)能變化情況。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文探究了企業(yè)原材料的訂購(gòu)與運(yùn)輸決策問題，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，計(jì)算得到各生產(chǎn)商、轉(zhuǎn)運(yùn)商的綜合評(píng)分，并針對(duì)不同情況建立不同模型，得到相對(duì)合理、經(jīng)濟(jì)的原材料訂購(gòu)和轉(zhuǎn)運(yùn)方案，完成了2021年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽C題任務(wù)，效果達(dá)到預(yù)期。