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        2022年新高考Ⅰ卷第21題的多解、推廣與變式

        2022-08-30 06:39:32劉才華
        數(shù)理化解題研究 2022年22期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學

        劉才華

        (山東省泰安市寧陽第一中學 271400)

        1 試題呈現(xiàn)

        (1)求直線l的斜率;

        這是2022年新高考數(shù)學Ⅰ卷第21題,試題簡潔明快,入手容易,深入難,在重視對基礎(chǔ)知識、基本方法以及基本思想考查的同時,對學生的直觀想象、數(shù)學運算等學科素養(yǎng)均有較高的要求.首先我們給出試題的兩種解法,然后給出在雙曲線、橢圓、圓和拋物線中的推廣與變式,得到四個相關(guān)的命題.

        2 試題解析

        整理,得a4-4a2+4=0.

        解得a2=2.

        (1)設(shè)直線AP的方程為y=k(x-2)+1交C于點P(x1,y1).

        (1-2k2)x2+(8k2-4k)x-8k2+8k-4=0.

        所以直線l的斜率為

        故直線l的斜率為-1.

        (1)由題意直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+t,P(x1,y1),Q(x2,y2),

        (1-2k2)x2-4ktx-2(t2+1)=0.

        由kAP+kAQ=0,得k=-1.

        對試題第(1)問作進一步推廣與變式,我們得到如下命題:

        證明由題意直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+t,P(x1,y1),Q(x2,y2),

        (a2k2-b2)x2+2kta2x+a2t2+a2b2=0.

        a2b2=b2m2-a2n2.

        由點A(m,n)不在直線y=kx+t,得

        mk+(t-n)≠0.

        于是kAP+kAQ=0?2kx1x2+(t-n-mk)(x1+x2)+2mn-2mt=0

        ?mna2k2+(a2b2+nta2)k+(t-n)mb2=0

        ?mna2k2+(b2m2-a2n2+nta2)k+(t-n)mb2=0

        ?(na2k+mb2)[mk+(t-n)]=0

        ?na2k+mb2=0

        證明由題意直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+t,P(x1,y1),Q(x2,y2),

        (a2k2+b2)x2+2kta2x+a2t2-a2b2=0.

        則Δ>0,且

        a2b2=b2m2+a2n2.

        由點A(m,n)不在直線y=kx+t上,得

        mk+(t-n)≠0.

        于是kAP+kAQ=0?2kx1x2+(t-n-mk)(x1+x2)+2mn-2mt=0

        ?mna2k2+(nta2-a2b2)k+(n-t)mb2=0

        ?mna2k2+(nta2-b2m2-a2n2)k+(n-t)mb2=0

        ?(na2k-mb2)[mk+(t-n)]=0

        ?na2k-mb2=0

        證明由題意直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+t,P(x1,y1),Q(x2,y2),

        (k2+1)x2+2ktx+t2-r2=0.

        由點A(m,n)不在直線y=kx+t上,得

        mk+(t-n)≠0.

        于是kAP+kAQ=0?2kx1x2+(t-n-mk)(x1+x2)+2mn-2mt=0

        ?mnk2+(nt-r2)k+(n-t)m=0

        ?mnk2+(nt-m2-n2)k+(n-t)m=0

        ?(nk-m)[mk+(t-n)]=0

        ?nk-m=0

        證明由題意直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+t,P(x1,y1),Q(x2,y2),

        于是kAP+kAQ=0?y1+y2+2n=0

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