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        不等式恒成立問題的解法探究
        ——2022年新高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)第22題

        2022-08-30 06:37:44廖梓豪
        數(shù)理化解題研究 2022年22期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)能力學(xué)生

        廖梓豪

        (華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631)

        2022年的高考數(shù)學(xué)卷著眼于對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查,其中新高考Ⅱ卷第22題則是將導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列有機(jī)結(jié)合對學(xué)生進(jìn)行考查.下面將對新高考Ⅱ卷第22題進(jìn)行解答與分析.

        1 試題呈現(xiàn)與評析

        題目(2022年新高考Ⅱ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

        (1)當(dāng)a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;

        (2)當(dāng)x>0時,f(x)<-1,求a的取值范圍;

        試題評析本題第(1)小問討論函數(shù)單調(diào)性,主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等知識;考查學(xué)生函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運用基礎(chǔ)知識解決數(shù)學(xué)問題的能力.第(2)小問主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題,考查學(xué)生對問題的分類討論能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)建模能力.第(3)小問主要考查通過函數(shù)導(dǎo)數(shù)解決不等式的基本方法,實現(xiàn)問題的解決.本題充分體現(xiàn)了起點低,落點高,涉及知識點較多,有很強(qiáng)的綜合性和靈活性,具有一定的區(qū)分度,自主探索性強(qiáng),是一道考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力的優(yōu)質(zhì)題.

        2 試題解法研究

        第(1)問求導(dǎo)后容易判斷單調(diào)性,這里解答從略.下面對第(2)問進(jìn)行研究,相關(guān)解法如下.

        2.1 第(2)問解析

        思路1對參數(shù)討論,轉(zhuǎn)化為恒成立.

        解法1若a≥1,由(1)知,當(dāng)a=1時,f(x)的最小值為f(0)=-1,即xex-ex≥-1,所以當(dāng)x>0時,f(x)≥-1,與題意矛盾;

        評注解法1是對參數(shù)進(jìn)行分類討論,進(jìn)而將所證明不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問題,利用同構(gòu)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明解決,其中對參數(shù)分類討論時節(jié)點的選取較為不易想到.

        思路2 分離函數(shù),數(shù)形結(jié)合.

        令h(x)=(x-1)ex+1,則h′(x)=xex>0,則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,即h(x)>h(0)=0,則g′(x)>0,則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        原不等式恒成立等價于y=ax的圖象位于y=g(x)的圖象下方,臨界情況為兩函數(shù)圖象相切,切點易知為x=0.由于g(x)在x=0處無定義,下面則對其導(dǎo)函數(shù)分析,

        評注解法2是將所給不等式合理變形轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)的形式,能夠較容易地判斷出不等號兩邊函數(shù)的圖象關(guān)系.難點在于對g(x)及其導(dǎo)數(shù)在x=0的討論,涉及到高等數(shù)學(xué)中的極限思想,較為復(fù)雜.

        思路3構(gòu)造含參函數(shù),進(jìn)行分類討論.

        評注兩種解法均為直接變形后移項構(gòu)造函數(shù),但后續(xù)對于導(dǎo)數(shù)結(jié)合不等式的放縮的討論情況比較復(fù)雜,而對導(dǎo)函數(shù)求解零點的討論相對簡單.相比于解法1,2,這兩種解法較為常規(guī),同時也是構(gòu)造含參函數(shù)解決不等式恒成立問題的一般思路.

        2.2 第(3)問解析

        解法2(構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)探討恒成立)

        評注此題的難點在于如何將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,第(3)問可以在第(2)問的基礎(chǔ)上對問題進(jìn)行解決,通過構(gòu)造函數(shù)相對應(yīng)的不等式,進(jìn)而對x取值,得到數(shù)列型不等式,也可以直接觀察所需證明的不等式與函數(shù)方程結(jié)合解決問題.本題將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列以及不等式等知識有機(jī)結(jié)合,考查學(xué)生靈活應(yīng)用函數(shù)、不等式思想解決復(fù)雜問題的能力,對直觀想象和邏輯推理能力也有較高的要求.

        對導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)要淡化技巧, 重視基礎(chǔ), 回歸問題的本質(zhì),掌握基本數(shù)學(xué)思想,注重通解通法.作為一名教師,教學(xué)中要鞏固學(xué)生的知識基礎(chǔ),構(gòu)建完整的知識體系,幫助學(xué)生將知識整合并對其系統(tǒng)化.此外,教師在解題教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)把握教學(xué)目標(biāo), 鞏固學(xué)生對自身知識的認(rèn)知, 堅持問題驅(qū)動原則,引導(dǎo)學(xué)生思考問題.充分利用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題指導(dǎo),多角度嘗試解決問題,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

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