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        從一道聯(lián)考題談不等式恒成立問題的解題策略

        2022-08-30 06:37:26俞國(guó)梁
        數(shù)理化解題研究 2022年22期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)

        俞國(guó)梁

        (浙江省永康市永康外國(guó)語學(xué)校 321300)

        縱觀近些年的高考和各級(jí)各類模擬考,不等式恒成立求參數(shù)范圍問題越來越受命題者的青睞,已成為??汲P碌膯栴},因此該類問題是高考備考的一大重點(diǎn).從內(nèi)容來看,該類試題的交匯面廣,綜合考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等方面的知識(shí);從考查能力角度來看,該類試題不僅可以很好地考查考生的“四基”(基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)),還能考查考生的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算),是展示考生能力的一個(gè)很好的平臺(tái).但是從實(shí)際的教師教學(xué)和學(xué)生掌握情況來看,該類問題又是復(fù)習(xí)備考的一大難點(diǎn).如何有效突破這一重點(diǎn)、難點(diǎn),成為廣大一線教師在復(fù)習(xí)備考中亟待解決的一大課題,現(xiàn)筆者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐與研究,以2021年山西省三重教育11月高三大聯(lián)考導(dǎo)數(shù)題為例,闡述如何突破該類問題的解題策略.

        1 問題呈現(xiàn)與分析

        (2)若對(duì)?x>0,f(x)≥lna+2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        分析該題是2021年山西省三重教育11月大聯(lián)考理科第20題,第(1)問屬于常規(guī)問題,本文不再贅述,重點(diǎn)論述第(2)問,此問是含有參數(shù)的不等式恒成立問題,本小題綜合性強(qiáng)、解法靈活、難度較大,主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,含參不等式恒成立求參數(shù)范圍等知識(shí),考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文嘗試對(duì)本題的第(2)問從不同的角度予以思考,給出不同的解法.

        2 解法探究

        2.1 轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值法

        對(duì)于一些含參不等式恒成立問題,將不等式朝著有利于通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性的方向變形,將不等式整理為一側(cè)為常數(shù)(一般為零)的形式,根據(jù)題目的量詞(?或?),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值與常數(shù)(一般為零)的不等關(guān)系,這是處理不等式問題最基本的通法之一.

        解法1由f(x)≥lna+2,得

        問題轉(zhuǎn)化為g(x)min≥0,

        易知g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        設(shè)x1max{2,a},

        則g′(x1)<0,g′(x2)>0.

        所以存在x0∈(x1,x2)使g′(x0)=0.

        當(dāng)0x0時(shí)g′(x)>0,則g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.

        即lna=x0+lnx0-2.

        易知φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

        又φ(1)=0,則0

        所以lna=x0+lnx0-2≤-1.

        2.2“切線”放縮法

        一些含參不等式中,將指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合考查,尤其是與ex,lnx有關(guān)的超越函數(shù)問題,若直接求導(dǎo)找零點(diǎn)(多數(shù)情況下是隱零點(diǎn)),往往復(fù)雜繁瑣,此時(shí)若能巧妙運(yùn)用一些“切線不等式”進(jìn)行放縮,將復(fù)雜的超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)(以直代曲),常??梢云鸬交睘楹?jiǎn)的效果.牢記兩個(gè)重要的“切線不等式”:①ex≥x+1(x∈R,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立);②lnx≤x-1(x∈R,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立),這兩個(gè)不等式是“切線放縮”法的基礎(chǔ).

        解法2(利用ex≥ex放縮)由ex≥ex,得

        當(dāng)0ae時(shí),h′(x)>0,則h(x)在(0,ae)上單調(diào)遞減,在(ae,+∞)上單調(diào)遞增.

        所以h(x)min=h(ae)=-2lna-2.

        當(dāng)x=1且x=ae時(shí),f(x)-lna-2取最小值為-2lna-2.

        故-2lna-2≥0.

        當(dāng)0ln(ae2)時(shí),h′(x)>0,則h(x)在(0,ln(ae2))上單調(diào)遞減,在(ln(ae2),+∞)上單調(diào)遞增.

        所以h(x)min=h(ln(ae2))=-2lna-2.

        當(dāng)x=1且x=ln(ae2)時(shí),f(x)-lna-2取最小值為-2lna-2.

        故-2lna-2≥0.

        2.3 “同構(gòu)”法

        即ex-lna-2+x-lna-2≥x+lnx=elnx+lnx.

        設(shè)φ(t)=et+t,則φ(x-lna-2)≥φ(lnx).

        易知φ(t)為單調(diào)遞增函數(shù).

        所以x-lna-2≥lnx.

        即lna≤x-lnx-2.

        ex-lna-2-lna-2≥lnx.

        即ex-lna-2+x-lna-2

        =ex-lna-2+lnex-lna-2

        ≥x+lnx.

        設(shè)φ(t)=t+lnt,

        則φ(ex-lna-2)≥φ(x).

        易知φ(t)為單調(diào)遞增函數(shù).

        所以ex-lna-2≥x.

        又ex-1≥x(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立),

        解法6(同構(gòu)函數(shù)“xex”法)由f(x)≥lna+2,整理,得xex≥ae2x·ln(ae2x).

        即xex≥ln(ae2x)·eln(ae2x).

        設(shè)φ(t)=tet(t>0),則

        φ(x)≥φ[ln(ae2x)].

        求導(dǎo),得φ′(t)=(t+1)et>0.

        則φ(t)為單調(diào)遞增函數(shù).

        所以x≥ln(ae2x).

        即ex≥ae2x.

        又ex-1≥x(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立),

        2.4 必要性“探路”法

        對(duì)一類函數(shù)不等式恒成立問題,可以通過取函數(shù)定義域中某個(gè)數(shù),縮小參數(shù)的討論范圍,獲得初步的參數(shù)范圍,之后在此范圍內(nèi)繼續(xù)討論進(jìn)而解決問題.在這個(gè)定義中,“取函數(shù)定義域中某一個(gè)數(shù)”,便相當(dāng)于尋找一個(gè)能使題意成立的必要條件,而題目本身要尋求的參數(shù)的取值范圍(或最值),相當(dāng)于是使題意成立的充分必要條件.因此,在找到必要條件的基礎(chǔ)上,只需要證明這個(gè)條件反過來能推出題意,即證明這個(gè)條件也是滿足題意的充分條件.這樣,充分性和必要性都成立,那么所求出的范圍必然是題目所尋求的參數(shù)的準(zhǔn)確取值范圍,這便是必要性“探路”法.

        解法7由f(x)≥lna+2,得

        問題轉(zhuǎn)化為g(x)≥0恒成立,則

        則m(a)≥ex-1-lnx-1.

        又ex-1≥x且x-1≥lnx(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)兩等號(hào)成立),則ex-1-lnx-1≥0.

        所以g(x)=m(a)≥0.

        2.5 “凹凸”反轉(zhuǎn)法

        有些不等式,將其適當(dāng)變形,使之滿足兩個(gè)條件:(1)不等式變形后,不等號(hào)兩側(cè)的對(duì)應(yīng)函數(shù)呈現(xiàn)凹凸反轉(zhuǎn)的特點(diǎn);(2)兩側(cè)對(duì)應(yīng)函數(shù)在同一點(diǎn)取最值.如不等式F(x)≥0變形為f(x)≥g(x),f(x)為凹函數(shù)且在x=x0處取得最小值,g(x)為凸函數(shù)且在x=x0處取得最大值,問題轉(zhuǎn)化為f(x0)≥g(x0).

        解法8由f(x)≥lna+2,整理,得

        則當(dāng)01時(shí)m′(x)>0,則m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

        所以m(x)min=m(1)=e.

        2.6 反函數(shù)法

        若函數(shù)m(x)與函數(shù)n(x)互為反函數(shù),則兩函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,于是我們不難明白不等式m(x)≥n(x)等價(jià)于m(x)≥x(或x≥n(x)).我們又知道同底的對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),所以在解決一些同時(shí)含有指數(shù)和對(duì)數(shù)的不等式問題時(shí),若我們能將不等式變形為m(x)≥n(x)的形式,則可以借助m(x)≥x(或x≥n(x))解題,減少運(yùn)算,化繁為簡(jiǎn).

        解法9由f(x)≥lna+2,整理,得

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