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        變中不變 美在其中
        ——以“圓錐曲線中動圓過定點”問題策略探析

        2022-08-30 06:37:52林琳琳
        數(shù)理化解題研究 2022年22期
        關鍵詞:思想

        林琳琳

        (福建省福清第一中學 350300)

        正因為圓錐曲線千變幻化,才能成就它的美,那美在哪里呢?美在撲朔迷離的變化中存在不變的性質(zhì),如定點、定值問題.

        1 題目呈現(xiàn)

        (1)建立適當?shù)淖鴺讼?,求C的方程;

        (2)A,B是C上不同的兩點,且直線AB與以OA為直徑的圓的一個交點在圓O上.求證:以AB為直徑的圓過定點.

        2 題源探析

        本題與2009年全國山東高考理科卷第22題如出一轍.

        (1)求橢圓E的標準方程;

        兩道試題的第(2)問有異曲同工之妙,都是與定圓相切的直線與圓錐曲線相交,涉及垂直條件的運用與轉(zhuǎn)化,考查了特殊與一般思想的運用.不同之處在于:高考題是已知OA⊥OB,考查能否找到一個圓心在原點的圓與直線AB相切,而省檢試題在于試題的結論變成條件,其條件變?yōu)槲覀円C明的結論.高考題的表征形式較為清晰明了,而省檢試題描述了點、線與圓的形態(tài)與變化過程,給學生的數(shù)學表征造成了一定的障礙.

        但在解題中會發(fā)現(xiàn)曲線的幾個要素在變化,雖有圓的半徑、直線方程中的斜率、截距等眾多的因素干擾,但解決問題的思路是一樣的,均考查了數(shù)學表征的能力和運用特殊與一般思想解決問題的素養(yǎng).

        3 解法剖析

        圖1

        難在第(2)問,首先需對給定條件作幾何推演,找出幾何關系,再將幾何條件代數(shù)化予以求解.

        角度1 因為直線AB與以OA為直徑的圓的一個交點在圓O上,所以直線AB與圓O相切.由于圓是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,則以圓的切線AB為直徑的圓過定點原點.

        解析因為直線AB與以OA為直徑的圓的一個交點在圓O上,所以直線AB與圓O相切.

        所以OA⊥OB.

        故以AB為直徑的圓過點O.

        (2)當直線AB不垂直于x軸時,設直線AB的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).

        (2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.

        =x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

        =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

        所以OA⊥OB.

        故以AB為直徑的圓過點O.

        綜上,以AB為直徑的圓過點O.

        角度4 通過設而不求思想設切點M(x0,y0),當y0=0時,直線AB垂直于x軸,得到以AB為直徑的圓過點O.

        如圖2所示,當y0≠0時,寫出切線的一般形式,利用切線特征和以AB為直徑的圓過點O轉(zhuǎn)化為驗證|OA|2+|OB|2-|AB|2=0.再進一步利用圖形進行轉(zhuǎn)化得(|OM|2+|AM|2)+(|OM|2+|BM|2)-(|AM|+|BM|)2=0.

        圖2

        當直線AB垂直于x軸時,驗證以AB為直徑的圓過點O.

        故以AB為直徑的圓過定點O.

        當直線AB垂直于x軸,驗證以AB為直徑的圓過點O.

        4 思想賞析

        以上六個角度將解析幾何研究的基本方法和基本思想體現(xiàn)得淋漓盡致,其基本思路:幾何條件→代數(shù)形式→代數(shù)結果→幾何條件,即:充分挖掘幾何條件,轉(zhuǎn)化代數(shù)形式,通過代數(shù)運算得到代數(shù)結果,代數(shù)結果用幾何條件表達.最主要就是要理解問題的實質(zhì),從而建立條件與結論之間的聯(lián)系.

        角度1到角度4立足于幾何條件“AB為直徑的圓過定點”充分轉(zhuǎn)化為定點與AB的數(shù)量積為0,利用特殊到一般、數(shù)形結合、方程思想解決問題.

        角度5到角度6立足于幾何條件“AB為直徑的圓過定點”充分轉(zhuǎn)化為將AB為直徑的圓方程寫出來,利用數(shù)形結合和方程思想得到過定點.

        上述哪個角度比較好呢?顯然,“AB為直徑的圓過定點”充分轉(zhuǎn)化為“定點與AB的數(shù)量積為0”運算更為簡便.若通過對角度1到角度4對比,發(fā)現(xiàn):(1)如若學生利用數(shù)形結合思想可以充分挖掘幾何條件:AB為直徑的圓過定點O;(2)學生利用特殊到一般思想引領,則大大降低求解運算.

        正因如此,破解解析幾何問題的基本思想是用代數(shù)手段來研究幾何問題,這里很自然需要我們充分挖掘幾何條件,將其代數(shù)化,同樣通過代數(shù)運算得到的代數(shù)形式幾何化,進而建立條件與結論之間的聯(lián)系,同時我們要樹立運用思想引領解題意識,運算就會變得簡單,解題就會揮灑自如.

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