鄧柳詠 李廣凌

(廣東省廣州市南武中學(xué) 510220)

題目如圖1所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平盤上，沿半徑方向放著用細(xì)線相連的質(zhì)量分別為mA和mB的物體A和B；它們分居圓心兩側(cè)，與圓心距離分別為RA和RB，且RA

圖1

該題目主要是考查有約束條件下勻速轉(zhuǎn)動水平盤的臨界狀態(tài)的分析，解題的關(guān)鍵是判斷發(fā)生滑動時作離心運動時的狀態(tài)，究竟是物體A離心運動，從而拉動物體B，還是物體B離心運動，從而拉動物體A.

思路分析假設(shè)兩物體剛好發(fā)生滑動時，A作離心運動，B作近心運動，列出各自的牛頓第二定律方程，聯(lián)立解出對應(yīng)的角速度，并討論對應(yīng)的運動狀態(tài)是否存在.

分析過程假設(shè)兩物體剛好發(fā)生滑動時，由于繩子的作用，A作離心運動，B作近心運動，A和B受到圓盤的摩擦力為滑動摩擦力,分別表示為fA=μAmAg和fB=μBmBg.對A和B受力分析，如圖2所示，應(yīng)用牛頓第二定律：

圖2

T+μAmAg=mAω2RA

①

T-μBmBg=mBω2RB

②

聯(lián)立①式和②式可得到系統(tǒng)的臨界角速度關(guān)系式為：

μAmAg+μBmBg=(mARA-mBRB)ω2

討論：

(1)mARA-mBRB>0，則假設(shè)是成立的，得到臨界角速度大小表達(dá)式為：

③

(2)mARA-mBRB<0，則假設(shè)是不成立的，則運動狀態(tài)只能為A作近心運動，B作離心運動，根據(jù)其對應(yīng)的受力分析，列出牛頓第二定律方程，如下：

T-μAmAg=mAω2RA

④

T+μBmBg=mBω2RB

⑤

聯(lián)立④式和⑤式，可得到：

⑥

討論對比③式和⑥式，可以得出下列可以直接應(yīng)用的結(jié)論：

(1)系統(tǒng)剛好發(fā)生滑動時，物體的運動狀態(tài)由mARA-mBRB的數(shù)值決定.若mARA>mBRB，則物體A離心運動，從而拉動物體B；若mARA

應(yīng)用如圖3所示，勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上放有質(zhì)量分別為2 kg和3 kg的小物體A、B，A、B間用細(xì)線沿半徑方向相連.它們到轉(zhuǎn)軸的距離分別為rA=0.2m、rB=0.3 m.A、B與盤面間的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍.g取10 m/s2，現(xiàn)極其緩慢地增大圓盤的角速度，當(dāng)兩物體剛好發(fā)生滑動時，圓盤的角速度約為____.

圖3

深入探討回歸問題可以知道，上文得到的臨界角速度的表達(dá)式屬于我們常說的“二級結(jié)論”.在應(yīng)用時，“二級結(jié)論”有特定的情景要求，使得其適用性受限.為了解決適用性受限的問題，現(xiàn)在利用上文的提到的分析方法來分析水平盤上作圓周運動的其他種情況來來深入探討一般的分析方法.

如圖4所示，粗糙水平圓盤上，可視為質(zhì)點的木塊A、B疊放在一起，放在水平轉(zhuǎn)臺上隨轉(zhuǎn)臺一起繞固定轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動，A的質(zhì)量為mA，B的質(zhì)量為mB.已知A、B到轉(zhuǎn)動軸的距離為r，A與B間的動摩擦因數(shù)為μAB，B與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)為μ，(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g).現(xiàn)緩慢地增大圓盤的角速度，請分析需要什么條件才能使A與B保持相對靜止.

圖4

結(jié)合情景觀察，可能出現(xiàn)兩種不同的運動情景：

(1)物體A和B同時向外作離心運動.

(2)物體A作離心運動，物體B還可以跟隨圓盤作圓周運動.

分析方法隔離分析物體A和B的受力情況，假設(shè)可能存在情景(2)，列出各自的牛頓第二定律方程組，并結(jié)合情景所隱含的數(shù)量條件，解出特定的數(shù)量關(guān)系，并討論對應(yīng)運動狀態(tài)是否存在.解答過程如下：

分別對物體A和B的受力分析，應(yīng)用牛頓第二定律：

fAB=mAω2r

⑦

f-fAB=mBω2r

⑧