趙忠平

(甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué) 737200)

近年來(lái)，全國(guó)高考試題及高考模擬試題中出現(xiàn)了頗有新意、構(gòu)思精巧的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的綜合題，這類(lèi)題涉及知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)，對(duì)能力要求較高，能較好地考查學(xué)生的思維能力，很值得重視和探究.

1 特值探路

例1 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解析將x取特殊值1代入不等式中，不等式應(yīng)該成立，即f(1)≥1，也即a+lna≥1.

令g(a)=a+lna-1，易知函數(shù)g(a)單調(diào)遞增，g(1)=0,所以a≥1.

下面證明充分性:

當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥x-lnx.

若x∈(0,1)時(shí)，h′(x)<0；

若x∈(1,+∞)時(shí)，h′(x)>0，

故h(x)≥h(1)=1.

所以a的范圍是[1,+∞).

點(diǎn)評(píng)利用特殊值探路可以迅速化解題目難度，快速找到題目的答案(準(zhǔn)答案)，減輕解題思想壓力，轉(zhuǎn)換解題思維角度，補(bǔ)全充分性證明過(guò)程即可完美收官.一般對(duì)數(shù)函數(shù)可將真數(shù)取特值1，指數(shù)函數(shù)的指數(shù)可取特值0.

2 分類(lèi)篩選

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π],設(shè)f(x)≤1+sinx，求a的取值范圍.

解析由f(x)≤1+sinx，得f(π)≤1,aπ-1≤1.

所以f(x)≤1+sinx.

點(diǎn)評(píng)含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題可以利用逐段篩選討論法求解，對(duì)參數(shù)按照重要節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)，在每一類(lèi)中證明不等式成立或舉反例說(shuō)明不成立，最后得解，體現(xiàn)了化整為零的思想和歸類(lèi)整理的思想.

3 分離參數(shù)

例3設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π]，設(shè)f(x)≤1+sinx，求a的取值范圍.

解析因?yàn)閒(x)≤1+sinx,

即ax+cosx≤1+sinx.

①

當(dāng)x=0時(shí)，對(duì)a∈R不等式①恒成立；

當(dāng)0

設(shè)h(x)=(sinx+cosx)x-(1+sinx-cosx)，

則h′(x)=(cosx-sinx)x.

故當(dāng)x∈[0,x0]時(shí)，h(x)≥0，

當(dāng)x∈[x0,π]時(shí)，h(x)≤0.

故當(dāng)x∈[0,x0]時(shí)，g′(x)≥0，

當(dāng)x∈[x0,π]時(shí)，g′(x)≤0.

即g(x)在[0,x0]上單調(diào)遞增，在[x0,π]上單調(diào)遞減.

點(diǎn)評(píng)不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題，只要容易實(shí)現(xiàn)參變分離，就可以很容易轉(zhuǎn)化為最值(或上、下界)問(wèn)題求解，但在求最值(或上、下界)時(shí)常常要用到洛必達(dá)法則.

4 構(gòu)造函數(shù)

例4 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解析f(x)≥1等價(jià)于aex-1-lnx+lna-1≥0.

即elna+x-1+lna-1≥lnx.

兩邊同時(shí)加x,得

elna+x-1+lna-1+x≥lnx+x=elnx+lnx.

令f(t)=et+t,則f(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

則不等式等價(jià)于f(lna+x-1)≥f(lnx).

等價(jià)于lna+x-1≥lnx.

即lna≥lnx-x+1.

所以x∈(0,1)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，x∈(1,+∞)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減.

故[g(x)]max=g(1)=0.

所以lna≥0,解得a≥1.

點(diǎn)評(píng)在含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題中，將不等式兩邊轉(zhuǎn)化成同構(gòu)式，根據(jù)同構(gòu)式構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)單調(diào)性進(jìn)一步轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使得問(wèn)題得到降維求解，此法雖然有一定難度，但能夠發(fā)現(xiàn)命題人的命題路徑及數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).

5 虛設(shè)零點(diǎn)

例5 已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解析f(x)≥1的必要條件是f(1)≥1.

即a+lna≥1.

也即g(a)=a+lna-1≥0.

易知g(a)單調(diào)遞增，g(1)=0,所以a≥1.

又f(x)≥1,即aex-1-lnx+lna-1≥0.

令g(x)=aex-1-lnx+lna-1,則

所以函數(shù)g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.

點(diǎn)評(píng)虛設(shè)零點(diǎn)體現(xiàn)設(shè)而不求思想，是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題常用方法，當(dāng)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)存在但不易求出的時(shí)候，就可以虛設(shè)零點(diǎn)，回代到原函數(shù)解析式中求值，確定函數(shù)值的符號(hào).

6 數(shù)形結(jié)合

例6設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π]，設(shè)f(x)≤1+sinx，求a的取值范圍.

解析f(x)≤1+sinx，即ax+cosx≤1+sinx.

可化為ax-1≤sinx-cosx.

圖1

點(diǎn)評(píng)數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，通過(guò)挖掘數(shù)學(xué)式子背后形的特征，以形助數(shù)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法.