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        排列組合解題中的物理操作

        2022-08-30 06:36:40魯和平
        數(shù)理化解題研究 2022年22期
        關(guān)鍵詞:解題思維數(shù)學(xué)

        魯和平

        (浙江省嘉善第二高級(jí)中學(xué) 314100)

        排列組合是高中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)章節(jié),它對(duì)考查學(xué)生思維的嚴(yán)密性、深刻性、廣闊性具有不可替代的作用.也為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)“組合數(shù)學(xué)”“概率統(tǒng)計(jì)”奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).但在排列組合解題中,有些題目所需要的思維方式卻超出了數(shù)學(xué)的范疇.如果我們僅僅停留在數(shù)學(xué)苑囿“深挖洞”,可能最終導(dǎo)致無(wú)功而返.如果我們進(jìn)一步拓廣思維視野,跳出數(shù)學(xué)的方寸天地,就會(huì)豁然開(kāi)朗.我們姑且把這種思維方式,稱為“物理操作”.簡(jiǎn)而言之,就是要通過(guò)一系列的“物理”操作,才能完成解題過(guò)程.

        1 重構(gòu)操作

        即根據(jù)題目的意思,在保持原題本質(zhì)不變的前提下,重新設(shè)計(jì)操作程序,使新的操作設(shè)計(jì)更加貼近題意,更具“數(shù)學(xué)化”.

        例1袋子里有紅、黑、白、黃四種顏色的大小相同的小球各10個(gè).每種顏色的10個(gè)小球分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,…,10.若從中任取4個(gè)小球,這4個(gè)小球顏色互不相同,且所標(biāo)數(shù)字互不相鄰的不同取法共有多少種?

        例2從1,2,3,…,9中任取5個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求其中僅含有兩個(gè)連續(xù)的數(shù),且這兩個(gè)連續(xù)的數(shù)相鄰的五位數(shù)有多少個(gè)?

        2 退步操作

        對(duì)于有范圍限制的排列組合問(wèn)題,可以先退步思考,滿足題設(shè)條件,使限制范圍變得單一常規(guī).再根據(jù)組合模式,尋找進(jìn)一步的解題方法.

        例3 將15個(gè)大小相同的小球放入標(biāo)有“1,2,3,4”編號(hào)的盒子里,則每個(gè)盒子里放入的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)數(shù)的放法一共有多少種.

        圖1

        例4 已知M={1,2,3,…12},從集合M中任取4個(gè)數(shù),要求這4個(gè)數(shù)中,至少有2個(gè)數(shù)相鄰,問(wèn)共有多少種取法?

        例5 一排共18個(gè)座位,A,B,C三人按如圖2方式入座:任意兩人之間至少有3個(gè)座位,且三人的順序是A在B與C之間,則不同的坐法共有多少種?

        圖2

        3 配位操作

        對(duì)于“搭配”問(wèn)題,可以先進(jìn)行配位操作,使之成為一個(gè)“大單位”的“元素”,再按照常規(guī)思路考慮.

        例6 有14個(gè)年輕人和5個(gè)老人站成一排,要求每個(gè)老人左右至少各有一個(gè)年輕人攙扶,問(wèn)有多少種不同方法?

        解析(1)先從14個(gè)年輕人中拿出10個(gè),與5個(gè)老人左右搭配,做成5個(gè)“年輕人甲+老人+年輕人乙”模式的單位“人”;

        (2)將上述5個(gè)單位的“人”,與剩余的4個(gè)年輕人全排列;

        例7 公園里有3人坐在8把椅子上,坐好后,若每人的左右兩邊都要有空椅,則有多少種不同的坐法?

        4 無(wú)為操作

        對(duì)于有些題目,表面上看是有序排列問(wèn)題,但深入細(xì)究,卻是組合問(wèn)題.因?yàn)楦鱾€(gè)元素是相異的,本身就存在天然的次序.這就需要我們“無(wú)為而治”.相反地,如果真正“有為操作”,則會(huì)弄巧成拙.

        5 筑巢操作

        對(duì)于有些排列組合問(wèn)題,單從表面思考,很難找到突破口.若我們將此問(wèn)題放置在一個(gè)大的背景下思考,則會(huì)迅速迸發(fā)出思維的火花.給一個(gè)較難的問(wèn)題,安置一個(gè)大背景,我們形象地稱之為“筑巢操作”.

        例9 如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,x軸正半軸上有5個(gè)點(diǎn),y軸正半軸上有3個(gè)點(diǎn).將x軸上這5個(gè)點(diǎn)與y軸上這3個(gè)點(diǎn)連成15條線段,這15條線段在第一象限的交點(diǎn)最多有多少個(gè)?

        圖3

        6 符號(hào)操作

        對(duì)于題目所描述的現(xiàn)象,我們可以抽象為用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)闡釋,把這一類操作稱為“符號(hào)操作”.它的好處在于能迅速建立操作與數(shù)學(xué)符號(hào)的有機(jī)聯(lián)系,為數(shù)學(xué)化解決問(wèn)題做好鋪墊.

        例10 如圖4,A,B,C,D,E站成一圈傳球,每人只能將球傳給其左右相鄰兩人中的一人.由A開(kāi)始傳出(算作第一次),經(jīng)過(guò)10次傳球又回到A的傳球方式共有多少種?

        圖4

        解析記向左傳為“+1”,向右傳為“-1”.由A開(kāi)始傳出10次球后,又回到A,就是在10個(gè)“1”前面添加正號(hào)或負(fù)號(hào),使其代數(shù)和為10,或0,或-10.

        (1)當(dāng)代數(shù)和為“10” 時(shí),全是“+”,有1種;

        (2)當(dāng)代數(shù)和為“-10”時(shí),全是“-”,有1種;

        綜上所述,滿足題意的傳球方式有:1+1+252=254種.

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