李 波
(四川省南充高級中學(xué) 637901)
解析令f2(x)-mf(x)+m-1=0,
解得f(x)=1或m-1.
x1=e-1,x2=e+1.
當(dāng)x=e時,函數(shù)解析式f(x)=1,即x5=e.
綜上所述x1+x2+x3+x4+x5=5e.
例2 (2019年全國Ⅱ卷文)已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1,證明:
(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn);
(2)f(x)=0有且僅有兩個實(shí)根,且兩個實(shí)根互為倒數(shù).
易知,當(dāng)x∈(0,x0)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0,即f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,f(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=x0時,f(x)有極小值.
所以f(x)存在唯一的極值點(diǎn).
(2)由(1)知,f(x)在x=x0處取得最小值f(x0)=(x0-1)lnx0-x0-1.
因f(e2)=e2-3>0,f(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,所以存在唯一實(shí)數(shù)m∈(x0,+∞),使f(m)=(m-1)lnm-m-1=0.
評析求函數(shù)零點(diǎn)的常用方法:一是通過解對應(yīng)方程,求實(shí)數(shù)解;二是通過作函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合求交點(diǎn)橫坐標(biāo),但需要注意函數(shù)的定義域,分段函數(shù)的零點(diǎn)檢驗(yàn).
例3 (成都樹德中學(xué)期末考試)已知x1是函數(shù)f(x)=xlog2x-2020的一個零點(diǎn),x2是函數(shù)g(x)=x·2x-2020的一個零點(diǎn),則x1x2的值為____.
解析令f(x)=xlog2x-2020=0,得
因函數(shù)y=log2x與y=2x的圖象關(guān)于y=x對稱,所以點(diǎn)A(x1,y1)與B(x2,y2)關(guān)于y=x對稱,即y1=x2,y2=x1.
例4(2017年全國Ⅲ卷)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=( ).
解析f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),令t=x-1,則g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1.
易知g(-t)=g(t),所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù).
又函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn),所以函數(shù)g(x)也有唯一零點(diǎn).
評析解決函數(shù)零點(diǎn)不可求的客觀題時,要有二個意識:一是會轉(zhuǎn)化,函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、兩個圖象的交點(diǎn)三者之間等價轉(zhuǎn)化;二是要有整體觀,結(jié)合圖象的表征深化到圖象的對稱性:中心對稱、軸對稱,奇函數(shù)或者偶函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)于數(shù)軸原點(diǎn)對稱,且所有零點(diǎn)之和等于0.
解析函數(shù)y=f(x)的圖象如圖1所示,令f(a)=f(b)=m,a
圖1
又f(a)=3a=m,所以a=log3m.
由f(b)=3b-4=m,知3b=4+m.
所以a+3b=log3m+m+4.
構(gòu)造函數(shù)g(x)=log3x+x+4,x∈(0,3],易知g(x)在(0,3]上單調(diào)遞增.
所以g(x)的值域?yàn)?-∞,8].
即a+3b的取值范圍是(-∞,8].
評析將方程問題轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問題,數(shù)形結(jié)合找到參數(shù)的切入點(diǎn),聯(lián)立方程組,將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題,方便在化簡、求最值時使用均值不等式、配方、構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性、比較大小等,但要注意變形過程的等價性.
解析函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖2所示,令f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=m,則m∈(0,1),0 圖2 由f(x1)=f(x2),知|log3x1|=|log3x2|. 即-log3x1=log3x2,解得x1x2=1. 由f(x3)=f(x4)=m,知x2-10x+24-3m=0. 由根與系數(shù)的關(guān)系,得 x3+x4=10,x3x4=24-3m. ① (x3-3)(x4-3)=x3x4-3(x3+x4)+9, 將①式代入上式,得 (x3-3)(x4-3)=3-3m∈(0,3). 評析依據(jù)題目條件準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象,使復(fù)雜的代數(shù)問題變得形象直觀,結(jié)合圖象建立等量關(guān)系、不等關(guān)系,求得零點(diǎn)的分布. (1)求b; (2)若f(x)有一個絕對值不大于1的零點(diǎn),證明:f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1. 圖3 綜上所述,當(dāng)f(x)有一個絕對值不大于1的零點(diǎn)時,f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1. 評析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、與零點(diǎn)有關(guān)的不等式證明,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或者方程的根,是高考熱點(diǎn)問題,以函數(shù)的單調(diào)性為切入點(diǎn),畫出函數(shù)大致圖象,以便確定函數(shù)零點(diǎn)的分布、最值情況,真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的靈活運(yùn)用.5 數(shù)形結(jié)合,相得益彰
6 以退為進(jìn),海闊天空