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        聚焦函數(shù)零點(diǎn)分布的常見題型及求解策略

        2022-08-30 06:36:28
        數(shù)理化解題研究 2022年22期

        李 波

        (四川省南充高級中學(xué) 637901)

        1 回歸定義,溯本求根

        解析令f2(x)-mf(x)+m-1=0,

        解得f(x)=1或m-1.

        x1=e-1,x2=e+1.

        當(dāng)x=e時,函數(shù)解析式f(x)=1,即x5=e.

        綜上所述x1+x2+x3+x4+x5=5e.

        例2 (2019年全國Ⅱ卷文)已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1,證明:

        (1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn);

        (2)f(x)=0有且僅有兩個實(shí)根,且兩個實(shí)根互為倒數(shù).

        易知,當(dāng)x∈(0,x0)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0,即f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,f(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增.

        所以當(dāng)x=x0時,f(x)有極小值.

        所以f(x)存在唯一的極值點(diǎn).

        (2)由(1)知,f(x)在x=x0處取得最小值f(x0)=(x0-1)lnx0-x0-1.

        因f(e2)=e2-3>0,f(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,所以存在唯一實(shí)數(shù)m∈(x0,+∞),使f(m)=(m-1)lnm-m-1=0.

        評析求函數(shù)零點(diǎn)的常用方法:一是通過解對應(yīng)方程,求實(shí)數(shù)解;二是通過作函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合求交點(diǎn)橫坐標(biāo),但需要注意函數(shù)的定義域,分段函數(shù)的零點(diǎn)檢驗(yàn).

        2 巧用對稱,不攻自破

        例3 (成都樹德中學(xué)期末考試)已知x1是函數(shù)f(x)=xlog2x-2020的一個零點(diǎn),x2是函數(shù)g(x)=x·2x-2020的一個零點(diǎn),則x1x2的值為____.

        解析令f(x)=xlog2x-2020=0,得

        因函數(shù)y=log2x與y=2x的圖象關(guān)于y=x對稱,所以點(diǎn)A(x1,y1)與B(x2,y2)關(guān)于y=x對稱,即y1=x2,y2=x1.

        例4(2017年全國Ⅲ卷)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=( ).

        解析f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),令t=x-1,則g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1.

        易知g(-t)=g(t),所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù).

        又函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn),所以函數(shù)g(x)也有唯一零點(diǎn).

        評析解決函數(shù)零點(diǎn)不可求的客觀題時,要有二個意識:一是會轉(zhuǎn)化,函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、兩個圖象的交點(diǎn)三者之間等價轉(zhuǎn)化;二是要有整體觀,結(jié)合圖象的表征深化到圖象的對稱性:中心對稱、軸對稱,奇函數(shù)或者偶函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)于數(shù)軸原點(diǎn)對稱,且所有零點(diǎn)之和等于0.

        3 合理設(shè)參,統(tǒng)一變量

        解析函數(shù)y=f(x)的圖象如圖1所示,令f(a)=f(b)=m,a

        圖1

        又f(a)=3a=m,所以a=log3m.

        由f(b)=3b-4=m,知3b=4+m.

        所以a+3b=log3m+m+4.

        構(gòu)造函數(shù)g(x)=log3x+x+4,x∈(0,3],易知g(x)在(0,3]上單調(diào)遞增.

        所以g(x)的值域?yàn)?-∞,8].

        即a+3b的取值范圍是(-∞,8].

        評析將方程問題轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問題,數(shù)形結(jié)合找到參數(shù)的切入點(diǎn),聯(lián)立方程組,將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題,方便在化簡、求最值時使用均值不等式、配方、構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性、比較大小等,但要注意變形過程的等價性.

        4 巧用模型,化動為靜

        解析函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖2所示,令f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=m,則m∈(0,1),0

        圖2

        由f(x1)=f(x2),知|log3x1|=|log3x2|.

        即-log3x1=log3x2,解得x1x2=1.

        由f(x3)=f(x4)=m,知x2-10x+24-3m=0.

        由根與系數(shù)的關(guān)系,得

        x3+x4=10,x3x4=24-3m.

        (x3-3)(x4-3)=x3x4-3(x3+x4)+9,

        將①式代入上式,得

        (x3-3)(x4-3)=3-3m∈(0,3).

        評析依據(jù)題目條件準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象,使復(fù)雜的代數(shù)問題變得形象直觀,結(jié)合圖象建立等量關(guān)系、不等關(guān)系,求得零點(diǎn)的分布.

        5 數(shù)形結(jié)合,相得益彰

        (1)求b;

        (2)若f(x)有一個絕對值不大于1的零點(diǎn),證明:f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.

        圖3

        綜上所述,當(dāng)f(x)有一個絕對值不大于1的零點(diǎn)時,f(x)所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.

        評析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、與零點(diǎn)有關(guān)的不等式證明,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或者方程的根,是高考熱點(diǎn)問題,以函數(shù)的單調(diào)性為切入點(diǎn),畫出函數(shù)大致圖象,以便確定函數(shù)零點(diǎn)的分布、最值情況,真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的靈活運(yùn)用.

        6 以退為進(jìn),海闊天空

        例8 (2020年浙江卷)已知1

        (1)證明:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零點(diǎn);

        證明(1)由f(x)=ex-x-a知,導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ex-1,顯然,函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        又f(0)=1-a<0,f(2)=e2-2-a>0,

        所以函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零點(diǎn).

        故構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex-x-x2-1,x∈[0,1].

        所以g′(x)=ex-2x-1,g″(x)=ex-2.

        令g″(x)=0,解得x=ln2.

        易知函數(shù)g′(x)在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,1)上單調(diào)遞增.

        又g′(0)=0,g′(1)=e-3<0,所以,當(dāng)x∈[0,1]時,g′(x)<0,函數(shù)g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減.

        所以h′(x)=ex-x-1,h″(x)=ex-1.

        因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

        評析本題給人以親而不近之感,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)個數(shù),并將不等式的證明與零點(diǎn)的存在性定理完美結(jié)合,較好地考查了邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

        7 反面入手,柳暗花明

        例9(2016年全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點(diǎn).

        (1)求a的取值范圍;

        (2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點(diǎn),證明:x1+x2<2.

        由h′(x)>0知,x>1;由h′(x)<0知,x<1.

        所以函數(shù)h(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增.

        當(dāng)x∈(-∞,1)∪(1,2)時,h(x)<0;

        當(dāng)x∈(2,+∞)時,h(x)>0.

        綜上所述,h(x)的大致圖象如圖4所示.

        圖4

        因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點(diǎn),所以y=-a與y=h(x) 圖象有兩個交點(diǎn),即-a<0,解得a>0.

        (2)由(1)知x1<1,x2>1,不妨假設(shè)x1+x2≥2,則x2≥2-x1>1.

        由函數(shù)h(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,知

        h(x2)≥h(2-x1).

        又h(x1)=h(x2),所以h(x1)≥h(2-x1).

        整理,得(x1-2)ex1+x1e2-x1≥0,x1∈(-∞,1).

        下證對任意的x∈(-∞,1),不等式(x-2)ex+xe2-x≥0恒成立.

        令g(x)=(x-2)ex+xe2-x,x∈(-∞,1),則

        由x<1知g′(x)>0,

        即g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增.

        所以g(x)

        評析已知x1,x2是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),證明:x1+x2

        函數(shù)零點(diǎn)的分布是難點(diǎn),也是近幾年高考的熱點(diǎn),綜合性很強(qiáng),考法靈活多變,解題時應(yīng)該避重就輕,避實(shí)就虛,不失為一種明智的策略,可以考慮以上7種策略.考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想,也是解題策略的優(yōu)化與變通,更是“臨淵羨魚,不如退而結(jié)網(wǎng)”的人生境界.

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