王 恒，郭俊亮，唐孝國

（銅仁職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，貴州 銅仁 554300）

馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)是一類特殊的混雜系統(tǒng)，是由一族子系統(tǒng)和描述其之間聯(lián)系的切換規(guī)則所組成，切換規(guī)則由馬爾科夫過程控制，有關(guān)這類切換系統(tǒng)研究成果很多[1-8]，例如，指數(shù)幾乎處處穩(wěn)定，全局漸近穩(wěn)定，均方穩(wěn)定等[2-5]。其設(shè)計(jì)切換的方法也很多，如持續(xù)駐留時(shí)間，平均駐留時(shí)間等[6-8]。隨著工程領(lǐng)域內(nèi)的控制對(duì)象日益復(fù)雜，系統(tǒng)的模態(tài)不斷增加，定量穩(wěn)定難以求解，而一種定性穩(wěn)定概念——符號(hào)穩(wěn)定，為這個(gè)問題提供了一條新的思路，符號(hào)穩(wěn)定由于其符號(hào)與矩陣元素的數(shù)值大小無關(guān)，作為一種天然的魯棒穩(wěn)定，不但簡單直觀，且一定程度上能夠繼承經(jīng)典方法的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，這也推動(dòng)了魯棒控制理論的發(fā)展。

給定一個(gè)實(shí)矩陣，僅保留其各元素的符號(hào)由此組成的矩陣稱為這個(gè)實(shí)矩陣的符號(hào)型，符號(hào)型矩陣可視為一類特殊的矩陣，其元素均由符號(hào){+，-，0}組成。而符號(hào)穩(wěn)定[9]的概念最早出現(xiàn)在生態(tài)系統(tǒng)，在大規(guī)模的生物圈中，種群數(shù)量受多種因素影響且缺少精確的建模方法，但卻呈現(xiàn)出很強(qiáng)的穩(wěn)定性和抗干擾能力，這就促使研究人員利用符號(hào)穩(wěn)定這種定性方法來分析不同物種間的動(dòng)態(tài)變化過程，將這個(gè)變化過程與矩陣聯(lián)系起來，通過分析雅克比矩陣的符號(hào)特征來研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的定性穩(wěn)定性，（i，j）表示矩陣第i行第j列的元素，如果這個(gè)元素符號(hào)為正，表示物種j對(duì)物種i有積極影響，符號(hào)為負(fù)表示消極影響，零表示沒有影響。這種聯(lián)系可以用一個(gè)有向圖來表示。例如，給定一個(gè)符號(hào)矩陣

其有向圖如圖1所示。

圖1 A的有向圖

相關(guān)研究者開始分析并運(yùn)用符號(hào)穩(wěn)定，得到了許多研究成果[9-11]。Jeffries[10]等用涂色測試法得到了符號(hào)穩(wěn)定的充分條件，Rama[11]通過分析不同位置元素之間的聯(lián)系提出了一種簡單的符號(hào)穩(wěn)定條件?；谶@些研究，符號(hào)穩(wěn)定在控制工程領(lǐng)域逐漸得到重視和應(yīng)用[12-16]。相比于傳統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性理論，符號(hào)穩(wěn)定應(yīng)用更加廣泛。

本文主要分析了符號(hào)穩(wěn)定如何聯(lián)系馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)，目的是探索一種新的控制設(shè)計(jì)方法，基于馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)的均方穩(wěn)定，分析其子系統(tǒng)矩陣和轉(zhuǎn)移概率矩陣的符號(hào)，得到了均方符號(hào)穩(wěn)定，最后將得到的符號(hào)型代入數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證。

1 問題描述

1.1 數(shù)學(xué)概念

Rn×n表示一個(gè)n維的實(shí)矩陣，In表示一個(gè)n維的單位矩陣。給定矩陣An×n=（aij）n×n，Aij表示矩陣的元素aij，diag An×n表示矩陣的對(duì)角線元素{a11，a22，…，ann}。給定矩陣Ai，i=1，2，…，n，blockdiag（A1，…，An）表示塊對(duì)角矩陣。ei表示第i個(gè)元素是1，其余元素為零的列向量。sgn An×m表示矩陣An×m的符號(hào)型，GA表示sgn An×m的有向圖。νec（A）在A上的作用是依A的列的順序?qū)轉(zhuǎn)化為一個(gè)列向量。?表示Kronecker積，⊕表示Kronecker和，其運(yùn)算方式為

1.2 馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)的均方穩(wěn)定

考慮以下馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)

式中：x（t）是系統(tǒng)的狀態(tài)向量；Ai為子系統(tǒng)矩陣；σ（t）是一個(gè)取值于{1，2，…，N}的齊次馬爾可夫隨機(jī)過程的有限狀態(tài)。其過程σ（t）定義為

λij表示在時(shí)刻t從模態(tài)i經(jīng)過h切到模態(tài)j的轉(zhuǎn)移速率，且滿足

Λ=[λij]是σ（t）的轉(zhuǎn)移速率矩陣。假設(shè)t=0時(shí)，k=0，在第k次跳躍之后的駐留時(shí)間是τk。令πi（t）=Pr{σ（t）=i}，并且其平穩(wěn)分布Π=[π1，π2，...，πN]滿足。式（1）和（2）被稱為馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)。

定義1[7]：對(duì)于任意初始條件x（0）和任意初始分布Π0，如果

那么馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)（1）和（2）被稱為均方穩(wěn)定的。

定理2[7]：系統(tǒng)（1）和（2）是均方穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)存在對(duì)稱正定矩陣，使得下面不等式成立，

定理3：系統(tǒng)（1）和（2）是均方穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A'是赫爾維茨穩(wěn)定的。

證明：由定理2可知存在對(duì)稱正定矩陣Pi∈Rn×n使得式（4）成立，系統(tǒng)（1）和（2）是均方穩(wěn)定的，那么利用由式（4）可得

存在對(duì)稱正定矩陣Pi∈Rn×n使得式（5）成立，當(dāng)且僅當(dāng)A'是赫爾維茨穩(wěn)定的。

1.3 馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的定性特性

在接下來的分析中，只考慮A'的符號(hào)型，它們屬于一個(gè)符號(hào)矩陣的集合，即一種定性的矩陣。

定義4[16]：符號(hào)矩陣是一個(gè)所有矩陣元素取值于集合S:={-，＋，0}中的矩陣。所有n行m列的符號(hào)矩陣可表示為Sn×m。

定義5[16]：一類定性的實(shí)矩陣An×m通過下面這個(gè)集合定義。

由定義5可知，Q（A）表示一類與A有相同符號(hào)的實(shí)矩陣，那么QS表示在Q（A）中，對(duì)于所有實(shí)矩陣A，有sgn Aij=Sij，令M滿足式（3）的不可約矩陣，那么

為了分析馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)的符號(hào)穩(wěn)定，將式（1）描述為

定義6[15]：如果所有使得系統(tǒng)（1）和（2）是均方穩(wěn)定，那么稱系統(tǒng)（6）是均方符號(hào)穩(wěn)定。

1.4 符號(hào)穩(wěn)定的概念及性質(zhì)

這篇文章將符號(hào)穩(wěn)定的概念引入馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)，目的是探索一種新的控制設(shè)計(jì)方法。接下來將定義符號(hào)穩(wěn)定，并分析它的相關(guān)性質(zhì)。

定義7[12]：如果與實(shí)矩陣An×n有相同符號(hào)型的任意實(shí)矩陣An×n都是赫爾維茨穩(wěn)定的，則稱sgn An×n是符號(hào)穩(wěn)定的。

說明8：矩陣An×n=（aij）n×n滿足aijaji=0（i≠j）和aijajk…aqrari=0，則稱GA是非循環(huán)的。

定理9[15]：如果GA是非循環(huán)的，則存在一個(gè)置換矩陣Q，使得QTAQ是一個(gè)上三角矩陣。

定義10[13]：定義各個(gè)符號(hào)型并運(yùn)算如下。

（1）如果各符號(hào)型同一位置處的各元素為某一相同符號(hào)或0，則并運(yùn)算結(jié)果對(duì)應(yīng)位置處的元素為該符號(hào)（非0）。

（2）如果各符號(hào)型同一位置處的各元素均為0，則并運(yùn)算結(jié)果對(duì)應(yīng)位置處的元素為0。

（3）如果各符號(hào)型同一位置處的各元素異號(hào)，則并運(yùn)算結(jié)果對(duì)應(yīng)位置處的元素記為*，表示可取任意符號(hào)。

上述并運(yùn)算結(jié)果所得矩陣為各個(gè)符號(hào)型的源符號(hào)型矩陣。

定理11：蓋爾斯果林圓盤定理。

一個(gè)n階矩陣An×n=（aij）n×n的全部特征值包含在以下的n個(gè)圓盤中：

定理12[11]：如果一個(gè)符號(hào)矩陣A可以分為A1，A2，…，Aq，且det A=det A1×det A2×…×det Aq，那么A是符號(hào)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)A1，A2，…，Aq全部是符號(hào)穩(wěn)定的。

2 馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)均方符號(hào)穩(wěn)定分析

給定馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)（6）的子系統(tǒng)矩陣Ai和轉(zhuǎn)移概率矩陣Λ，令

注意，S'和Si分別是A'，Ai的符號(hào)矩陣。通過分析Si和Λ之間的聯(lián)系可以分析S'的符號(hào)穩(wěn)定。

定理13：R是Si的符號(hào)矩陣集合的源符號(hào)型矩陣，下面兩個(gè)命題等價(jià)：

①馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)（6）是均方符號(hào)穩(wěn)定的；

②GR是非循環(huán)的，diag R＜0且diag Si＜0。

證明：馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)（6）是均方符號(hào)穩(wěn)定的，根據(jù)定義6，所有，使得系統(tǒng)（1）和（2）是均方穩(wěn)定的，又由定理3可知，系統(tǒng)（1）和（2）是均方穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A'是赫爾維茨穩(wěn)定的，所以馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)（6）是均方符號(hào)穩(wěn)定的，等價(jià)于S'是符號(hào)穩(wěn)定的。R是Si的符號(hào)矩陣集合的源符號(hào)型矩陣，GR是非循環(huán)的，由定義10可知，所有GSi是非循環(huán)的，令

那么

式中：0表示零矩陣；·表示矩陣元素不全為零的Di,ν或Dν,i，如果S'是符號(hào)穩(wěn)定的，等價(jià)于QTS'Q是符號(hào)穩(wěn)定的，等價(jià)于Q'T（QTS'Q）Q'是符號(hào)穩(wěn)定的，由定理12可知，如果Q'T（QTS'Q）Q'是符號(hào)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)Dki，ki+ΛT（i=1，2，…，N）是符號(hào)穩(wěn)定的，即Dki，ki+Λ（i=1，2，…，N）是符號(hào)穩(wěn)定的。下面證明Dki，ki+Λ（i=1，2，…，N）是符號(hào)穩(wěn)定的。

因?yàn)镾i的對(duì)角線元素小于零，所以Dki，ki的對(duì)角線元素全部小于零，Λ滿足式（3），即，那么，由定理11可知，的特征值分布在如圖2所示的圓盤內(nèi)，所以Dki，ki+Λ（i=1，2，...，N）是符號(hào)穩(wěn)定的。

圖2 特征值分布

3 符號(hào)例子和數(shù)值例子

對(duì)于馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)（6）的均方符號(hào)穩(wěn)定，令N=3，對(duì)于定理13的命題②，選擇源符號(hào)型矩陣為

那么

在集合S中任意選擇符號(hào)矩陣作為子系統(tǒng)矩陣的符號(hào)矩陣，例如，

令馬爾可夫切換信號(hào)σ（t）的轉(zhuǎn)移速率矩陣為

在符號(hào)矩陣中代入任意數(shù)值檢驗(yàn)系統(tǒng)（1）的均方穩(wěn)定，例如，

解線性矩陣不等式（4）得

圖3為馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)（1）的均方穩(wěn)定的7次狀態(tài)軌跡，均為穩(wěn)定狀態(tài)。

圖3 的7次實(shí)現(xiàn)

4 結(jié)論

本文基于馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)均方穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，考慮到隨著系統(tǒng)的復(fù)雜度增加，其線性矩陣不等式的可解性無法保證，所以將符號(hào)穩(wěn)定引入馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)，分析其定性穩(wěn)定性，得到了馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)均方符號(hào)穩(wěn)定，有效地解決了可解性無法保證這個(gè)問題，最后通過一個(gè)符號(hào)例子和數(shù)值例子對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，證實(shí)了其有效性。