王 恒,郭俊亮,唐孝國(guó)
(銅仁職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院,貴州 銅仁 554300)
馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)是一類特殊的混雜系統(tǒng),是由一族子系統(tǒng)和描述其之間聯(lián)系的切換規(guī)則所組成,切換規(guī)則由馬爾科夫過(guò)程控制,有關(guān)這類切換系統(tǒng)研究成果很多[1-8],例如,指數(shù)幾乎處處穩(wěn)定,全局漸近穩(wěn)定,均方穩(wěn)定等[2-5]。其設(shè)計(jì)切換的方法也很多,如持續(xù)駐留時(shí)間,平均駐留時(shí)間等[6-8]。隨著工程領(lǐng)域內(nèi)的控制對(duì)象日益復(fù)雜,系統(tǒng)的模態(tài)不斷增加,定量穩(wěn)定難以求解,而一種定性穩(wěn)定概念——符號(hào)穩(wěn)定,為這個(gè)問(wèn)題提供了一條新的思路,符號(hào)穩(wěn)定由于其符號(hào)與矩陣元素的數(shù)值大小無(wú)關(guān),作為一種天然的魯棒穩(wěn)定,不但簡(jiǎn)單直觀,且一定程度上能夠繼承經(jīng)典方法的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn),這也推動(dòng)了魯棒控制理論的發(fā)展。
給定一個(gè)實(shí)矩陣,僅保留其各元素的符號(hào)由此組成的矩陣稱為這個(gè)實(shí)矩陣的符號(hào)型,符號(hào)型矩陣可視為一類特殊的矩陣,其元素均由符號(hào){+,-,0}組成。而符號(hào)穩(wěn)定[9]的概念最早出現(xiàn)在生態(tài)系統(tǒng),在大規(guī)模的生物圈中,種群數(shù)量受多種因素影響且缺少精確的建模方法,但卻呈現(xiàn)出很強(qiáng)的穩(wěn)定性和抗干擾能力,這就促使研究人員利用符號(hào)穩(wěn)定這種定性方法來(lái)分析不同物種間的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程,將這個(gè)變化過(guò)程與矩陣聯(lián)系起來(lái),通過(guò)分析雅克比矩陣的符號(hào)特征來(lái)研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的定性穩(wěn)定性,(i,j)表示矩陣第i行第j列的元素,如果這個(gè)元素符號(hào)為正,表示物種j對(duì)物種i有積極影響,符號(hào)為負(fù)表示消極影響,零表示沒有影響。這種聯(lián)系可以用一個(gè)有向圖來(lái)表示。例如,給定一個(gè)符號(hào)矩陣
其有向圖如圖1所示。
圖1 A的有向圖
相關(guān)研究者開始分析并運(yùn)用符號(hào)穩(wěn)定,得到了許多研究成果[9-11]。Jeffries[10]等用涂色測(cè)試法得到了符號(hào)穩(wěn)定的充分條件,Rama[11]通過(guò)分析不同位置元素之間的聯(lián)系提出了一種簡(jiǎn)單的符號(hào)穩(wěn)定條件?;谶@些研究,符號(hào)穩(wěn)定在控制工程領(lǐng)域逐漸得到重視和應(yīng)用[12-16]。相比于傳統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性理論,符號(hào)穩(wěn)定應(yīng)用更加廣泛。
本文主要分析了符號(hào)穩(wěn)定如何聯(lián)系馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng),目的是探索一種新的控制設(shè)計(jì)方法,基于馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)的均方穩(wěn)定,分析其子系統(tǒng)矩陣和轉(zhuǎn)移概率矩陣的符號(hào),得到了均方符號(hào)穩(wěn)定,最后將得到的符號(hào)型代入數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證。
Rn×n表示一個(gè)n維的實(shí)矩陣,In表示一個(gè)n維的單位矩陣。給定矩陣An×n=(aij)n×n,Aij表示矩陣的元素aij,diag An×n表示矩陣的對(duì)角線元素{a11,a22,…,ann}。給定矩陣Ai,i=1,2,…,n,blockdiag(A1,…,An)表示塊對(duì)角矩陣。ei表示第i個(gè)元素是1,其余元素為零的列向量。sgn An×m表示矩陣An×m的符號(hào)型,GA表示sgn An×m的有向圖。νec(A)在A上的作用是依A的列的順序?qū)轉(zhuǎn)化為一個(gè)列向量。?表示Kronecker積,⊕表示Kronecker和,其運(yùn)算方式為
考慮以下馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)
式中:x(t)是系統(tǒng)的狀態(tài)向量;Ai為子系統(tǒng)矩陣;σ(t)是一個(gè)取值于{1,2,…,N}的齊次馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程的有限狀態(tài)。其過(guò)程σ(t)定義為
λij表示在時(shí)刻t從模態(tài)i經(jīng)過(guò)h切到模態(tài)j的轉(zhuǎn)移速率,且滿足
Λ=[λij]是σ(t)的轉(zhuǎn)移速率矩陣。假設(shè)t=0時(shí),k=0,在第k次跳躍之后的駐留時(shí)間是τk。令πi(t)=Pr{σ(t)=i},并且其平穩(wěn)分布Π=[π1,π2,...,πN]滿足。式(1)和(2)被稱為馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)。
定義1[7]:對(duì)于任意初始條件x(0)和任意初始分布Π0,如果
那么馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)(1)和(2)被稱為均方穩(wěn)定的。
定理2[7]:系統(tǒng)(1)和(2)是均方穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)存在對(duì)稱正定矩陣,使得下面不等式成立,
定理3:系統(tǒng)(1)和(2)是均方穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A'是赫爾維茨穩(wěn)定的。
證明:由定理2可知存在對(duì)稱正定矩陣Pi∈Rn×n使得式(4)成立,系統(tǒng)(1)和(2)是均方穩(wěn)定的,那么利用由式(4)可得
存在對(duì)稱正定矩陣Pi∈Rn×n使得式(5)成立,當(dāng)且僅當(dāng)A'是赫爾維茨穩(wěn)定的。
在接下來(lái)的分析中,只考慮A'的符號(hào)型,它們屬于一個(gè)符號(hào)矩陣的集合,即一種定性的矩陣。
定義4[16]:符號(hào)矩陣是一個(gè)所有矩陣元素取值于集合S:={-,+,0}中的矩陣。所有n行m列的符號(hào)矩陣可表示為Sn×m。
定義5[16]:一類定性的實(shí)矩陣An×m通過(guò)下面這個(gè)集合定義。
由定義5可知,Q(A)表示一類與A有相同符號(hào)的實(shí)矩陣,那么QS表示在Q(A)中,對(duì)于所有實(shí)矩陣A,有sgn Aij=Sij,令M滿足式(3)的不可約矩陣,那么
為了分析馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)的符號(hào)穩(wěn)定,將式(1)描述為
定義6[15]:如果所有使得系統(tǒng)(1)和(2)是均方穩(wěn)定,那么稱系統(tǒng)(6)是均方符號(hào)穩(wěn)定。
這篇文章將符號(hào)穩(wěn)定的概念引入馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng),目的是探索一種新的控制設(shè)計(jì)方法。接下來(lái)將定義符號(hào)穩(wěn)定,并分析它的相關(guān)性質(zhì)。
定義7[12]:如果與實(shí)矩陣An×n有相同符號(hào)型的任意實(shí)矩陣An×n都是赫爾維茨穩(wěn)定的,則稱sgn An×n是符號(hào)穩(wěn)定的。
說(shuō)明8:矩陣An×n=(aij)n×n滿足aijaji=0(i≠j)和aijajk…aqrari=0,則稱GA是非循環(huán)的。
定理9[15]:如果GA是非循環(huán)的,則存在一個(gè)置換矩陣Q,使得QTAQ是一個(gè)上三角矩陣。
定義10[13]:定義各個(gè)符號(hào)型并運(yùn)算如下。
(1)如果各符號(hào)型同一位置處的各元素為某一相同符號(hào)或0,則并運(yùn)算結(jié)果對(duì)應(yīng)位置處的元素為該符號(hào)(非0)。
(2)如果各符號(hào)型同一位置處的各元素均為0,則并運(yùn)算結(jié)果對(duì)應(yīng)位置處的元素為0。
(3)如果各符號(hào)型同一位置處的各元素異號(hào),則并運(yùn)算結(jié)果對(duì)應(yīng)位置處的元素記為*,表示可取任意符號(hào)。
上述并運(yùn)算結(jié)果所得矩陣為各個(gè)符號(hào)型的源符號(hào)型矩陣。
定理11:蓋爾斯果林圓盤定理。
一個(gè)n階矩陣An×n=(aij)n×n的全部特征值包含在以下的n個(gè)圓盤中:
定理12[11]:如果一個(gè)符號(hào)矩陣A可以分為A1,A2,…,Aq,且det A=det A1×det A2×…×det Aq,那么A是符號(hào)穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)A1,A2,…,Aq全部是符號(hào)穩(wěn)定的。
給定馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)(6)的子系統(tǒng)矩陣Ai和轉(zhuǎn)移概率矩陣Λ,令
注意,S'和Si分別是A',Ai的符號(hào)矩陣。通過(guò)分析Si和Λ之間的聯(lián)系可以分析S'的符號(hào)穩(wěn)定。
定理13:R是Si的符號(hào)矩陣集合的源符號(hào)型矩陣,下面兩個(gè)命題等價(jià):
①馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)(6)是均方符號(hào)穩(wěn)定的;
②GR是非循環(huán)的,diag R<0且diag Si<0。
證明:馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)(6)是均方符號(hào)穩(wěn)定的,根據(jù)定義6,所有,使得系統(tǒng)(1)和(2)是均方穩(wěn)定的,又由定理3可知,系統(tǒng)(1)和(2)是均方穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A'是赫爾維茨穩(wěn)定的,所以馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)(6)是均方符號(hào)穩(wěn)定的,等價(jià)于S'是符號(hào)穩(wěn)定的。R是Si的符號(hào)矩陣集合的源符號(hào)型矩陣,GR是非循環(huán)的,由定義10可知,所有GSi是非循環(huán)的,令
那么
式中:0表示零矩陣;·表示矩陣元素不全為零的Di,ν或Dν,i,如果S'是符號(hào)穩(wěn)定的,等價(jià)于QTS'Q是符號(hào)穩(wěn)定的,等價(jià)于Q'T(QTS'Q)Q'是符號(hào)穩(wěn)定的,由定理12可知,如果Q'T(QTS'Q)Q'是符號(hào)穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)Dki,ki+ΛT(i=1,2,…,N)是符號(hào)穩(wěn)定的,即Dki,ki+Λ(i=1,2,…,N)是符號(hào)穩(wěn)定的。下面證明Dki,ki+Λ(i=1,2,…,N)是符號(hào)穩(wěn)定的。
因?yàn)镾i的對(duì)角線元素小于零,所以Dki,ki的對(duì)角線元素全部小于零,Λ滿足式(3),即,那么,由定理11可知,的特征值分布在如圖2所示的圓盤內(nèi),所以Dki,ki+Λ(i=1,2,...,N)是符號(hào)穩(wěn)定的。
圖2 特征值分布
對(duì)于馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)(6)的均方符號(hào)穩(wěn)定,令N=3,對(duì)于定理13的命題②,選擇源符號(hào)型矩陣為
那么
在集合S中任意選擇符號(hào)矩陣作為子系統(tǒng)矩陣的符號(hào)矩陣,例如,
令馬爾可夫切換信號(hào)σ(t)的轉(zhuǎn)移速率矩陣為
在符號(hào)矩陣中代入任意數(shù)值檢驗(yàn)系統(tǒng)(1)的均方穩(wěn)定,例如,
解線性矩陣不等式(4)得
圖3為馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)(1)的均方穩(wěn)定的7次狀態(tài)軌跡,均為穩(wěn)定狀態(tài)。
圖3 的7次實(shí)現(xiàn)
本文基于馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)均方穩(wěn)定的基礎(chǔ)上,考慮到隨著系統(tǒng)的復(fù)雜度增加,其線性矩陣不等式的可解性無(wú)法保證,所以將符號(hào)穩(wěn)定引入馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng),分析其定性穩(wěn)定性,得到了馬爾可夫跳躍線性系統(tǒng)均方符號(hào)穩(wěn)定,有效地解決了可解性無(wú)法保證這個(gè)問(wèn)題,最后通過(guò)一個(gè)符號(hào)例子和數(shù)值例子對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證,證實(shí)了其有效性。