張佩瑜，周建山，田大新*

（北京航空航天大學(xué)，a.交通科學(xué)與工程學(xué)院；b.車路協(xié)同與安全控制北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206）

0 引言

近幾十年來，交通需求的快速增長(zhǎng)對(duì)道路通行能力、交通效率和交通安全提出了更高的要求。一些先進(jìn)的車聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，如車間通信技術(shù)（Vehicle to Vehicle,V2V）已經(jīng)應(yīng)用于車輛編隊(duì)控制以提高道路通行能力[1]。網(wǎng)聯(lián)車輛編隊(duì)控制通過車間通信技術(shù)，保證車車間實(shí)時(shí)共享狀態(tài)信息，使得車輛能夠根據(jù)相鄰車輛的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及時(shí)改變自身運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從而使整個(gè)車隊(duì)形成穩(wěn)定編隊(duì)[2]。

目前，國內(nèi)外科研人員針對(duì)智能網(wǎng)聯(lián)車的編隊(duì)控制問題進(jìn)行了大量研究，Gong等[3]提出基于約束優(yōu)化和分布式計(jì)算的編隊(duì)車輛跟蹤控制方案，以保證整個(gè)車隊(duì)形成穩(wěn)定編隊(duì)系統(tǒng)并減少交通流震蕩情況。LAN等[4]考慮了一種分布式最小-最大模型預(yù)測(cè)編隊(duì)控制策略，并證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，該控制策略能夠在存在車間通信延遲和現(xiàn)實(shí)約束的情況下滿足車隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MALIKOPOULOS等[5]研究了自動(dòng)駕駛車隊(duì)的最優(yōu)速度控制問題，并用Hamiltonian 理論推導(dǎo)出最優(yōu)速度控制模型的解析解。此外，仿真實(shí)驗(yàn)表明，提出的控制方案可以減少車隊(duì)的燃油消耗和行駛時(shí)間。針對(duì)高速公路自動(dòng)化系統(tǒng)，ZHENG等[6]研究了具有單向拓?fù)涞漠悩?gòu)車輛編隊(duì)控制問題，對(duì)于每輛車分配一個(gè)局部開環(huán)最優(yōu)控制模型，并設(shè)計(jì)基于等式的終端約束以確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性；此外，進(jìn)行了大量的仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的最優(yōu)控制模型和算法能夠保證車輛完成編隊(duì)任務(wù)。

目前，有關(guān)車輛編隊(duì)控制的研究有一定的局限性，當(dāng)設(shè)計(jì)的控制優(yōu)化模型與實(shí)際的被控車輛存在一定差異度時(shí)，控制器往往得不到可靠的控制效果。例如當(dāng)車輛處于能見度低的環(huán)境下，傳感器可能受到外界環(huán)境干擾致使測(cè)量信息不準(zhǔn)確[7]。此時(shí)，設(shè)計(jì)的控制模型與實(shí)際被控車輛發(fā)生模型失配問題。因此，對(duì)于含有不確定性因素的魯棒控制系統(tǒng)研究稱為控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)[8]。GAO等[9]分析了車輛穩(wěn)定性邊界和參數(shù)不確定性對(duì)編隊(duì)控制策略的影響，利用干擾觀測(cè)器來獲得汽車穩(wěn)定狀態(tài)參考值，并設(shè)計(jì)了分布式魯棒模型預(yù)測(cè)控制器來實(shí)現(xiàn)車輛無偏軌跡跟蹤；實(shí)驗(yàn)表明，提出的協(xié)同控制策略能夠?qū)崿F(xiàn)高效編隊(duì)的同時(shí)減少參數(shù)不確定性的影響。XU 等[10]考慮了坡度、空氣阻力和無線通信延遲等外部干擾對(duì)彎道上異構(gòu)車輛排影響，設(shè)計(jì)了縱向狀態(tài)H∞魯棒控制器，以確保在存在外部干擾的情況下，整個(gè)車隊(duì)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定編隊(duì)。

基于上述討論可以發(fā)現(xiàn)，目前關(guān)于魯棒控制研究中，傳統(tǒng)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)通常采用狀態(tài)反饋策略來控制系統(tǒng)不確定參數(shù)，且系統(tǒng)的不確定參數(shù)構(gòu)造單一、固定且狀態(tài)始終可測(cè)。但在實(shí)際場(chǎng)景下，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定狀態(tài)往往無法準(zhǔn)確估計(jì)。因此，當(dāng)編隊(duì)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)存在不可測(cè)擾動(dòng)時(shí)，傳統(tǒng)控制方法達(dá)不到期望的控制效果?；诖?，本文針對(duì)具有結(jié)構(gòu)不確定擾動(dòng)的網(wǎng)聯(lián)車輛編隊(duì)問題，構(gòu)建編隊(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不確定的新的表征方式，將不確定干擾約束在某一范圍進(jìn)行優(yōu)化，在盒式不確定集下建立最小最大范式下的魯棒預(yù)測(cè)控制模型[11]，為了處理不確定干擾帶來的計(jì)算難題，基于魯棒對(duì)等理論推導(dǎo)出計(jì)算上易于求解的上圖優(yōu)化模型，最后通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的有效性。

1 傳統(tǒng)網(wǎng)聯(lián)車輛編隊(duì)控制模型

1.1 問題描述

如圖1所示，考慮直道上網(wǎng)聯(lián)車輛編隊(duì)控制問題，包括具有已知軌跡的領(lǐng)頭車輛和N輛跟隨車輛。車隊(duì)中所有車輛都已安裝車載傳感器控制器用于感知每輛車的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，然后通過無線通信信道向領(lǐng)頭車輛傳送信息。車輛i的離散時(shí)間動(dòng)力學(xué)方程為

圖1 車輛編隊(duì)控制問題場(chǎng)景Fig.1 Vehicle platoon control problem scenario

式中：τ為參數(shù)；k為離散時(shí)刻；si（k）、vi（k）和ui（k）分別為車輛i的縱向位置、速度和加速度。

定義車輛i-1 與車輛i速度差為Δvi（k）=vi-1（k）-vi（k），距離差為Δsi（k）=si-1（k）-si（k）-r·vi（k）-L，其中，L為車輛長(zhǎng)度，r為恒定反應(yīng)時(shí)間。定義狀態(tài)量xi（k）=[Δsi（k）,Δvi（k）]T，控制輸入量為ui（k），車輛i的空間形式為

式（2）可以整理為

排中車輛i受到幾個(gè)重要的狀態(tài)和控制約束如下。

（1）控制約束。umin≤ui（k）≤umax，其中，umin、umax分別為最小、最大加速度。

（2）速度誤差約束。ve,min≤vi-1（k+1）-vi（k+1）≤ve,max，其中，ve,min≤0 為兩車之間允許車速誤差的最小值，ve,max≥0 為兩車之間允許車速誤差的最大值。

（3）距離誤差約束。de,min≤Δsi（k+1）-D≤de,max，其中，D為兩車之間的期望距離，de,min≤0 為兩車之間允許距離誤差的最小值，de,max≥0 為兩車之間允許距離誤差的最大值。

1.2 傳統(tǒng)網(wǎng)聯(lián)車隊(duì)建模

定義編隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)量x（k）=[x1（k）T,x2（k）T,…,xN（k）T]T，控制輸入量為u（k）=[u1（k）T,u2（k）T,…,uN（k）T]T，得到線性時(shí)不變編隊(duì)系統(tǒng)模型，其離散形式為

定義

則編隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)約束集和控制約束集為

車輛縱向跟蹤控制方案的目標(biāo)主要包含兩方面：一是狀態(tài)方面，相鄰兩輛車之間應(yīng)保持期望的安全間距D，即減少相鄰兩車間距和速度的變化；二是控制方面，所有車輛的控制信號(hào)（加速度）也應(yīng)該趨近穩(wěn)定值0 m·s2?；谏鲜黾s束和目標(biāo)，提出無干擾的編隊(duì)控制模型M1為

模型M1為針對(duì)網(wǎng)聯(lián)車輛編隊(duì)場(chǎng)景的預(yù)測(cè)控制模型，當(dāng)狀態(tài)矩陣A和B具有不確定擾動(dòng)時(shí)，此控制模型將不能保證車輛形成穩(wěn)定編隊(duì)。下面將針對(duì)存在結(jié)構(gòu)不確定干擾的編隊(duì)系統(tǒng)，提出最小最大范式下的預(yù)測(cè)控制模型。

2 魯棒模型預(yù)測(cè)車輛編隊(duì)控制模型

2.1 最小最大范式下的車輛編隊(duì)控制模型

在狀態(tài)空間式（3）中，矩陣A和B是實(shí)值矩陣。但在實(shí)際場(chǎng)景下由于噪聲干擾等因素，A和B具有不確定干擾。具體地說，假設(shè)A和B矩陣的形式為

式中：A0和B0為已知的名義矩陣；AΔ和BΔ為擾動(dòng)矩陣；ζΔ為擾動(dòng)變量。

為了處理帶有擾動(dòng)變量的狀態(tài)空間方程，假設(shè)不確定變量ζΔ屬于盒式不確定集U[11]，盒式不確定集U的具體形式為

當(dāng)擾動(dòng)變量ζΔ∈U時(shí)，ζΔ的取值范圍為[-1,1]，因此狀態(tài)空間矩陣A和B在盒式不確定集下的取值范圍為[A0-AΔ,A0+AΔ] ，[B0-BΔ,B0+BΔ] ，則具有不確定擾動(dòng)的狀態(tài)空間方程為

基于式（14）系統(tǒng)的不確定性描述，考慮最小最大化范式下的預(yù)測(cè)控制模型M2為

2.2 盒式不確定集下的上圖優(yōu)化模型

在模型M2中，目標(biāo)函數(shù)J（u（0）,u（1）,…,u（K-1））中存在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)干擾矩陣，為了處理目標(biāo)中系統(tǒng)不確定狀態(tài)矩陣，根據(jù)上圖優(yōu)化理論將優(yōu)化目標(biāo)轉(zhuǎn)為約束[12]，模型M2轉(zhuǎn)化為上圖優(yōu)化模型M3，即

下面，通過魯棒對(duì)等理論處理模型M3 中的不確定約束。

式中:X（k+1）=（A0+AΔ）X（k）+（B0+BΔ）u（k）+W（k），且X（k+1）≥x（k+1）。

證明：狀態(tài)約束中ζΔ屬于盒式不確定集ζΔ∈[-1,1]，因此可得到狀態(tài)x（k+1）的上界為

定理2 約束集X（k）∈χ,k=1,2,…,K的等價(jià)形式為

式中：s,d為輔助決策向量。

證明：基于具有不確定擾動(dòng)狀態(tài)空間方程式（14），將X≤xmax展開為

式中：?ζΔ:‖ζΔ‖∞≤1，基于在最差情形原則，可以得到

根據(jù)魯棒對(duì)等理論，可以推導(dǎo)出X≤xmax的魯棒對(duì)等模型為

通過定理1和定理2，在盒式不確定集下，得到模型M3在數(shù)學(xué)上易于求解的上圖優(yōu)化模型M4為

基于魯棒對(duì)等理論，得到模型M2 在盒式不確定集下的上圖優(yōu)化模型M4。對(duì)于非凸非線性模型M4，采用序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行求解。首先，基于泰勒展開式將原始非凸模型轉(zhuǎn)化為一系列凸二次規(guī)劃子問題，然后選取罰函數(shù)為度量函數(shù)，根據(jù)線搜索方法確定步長(zhǎng)，最后對(duì)海塞矩陣的正定逼近陣進(jìn)行修正，直至找到最優(yōu)解。

3 算例分析

3.1 仿真環(huán)境與實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)計(jì)

本文基于MATLAB/Simulink 搭建車輛編隊(duì)系統(tǒng)仿真環(huán)境并開展仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。編隊(duì)場(chǎng)景由領(lǐng)頭車輛和5輛跟隨車輛組成。其中，領(lǐng)頭車輛作為參考車輛，為其他后方編隊(duì)車輛提供參考軌跡信息，其他5輛汽車根據(jù)頭車的參考軌跡信息執(zhí)行控制以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定編隊(duì)目標(biāo)?；贕ong 等[3]提出的仿真實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景，提出如下參數(shù)設(shè)計(jì)。

領(lǐng)頭車輛的初始位置和速度為（s0（0）,v0（0）,u0（0））=（175 m,25 m·s-1,0 m·s-2）， 在t∈[21,24] s 內(nèi)減速，減速度為-2 m·s-2，并保持一個(gè)恒定的速度，直到t=57s開始加速。在t∈[57,60] s 內(nèi)加速，加速度為2 m·s-2，間段加速度為0 m·s-2。整個(gè)仿真的時(shí)間設(shè)置為100 s。跟隨5輛車的初始位置、速度和加速度分別為

對(duì)于系統(tǒng)中的名義矩陣A0和B0與擾動(dòng)矩陣AΔ和BΔ，取名義矩陣，對(duì)于擾動(dòng)矩陣AΔ和BΔ，考慮編隊(duì)車輛的狀態(tài)具有干擾，并將擾動(dòng)矩陣AΔ設(shè)置為名義矩陣A0的0.1%。因此。模型中其他參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameter setting

3.2 優(yōu)化結(jié)果

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2～圖5 所示，圖2 為領(lǐng)頭車輛的加速度，圖3～圖5 分別為編隊(duì)車輛的加速度、速度與位置。在模型M4 的控制方案下，5 輛跟隨車輛以25 m·s-1的期望速度跟隨領(lǐng)頭車輛，且整個(gè)車隊(duì)的運(yùn)行軌跡比較平緩且無碰撞。

圖2 領(lǐng)頭車輛加速度Fig.2 Acceleration of leading vehicle

圖3 編隊(duì)車輛加速度Fig.3 Acceleration of vehicles in platoon

圖4 編隊(duì)車輛速度Fig.4 Speed of vehicles in platoon

圖5 編隊(duì)車輛位置Fig.5 Position of vehicles in platoon

此外，設(shè)計(jì)對(duì)比實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證基于魯棒編隊(duì)控制方法的有效性。首先，通過求解傳統(tǒng)網(wǎng)聯(lián)車輛編隊(duì)模型M1，得到無系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不確定擾動(dòng)的傳統(tǒng)編隊(duì)控制策略，通過求解模型M4，得到魯棒編隊(duì)控制策略。將兩種控制策略分別應(yīng)用于具有不同結(jié)構(gòu)不確定擾動(dòng)的狀態(tài)方程式（14），在實(shí)驗(yàn)過程中考慮系統(tǒng)狀態(tài)的擾動(dòng)矩陣AΔ，取其擾動(dòng)值為名義矩陣A0的0.1%與1%[11]，在兩種擾動(dòng)情況下，可分別得到兩種控制策略下相鄰車輛軌跡差與速度差。

圖6 魯棒控制策略下的車間位移差Fig.6 Vehicle spacing under robust control strategy

圖7 傳統(tǒng)控制策略下的車間位移差Fig.7 Vehicle spacing under nominal control strategy

圖8 魯棒控制策略下的車間位移差Fig.8 Vehicle spacing under robust control strategy

對(duì)比圖8 與圖9 可以看出，當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)存在隨機(jī)擾動(dòng)時(shí)（ζ△∈[-1,1]），魯棒控制方案下所有跟隨車輛將以固定間距形成穩(wěn)定編隊(duì)且不會(huì)發(fā)生碰撞。傳統(tǒng)控制策略下，跟隨車輛會(huì)發(fā)生碰撞，從而不能保證編隊(duì)安全。因此，基于魯棒對(duì)等變換的控制策略有良好的性能，能夠保證車隊(duì)可以抵御系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不確定性帶來的影響，進(jìn)而所有跟隨車輛實(shí)現(xiàn)速度和軌跡跟蹤。

圖9 傳統(tǒng)控制策略下的車間位移差Fig.9 Vehicle spacing under nominal control strategy

4 結(jié)論

本文得到的主要結(jié)論如下：

（1）本文提出基于魯棒對(duì)等變換的模型預(yù)測(cè)編隊(duì)控制方法，在存在結(jié)構(gòu)不確定干擾時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)網(wǎng)聯(lián)車隊(duì)編隊(duì)控制。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)擾動(dòng)矩陣AΔ和BΔ較小時(shí)，傳統(tǒng)編隊(duì)控制方法與本文控制方法都能夠?qū)崿F(xiàn)車輛編隊(duì)目標(biāo)。這說明該控制方法對(duì)干擾大小的敏感度較低。

（2）與傳統(tǒng)車輛編隊(duì)控制方法相比，當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)擾動(dòng)較大時(shí)，本文模型的控制效果更優(yōu)，保證車輛在編隊(duì)過程中不發(fā)生碰撞。后續(xù)研究可以考慮在橢球不確定集下的編隊(duì)控制方法，以提高本文模型對(duì)系統(tǒng)不確定擾動(dòng)的敏感度。

（3）在未來的研究工作中，將在車輛編隊(duì)預(yù)測(cè)控制模型中考慮外部擾動(dòng)，提出針對(duì)存在外部擾動(dòng)的編隊(duì)控制策略以及算法等方面的內(nèi)容，從而進(jìn)一步豐富網(wǎng)聯(lián)車輛編隊(duì)控制相關(guān)研究。