廣東省中山市第一中學(xué)(528403) 孫要強

1 概述

立體幾何是高考的重要考點之一,歷年考題題型、難度、結(jié)構(gòu)及分值相對穩(wěn)定,選填題主要考查概念辨析、位置關(guān)系探究、空間幾何量的簡單計算等,解答題多以簡單幾何體為載體,考查線線、線面、面面的位置關(guān)系. 其中作為壓軸成分出現(xiàn)的選填題多涉及到動態(tài)問題.

立體幾何動態(tài)問題注入了某些變化的點、線、面等元素,常常集知識的交匯性與綜合性、方法的靈活性與多向性、思維的變通性與深刻性于一體,使立體幾何問題更富思辨性、開放性和挑戰(zhàn)性. 試題通過考查點、線、面元素位置關(guān)系的變化,如翻折、平移、旋轉(zhuǎn)、射影等,引導(dǎo)以動態(tài)的眼光去發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì),有助于培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力、創(chuàng)新能力和發(fā)散性思維.

立體幾何的動態(tài)問題中的“不確定性”與“動感性”往往成為學(xué)生思考與求解問題的思維障礙,具有策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性等特點. 本文從點動、線動和面動三個方面對其進(jìn)行探究,以期交流研討.

2 動態(tài)問題探究

2.1 點動問題

思路分析 如圖2 所示: 沿著側(cè)棱V A把正三棱錐V-ABC三個側(cè)面展開在一個平面內(nèi), 則AA′即為截面ΔAEF周長的最小值,在ΔV AA′中,∠AV A′= 3×40°=120°,由余弦定理可得

圖2

圖3

圖4

本題組主要研究目標(biāo)隨著空間某些點的變化而變化的問題,簡稱點動問題. 運動根源是多個點在運動,采用了控制變量法. 研究立體幾何中的線段和最短問題,往往需要將幾個線段轉(zhuǎn)到一個面中,一般需要進(jìn)行翻轉(zhuǎn),再利用點共線,或者點到直線距離進(jìn)行求解. 這是轉(zhuǎn)化與化歸的思想,包含空間問題平面化,折線問題轉(zhuǎn)化為直線段問題,控制某些變量,尋找運動根源等方法.

2.2 線動問題

例2 在等腰梯形ABCD中,已知AB=AD=CD=1,BC= 2,將ΔABD沿直線BD翻折成ΔA′BD,如圖5,則直線BA′與CD所成角的取值范圍是.

圖5

圖6

圖7

圖8

本組題主要研究目標(biāo)隨著空間某條線的變化而變化的問題,簡稱線動問題. 題組考查是兩條動態(tài)的異面直線所成角(垂直即夾角為90°),由于直線是不固定的,所成角不易確定,但在研究異面直線所成角時,平移直線不影響直線之間的夾角,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為研究圓錐中母線與直線所成角的問題.

2.3 面動問題

例3 如圖9,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AD//BC,AD=2BC,PA⊥PD,AB=PB=1.

圖9

(1)證明:PA⊥平面PCD;

(2)若BC=CD= 1,當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時,求直線PB與平面PAD所成角的正弦值.

圖11

思路分析 (1)如圖10,取AD,AP中點E,F,連接BE,BF,EF. 由AB=PB,PA⊥PD得PA⊥BF,PA⊥EF,又BF ∩EF=F,所以PA⊥平面BEF. 易知平面BEF//平面PCD,所以PA⊥平面PCD.

圖1

圖10

本題主要研究目標(biāo)隨著空間某個面的變化而變化的問題, 簡稱面動問題. 題目使用靜態(tài)語言敘述一個動態(tài)的翻折過程, 需要用運動變化的觀點看問題, 在平面PAC中,PA⊥PC, 點P在以AC為直徑的圓上運動, ΔABE沿著BE翻折,用運動變化觀點看待,靜態(tài)與動態(tài)相互轉(zhuǎn)化.

3 結(jié)束語

動態(tài)立體幾何在變化過程中總蘊含著某些不變的因素,問題的解決需要把其變化過程充分地展現(xiàn)出來,觀察它的變化規(guī)律,尋找不變的靜態(tài)因素,找到解決問題的突破口,也可以利用極限思想找到極端位置,用特殊法求解. 對于探究存在問題或動態(tài)范圍(最值)問題,用定性分析難以解決時,可以引進(jìn)參數(shù),通過構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計算,以算促證.

“動”與“靜”是事物的兩個方面,從點,線,面等不同角度研究立體幾何中的“動”,尋求其“靜”,以“靜”制“動”,以不變應(yīng)萬變,凸出幾何本質(zhì),提升思維能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),彰顯育人功能.