湖南 劉仲喜

高中數學課程應力求通過各種形式自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發(fā)現與創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.但在具體的教學實踐中，這一理念往往被形式化.由于情境與問題的封閉性，會使學生提不起探究的興趣，即便完成了學習目標也不能獲得探究的愉悅感.探究需要問題，而問題的產生則來源于興趣和發(fā)現；探究需要方法，而方法需要經驗.

一、問題呈現

筆者學校高二階段考數學試題命制時，筆者設計了如下一道試題：

【題目】甲、乙兩人進行投籃比賽，要求各投籃2次，并約定按最后的結果獲勝者每多投進一球，對方就要付給他5元錢.已知甲、乙兩人每次投中的概率分別為0.8，0.6.

試求：(1)事件A“在甲第一次未投進的條件下，乙獲勝”的概率；

(2)甲贏得的錢數X的數學期望.

解析：(1)事件A包含事件B“甲第二次未投中，乙至少投中一次”和事件C“甲第二次投中，乙投中兩次”，且事件B與C互斥.

故P(A)=P(B)+P(C)=0.2×(1-0.4×0.4)+0.8×0.6×0.6=0.456.

故X的分布列為

X-10-50510P0.014 40.134 40.390 40.358 40.102 4

所以數學期望E(X)=(-10)×0.014 4+(-5)×0.134 4+0×0.390 4+5×0.358 4+10×0.102 4=2.

此題的立意非常好，較貼近現實生活，按常規(guī)的方法計算量比較大，但數學期望的值十分簡潔干脆，其中是否蘊含著某種顯而易見的結論或者規(guī)律呢？從而引起了筆者的關注與思考，接下來筆者進行了一番探究.

二、問題探究

探究一：E(X)=2是否有意義？

E(X)=2這個結果充滿了驚喜！那么它究竟有沒有特殊的意義呢？為了探究這個問題，筆者根據生活的經驗對原題的比賽規(guī)則:甲、乙各投籃2次，并約定按最后的結果獲勝者每多投進一球，對方就要付給他5元錢(下稱規(guī)則1).作出了如下兩種假定(依次稱規(guī)則2與規(guī)則3)：

規(guī)則2：讓甲先投兩次，每投進一球，乙付給甲5元；再讓乙投兩次，每投進一球，甲付給乙5元.那么按這個比賽規(guī)則，甲贏得錢的數學期望E1=5×2×0.8=8(元)，甲輸錢數的數學期望E2=5×2×0.6=6(元)，因此，甲贏得錢數的數學期望E(X)=8-6=2(元)；

規(guī)則3：甲乙各投球一次算一局，結算后再進行下一局.按這個規(guī)則，甲每一局贏得錢數的數學期望E0=-5×0.2×0.6+0×(0.2×0.4+0.8×0.6)+5×0.8×0.4=1

要求每人投兩次，故甲贏得錢數的數學期望E(X)=2E0=2.

這樣一來，無論是規(guī)則2還是規(guī)則3，似乎E(X)=2的意義都簡潔明了，甚至無需證明就可以接受規(guī)則3與規(guī)則1是等效的.然而計算簡潔的規(guī)則2和它們等效嗎？

探究二：三個規(guī)則是否是等效的？

為探究這個問題只需將題目的條件作一般化處理:設甲乙兩人每次投中的概率分別是p,q.

按規(guī)則2：E(X)=5×2p-5×2q=10(p-q)，

按規(guī)則3：E0=-5(1-p)q+0·[(1-p)(1-q)+pq]+5p(1-q)=5(p-q).

故E(X)=2E0=10(p-q).也就是說規(guī)則2與規(guī)則3是等效的.而按規(guī)則1則有

因此這三個規(guī)則是等效的.顯而易見規(guī)則2更為簡潔明了.那么這個結論能否推廣？

探究三：嘗試將此結論推廣

為了探究將此結論推廣，筆者繼續(xù)變換題目中的條件：“每人各投兩次”改為“甲、乙各投三次”，分別按三個規(guī)則計算得：

按規(guī)則2：E(X)=5×3p-5×3q=15(p-q)，

按規(guī)則3：E0=-5(1-p)q+0·[(1-p)(1-q)+pq]+5p(1-q)=5(p-q).

故有：E(X)=3E0=15(p-q).

按規(guī)則1：

或者改為“甲投兩次，乙投三次”.分別按三個規(guī)則計算三個規(guī)則的結果仍然是相同的！

由此可見這三個規(guī)則總是等效的.那么根據規(guī)則2可得到一個重要結論:

甲、乙兩人進行投籃比賽，要求各投籃n次，并約定按最后的結果獲勝者每多投進一球，對方就要付給他A元錢.已知甲乙兩人每次投中的概率分別為p,q，那么甲贏得錢數X的期望E(X)=nA(p-q).

甚至是更一般的結論：

甲、乙兩人進行投籃比賽，要求甲投籃n次，乙投籃m次，并約定甲每投進一球，乙要付給他A元錢，乙每投進一球，甲要付給他B元錢.已知甲、乙兩人每次投中的概率分別為p,q.那么甲贏得錢數X的期望E(X)=nAp-mBq.

從組合數學的角度來看，便可以輕松地得到如下的公式:

限于筆者的學識，不能斷定這兩個公式在組合數學有無用處，但它們的結果簡潔優(yōu)美而且上述推理的過程又是如此的直觀，是值得讓人驚嘆的!最后回到原題的情境，假設現在乙發(fā)現這樣的比賽并不公正，提出要求修改比賽規(guī)則，那么又應該如何修改呢?

探究四：怎樣制定公正的規(guī)則？

所謂比賽公正，用數學的觀點來看是概率均等或者是期望相等，就此題來看當然就是指期望相等.在現實生活中通常可以從兩個角度來調衡：方案一:乙投球的次數比甲多；方案二：乙投進的每個球甲多付一些錢.根據上面得到的結論，若按方案一可調整為：甲投三次而乙投四次；若按方案二可調整為：甲每投進一球，乙付給他3元，乙每投進一球，甲付給他4元.這與我們生活中的經驗是一致的，可以看到數學在生活中的應用.

三、關于探究的思考

根據新的《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》的基本理念“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”的要求，高中數學課程應力求通過各種形式自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發(fā)現與創(chuàng)造的歷程，發(fā)展它們的創(chuàng)新意識.但在具體的教學實踐中，這一理念往往被形式化：教師根據教學內容設置相應的情境，接著由教師或學生提出一些猜想或問題，然后引導學生討論探究，嘗試解決問題，最后總結歸納形成結論.這樣的教學有助于培養(yǎng)學生的探究意識，然而由于情境與問題的封閉性，會使學生提不起探究的興趣，即便完成了學習目標也不能獲得探究的愉悅感.如何從教學的實踐與現實的生活中去挖掘可以值得探究的數學問題，以更加開放的形式來引導學生進行自主探究學習也許是每個數學教師面臨的一個嶄新課題.首先，探究需要問題，而問題的產生則來源于興趣和發(fā)現.如在進行上面的探究之前，筆者是因為發(fā)現運算的復雜性和結果的簡潔性而產生了濃厚的興趣，是出于對簡潔美的追求，或者說是一種信念“凡是簡潔的都必定是具有和諧之美”.而這樣的素質正是非智力的因素的范疇，是我們現實的數學教學中需要大力倡導的.作為一名教師發(fā)現學生最需要的能力就是發(fā)現和提出問題的能力，如果某個學生能夠發(fā)現和提出一個新穎的有價值的問題常常會讓人覺得欣慰與贊賞；其次，探究需要方法，而方法需要經驗.如在進行上面的探究過程中筆者將原題的規(guī)則與生活的經驗相結合，從不同的角度來思考得到簡潔的方法.俗話常說“窮人家的孩子會讀書”不是沒有道理的，因為窮人家的孩子有更多的實踐經驗.