陜西 韓紅軍 李朝陽

2022年高考全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)秉承了考查數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力、思維價(jià)值、核心素養(yǎng)的一貫設(shè)計(jì)理念，延續(xù)了以考查運(yùn)算能力為主的傳統(tǒng)，堅(jiān)持熟而不俗，俗中有變，變而不偏，變中出新的原則，平凡問題中考查真功夫、真實(shí)情境中考查真能力.

1.試卷的特點(diǎn)分析與典型試題解析

1.1 密切聯(lián)系社會(huì)，注重設(shè)置現(xiàn)實(shí)情境

今年高考密切聯(lián)系社會(huì)，貼近生活，注重對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法、基本數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面考查.對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，并不要求學(xué)生死記硬背數(shù)學(xué)概念、公式和法則，而是注重考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和把握.例如，全國(guó)乙卷理科第4題以嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星為情境，考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)列、函數(shù)、不等式等基本知識(shí)，觀察問題、分析問題和解決問題的能力.第19題以生態(tài)環(huán)境建設(shè)為背景，考查學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法解決實(shí)際問題的能力，對(duì)數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)也做出了相應(yīng)的考查.

A.b1

1.2 依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》，注重考查主干知識(shí)和重點(diǎn)內(nèi)容

試卷整體上保持一定比例的基礎(chǔ)題，起點(diǎn)低，入手易，設(shè)置了一些源于教材又高于教材的試題，試圖通過這一導(dǎo)向引導(dǎo)高中教師改變教學(xué)中過分依賴復(fù)習(xí)資料，脫離教材，迷信題海戰(zhàn)術(shù)的情況.試題的考查內(nèi)容范圍和比例、要求層次與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(全文簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)保持一致，注重考查內(nèi)容的全面性，同時(shí)突出主干、重點(diǎn)內(nèi)容的考查，其中新教材淡化的線性規(guī)劃、三視圖和程序框圖，僅考查了程序框圖，體現(xiàn)了向新教材靠攏的趨勢(shì).

【例2】(2022·全國(guó)卷乙理·14)過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.

【解析】設(shè)點(diǎn)A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2)，圓過其中三點(diǎn)共有四種情況，任意兩點(diǎn)連接成的線段的中垂線的交點(diǎn)為圓心，圓心到任意一點(diǎn)的距離為半徑，設(shè)圓的半徑為r.

(1)若圓過A,B,C三點(diǎn)，則圓心在直線x=2上，

設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a)，則4+a2=9+(a-1)2?a=3,

所以圓的方程為(x-2)2+(y-3)2=13;

(2)若圓過A,B,D三點(diǎn)，則圓心在直線x=2上，

設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a)，則4+a2=4+(a-2)2?a=1,

所以圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5;

(3)若圓過A,C,D三點(diǎn)，

則線段AC的中垂線的方程為y=x+1，

線段AD的中垂線的方程為y=-2x+5，

(4)若圓過B,C,D三點(diǎn)，

則線段BD的中垂線的方程為y=1，

線段BC的中垂線的方程為y=5x-7，

1.3 變中出新，注重創(chuàng)新試題的設(shè)計(jì)

高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題形式引導(dǎo)教學(xué)更加注重核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)試題開放性，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析問題和解決問題，引導(dǎo)教學(xué)注重培育學(xué)生的創(chuàng)新精神.例如，全國(guó)乙卷理科第10題打破平時(shí)?？脊诺涓判秃蛶缀胃判透怕实挠?jì)算，或是排列組合二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，而是考查獨(dú)立隨機(jī)事件概率的計(jì)算，并比較大小，也沒有具體數(shù)值，增加了思維難度.

【例3】(2022·全國(guó)卷乙理·10)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別是p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則( )

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)

B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

【解析】設(shè)該棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為p甲，在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為p乙，在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為p丙，由題意得，

p甲=p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=p1p2+p1p3-2p1p2p3，

p乙=p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=p1p2+p2p3-2p1p2p3，

p丙=p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=p1p3+p2p3-2p1p2p3，

所以p丙-p甲=p2(p3-p1)>0,p丙-p乙=p1(p3-p2)>0，所以p丙最大,故選D.

1.4 立足教材，注重考查通性通法

注重通性通法在解題中的運(yùn)用，都是運(yùn)用基本概念分析問題，基本公式運(yùn)算求解，基本定理推理論證，基本數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問題.試題突出對(duì)學(xué)科基本概念、基本原理的考查，強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生形成學(xué)科知識(shí)系統(tǒng)；注重本源性方法，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)對(duì)通性通法的深入理解和綜合運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的知識(shí)結(jié)構(gòu).

【例4】(2022·全國(guó)卷乙理·17)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)證明：2a2=b2+c2；

【解析】(1)證明：因?yàn)閟inCsin(A-B)=sinBsin(C-A)，

所以sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinCcosA-

sinBcosCsinA，

所以sinCsinAcosB+sinBcosCsinA=2sinBsinCcosA，

即sinAsin(B+C)=2sinBsinCcosA，

即sin2A=2sinBsinCcosA，

由正弦定理和余弦定理得,

(2)因?yàn)閍=5，所以b2+c2=50.

解得2bc=31，

所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=5+9=14.

1.5 熟而不俗，注重考查思維的深度

2022年試卷在保持難度適中的前提下，還注重考查學(xué)生的綜合能力.在試題設(shè)置上，注重層次性，讓不同能力水平的學(xué)生都能夠得到充分的展示.試卷設(shè)計(jì)了思維較為深刻的問題，體現(xiàn)考生的能力水平.例如全國(guó)乙卷理科第9題研究球內(nèi)四棱錐體積的最大值問題，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和分析問題能力，將問題轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的最值問題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求解.

【例5】(2022·全國(guó)卷乙理·9)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為( )

所以該四棱錐的體積

1.6 陳題變新，注重考查關(guān)鍵能力

試題沒有出現(xiàn)偏題怪題，考生解題所需方法也是平時(shí)訓(xùn)練中常用的方法，但試題命制沒有落入俗套，要求考生具備堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、迅速準(zhǔn)確的運(yùn)算求解能力和靈活多變的解題方法.不少試題扎根于基礎(chǔ)，然而，解題思路、方法等具備創(chuàng)新性.

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

【解析】若y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

則g(2-x)=g(2+x)，因?yàn)閒(x)+g(2-x)=5，

所以f(-x)+g(2+x)=5，故f(-x)=f(x)，

所以f(x)為偶函數(shù).

由g(2)=4，f(0)+g(2)=5，得f(0)=1.

由g(x)-f(x-4)=7，得g(2-x)=f(-x-2)+7，

代入f(x)+g(2-x)=5，得f(x)+f(-x-2)=-2，

f(x)關(guān)于點(diǎn)(-1,-1)中心對(duì)稱，

所以f(1)=f(-1)=-1.

由f(x)+f(-x-2)=-2，f(-x)=f(x)，

得f(x)+f(x+2)=-2，

所以f(x+2)+f(x+4)=-2，

故f(x+4)=f(x)，所以f(x)的周期為4.

由f(0)+f(2)=-2，得f(2)=-3，

又f(3)=f(-1)=f(1)=-1，

2.教學(xué)啟示

2022年全國(guó)乙卷理科命題歸納起來有“二十八字秘訣”：夯實(shí)基礎(chǔ)考內(nèi)功、關(guān)注思想強(qiáng)應(yīng)用、提升能力重通法、升華素養(yǎng)追本真.

2.1 注重回歸教材，有效訓(xùn)練深度思維

在復(fù)習(xí)備考時(shí)，以教材為本，對(duì)教材上的例題、知識(shí)點(diǎn)加以概括、提高和延伸，做到舉一反三，達(dá)到觸類旁通的效果.只有充分挖掘教材例、習(xí)題的功能，才能深刻理解教學(xué)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，挖掘教學(xué)內(nèi)容內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)質(zhì)的突破.每年的高考數(shù)學(xué)試卷中,都有部分試題源于教材，高于教材.

2.2 關(guān)注數(shù)學(xué)實(shí)用性，大力培養(yǎng)關(guān)鍵能力

全國(guó)乙卷理科對(duì)考生的計(jì)算與邏輯思維能力的要求有所提高，特別是客觀題，常是兩或三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合交匯，每一步計(jì)算均需細(xì)心，要加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算求解能力，多角度去培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力.同時(shí)關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用，關(guān)注身邊科技發(fā)展中的大事、有意義的事、老百姓重視的事、社會(huì)反響大的事、能向社會(huì)傳遞正能量的事，關(guān)注數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化，這些事情和歷史文化都有可能與數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法結(jié)合起來命題.

2.3 強(qiáng)化主干知識(shí)，體現(xiàn)“雙減”落地

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中要針對(duì)主干知識(shí)、重點(diǎn)方法和主要數(shù)學(xué)思想進(jìn)行突破，少做偏題與怪題.分析近五年的全國(guó)卷，概率與統(tǒng)計(jì)、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及不等式，依然是解答題考查的重點(diǎn)；解三角形和數(shù)列，輪換在解答題中出現(xiàn).特別注意，全國(guó)卷對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的考查力度較大，全面考查概率與統(tǒng)計(jì)的基本思想和方法以及學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)了以核心知識(shí)為重點(diǎn)、以基本問題為載體、以現(xiàn)實(shí)生活為背景的交匯命題特點(diǎn)，平時(shí)教學(xué)中，要精心選擇優(yōu)質(zhì)試題，深度挖掘試題的價(jià)值和功能，在試題變式、問法和拓展上下功夫，將學(xué)生“下題?！鞭D(zhuǎn)變?yōu)榻處煛跋骂}?！?，優(yōu)中選寶，題目針對(duì)性要強(qiáng).

2.4 培養(yǎng)良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成數(shù)學(xué)意識(shí)和核心素養(yǎng)