孟麗巖， 李 勐， 陳鵬帆

(黑龍江科技大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 哈爾濱 150022)

0 引 言

混合試驗(yàn)是一種結(jié)合物理子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)加載和數(shù)值模擬技術(shù)的試驗(yàn)手段，可以有效評價結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)，在土木工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。Hakuno[1]最早提出混合試驗(yàn)的概念，將結(jié)構(gòu)中重要的部分作為物理子結(jié)構(gòu)進(jìn)行試驗(yàn)加載，數(shù)值子結(jié)構(gòu)假定有可靠的模型在計(jì)算機(jī)中模擬。近年來，混合試驗(yàn)已在數(shù)值積分算法、時滯補(bǔ)償及模型更新等關(guān)鍵方面取得了很大進(jìn)展[2-5]。

混合試驗(yàn)的數(shù)值部分建模是否準(zhǔn)確，將影響混合試驗(yàn)精度，模型更新是解決這一問題的有效手段。Yang[6]首次將模型更新方法應(yīng)用到混合試驗(yàn)中，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對數(shù)值子結(jié)構(gòu)的參數(shù)進(jìn)行識別，利用事先訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測數(shù)值子結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力，降低數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型誤差對試驗(yàn)結(jié)果的影響。王濤[7]提出UKF模型更新混合試驗(yàn)方法，通過試驗(yàn)驗(yàn)證該方法較傳統(tǒng)混合試驗(yàn)方法更具有魯棒性。梅竹[8-9]提出一種在不同邊界條件下的模型更新混合試驗(yàn)方法，對鋼筋混凝土懸臂柱進(jìn)行數(shù)值仿真，得出UKF能夠在線識別材料本構(gòu)模型參數(shù)，同時更新應(yīng)用相同材料的結(jié)構(gòu)的本構(gòu)模型參數(shù)。陳再現(xiàn)[10]提出基于均勻設(shè)計(jì)的模型更新混合模擬方法，在試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過均勻設(shè)計(jì)方法構(gòu)造驗(yàn)算子結(jié)構(gòu)樣本空間，得到最符合試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的數(shù)值模型用于模型參數(shù)更新，有效提升了識別效率。

鑒于此，筆者提出基于UKF的磁流變阻尼器在線模型更新數(shù)值仿真方法，以磁流變阻尼器的Bouc-Wen模型為研究對象，研究Bouc-Wen模型參數(shù)對滯回曲線的影響，給出Bouc-Wen模型參數(shù)的合理取值建議，數(shù)值仿真磁流變阻尼器在線模型更新，識別模型參數(shù)，通過與傳統(tǒng)混合試驗(yàn)對比，驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 磁流變阻尼器的Bouc-Wen模型

1.1 Bouc-Wen模型

1976年，Wen[11]提出磁流變阻尼器的Bouc-Wen模型。該模型的結(jié)構(gòu)原理如圖1所示。

由圖1可見，Bouc-Wen模型的表達(dá)式為

(1)

式中：z——滯回位移，m；

x——位移，m；

x0——初始位移，m；

F——恢復(fù)力，kN；

c0——阻尼系數(shù)，kN·s/m；

k0——剛度，kN/m；

A、β、γ、α、n——滯回環(huán)形狀的參數(shù)。

1.2 Bouc-Wen模型參數(shù)對滯回曲線的影響

Bouc-Wen模型能較為準(zhǔn)確反映磁流變阻尼器的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，具有較高的精度，簡單方便，易于程序化。為保證在后續(xù)模型參數(shù)識別過程中，參數(shù)調(diào)節(jié)的有效性，分析磁流變阻尼器的Bouc-Wen模型參數(shù)對滯回曲線的影響。n、β和γ的邊界可以通過Ismail[12]的熱力學(xué)分析獲得。其中，n、β大于0且-γ≤β≤γ，另外，k0>0，α>0。

1.2.1 黏滯阻尼系數(shù)

參數(shù)c0代表黏滯阻尼系數(shù)，通常與速度的大小有關(guān)，反映了力-速度曲線的平均斜率，黏滯阻尼系數(shù)c0的具體表達(dá)式為

所有參數(shù)取值如表1所示。令c0取三組不同的值，分別為40、100、10 kN·s/m。觀察c0對磁流變阻尼器的滯回曲線的影響，如圖2所示。

表1 模型參數(shù)取值

由圖2可知，c0對滯回曲線的影響很小。滯回曲線的形狀主要與速度有關(guān)，在一定范圍內(nèi)幾乎不改變位移-恢復(fù)力滯回曲線形狀。

1.2.2 剛度

參數(shù)k0代表模型剛度，通常與位移大小相關(guān)，反映了力-位移曲線的平均斜率，剛度k0的具體表達(dá)式為

令k0取三組不同的值，分別為30、50、100 kN/m。其余參數(shù)如表1所示。觀察k0對磁流變阻尼器的滯回曲線的影響，如圖3所示。

由圖3可以看出，k0主要影響著滯回曲線的恢復(fù)力位移曲線斜率，對整個滯回曲線的形狀幾乎無影響。

1.2.3 屈服剛度差值

參數(shù)α代表前屈服剛度與后屈服剛度的差值k1-k2，主要反映了力-速度曲線由線性到非線性的變化率的大小。參數(shù)α通常與滯回變量z有關(guān)，而z在磁流變阻尼器的Bouc-Wen模型中屬于中間變量，影響因素眾多，因此，確定α的取值比較困難，一般根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，由位移的大小確定α的取值，屈服剛度差值 的具體表達(dá)式為

α≤1.5(xmax-xmin)。

令α取三組不同的值，分別為900、100、500 kN/m。其余參數(shù)如表1所示。觀察α對磁流變阻尼器的滯回曲線的影響，如圖4所示。

由圖4可知，α取值的不同明顯改變了磁流變阻尼器滯回曲線的形狀。由于參數(shù)α與滯回變量z相關(guān)，因此，對恢復(fù)力的影響較為顯著。

1.2.4 尖銳系數(shù)

尖銳系數(shù)n控制著滯回環(huán)的尖銳程度。令n取三組不同的值，分別為2、1、3。觀察n對磁流變阻尼器的滯回曲線的影響，如圖5所示。

由圖5可以看出，n值改變了滯回曲線的形狀且主要影響的是滯回曲線的尖銳程度。

1.2.5 冗余參數(shù)

參數(shù)A、β、γ為控制滯回環(huán)大小和形狀的參數(shù)，但是它們?yōu)槿哂鄥?shù)，沒有明確的物理意義，作用是能夠更好地控制各種不同激勵下滯回曲線的形狀。也就是同樣的滯回環(huán)可以用不同的A、β、γ參數(shù)組合。因此，通常設(shè)A為110來確保其唯一性，其余參數(shù)如表1所示。由圖6可以看出，除了β和γ，當(dāng)所有的參數(shù)都相同時，Bouc-Wen模型的滯回曲線非常接近。

1.3 Bouc-Wen模型參數(shù)敏感性

為研究磁流變阻尼器Bouc-Wen模型參數(shù)的敏感度，采用OAAT法分別對試驗(yàn)1、2進(jìn)行參數(shù)敏感性分析。模型輸入為EI Centro地震波，地震加速度峰值為12.5 gal，磁流變阻尼器Bouc-Wen模型的各參數(shù)基值選擇如下：

試驗(yàn)1α=880 kN/m，c0=50 kN·s/m，k0=25 kN/m，γ=100，β=100，n=2,A=207,x0=3.8 mm。

試驗(yàn)2α=900 kN/m，c0=40 kN·s/m，k0=30 kN/m，γ=110，β=90，n=2,A=110,x0=4 mm。

具體結(jié)果見圖7和表2。由圖7及表2可知，8個參數(shù)中α、A和n是最為敏感的，其他參數(shù)較為不敏感，并且不同的參數(shù)基點(diǎn)值的選取對于參數(shù)的敏感度有些微差別。這說明不同規(guī)格的磁流變阻尼器，不同的滯回系統(tǒng)，其模型的參數(shù)敏感性各有不同。在模型參數(shù)識別的調(diào)參過程中，所有的參數(shù)均是互相影響的，調(diào)節(jié)一個參數(shù)必然會對其余參數(shù)的識別算法的調(diào)節(jié)造成影響，這是一個繁復(fù)的過程。但是對于敏感性高的參數(shù)調(diào)參的幅度可適當(dāng)減小，而敏感性低的參數(shù)調(diào)參幅度適當(dāng)增加，這將大大增加識別算法參數(shù)的調(diào)參效率。

表2 敏感性分析結(jié)果

2 在線模型更新試驗(yàn)數(shù)值仿真

2.1 參數(shù)設(shè)置

在傳統(tǒng)混合試驗(yàn)中，數(shù)值子結(jié)構(gòu)的模型是事先假定的，不能保證其準(zhǔn)確性。采用在線模型更新的方法能夠在實(shí)時混合試驗(yàn)進(jìn)程中不斷改善數(shù)值子結(jié)構(gòu)的模型，通過試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)反應(yīng)，使用參數(shù)識別算法識別出模型參數(shù)，然后將這些識別后的參數(shù)代替原有的數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型參數(shù)，從而更新數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型?；诖?，將進(jìn)行基于UKF的磁流變阻尼器在線模型更新混合試驗(yàn)數(shù)值仿真。為研究磁流變阻尼器的力學(xué)特性，考慮一個兩層裝有磁流變阻尼器的框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行基于UKF的在線模型更新混合試驗(yàn)數(shù)值仿真，其中,第一層為試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)，第二層為數(shù)值子結(jié)構(gòu)，如圖8所示。

(2)

x3,k+1(uk+1-x4,k+1)+x5,k+1x1,k+1+wk+1。

(3)

初始協(xié)方差矩陣以及噪聲矩陣的

P0=[10-410-310-410-410-410-410-510-4

10-510-2]×I10,

(4)

式中,I10——10×10的單位對角陣。

Q0=[10-80 0 0 0 0 0 0 0 10-8]T,

(5)

R=10-3×I10。

(6)

在試驗(yàn)過程中，每個積分步長內(nèi)都需要實(shí)現(xiàn)兩個模型的更新：一是在參數(shù)識別算法中完成模型更新，這是采用在線遞推識別算法決定的；二是同時實(shí)時更新數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型，這也是模型更新混合試驗(yàn)中模型更新與傳統(tǒng)模型更新的主要差別。

文中通過三種試驗(yàn)以驗(yàn)證基于UKF磁流變阻尼器的模型試驗(yàn)方法的有效性。假定數(shù)值子結(jié)構(gòu)和試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型一樣，均選定為磁流變阻尼器的Bouc-Wen模型。三種類型的混合試驗(yàn)數(shù)值仿真中，試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)模型采用模型參數(shù)的真實(shí)值，以代表真實(shí)的物理試驗(yàn)。數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的取值各不相同。

(1)真實(shí)混合試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)采用真實(shí)值，其數(shù)值模擬結(jié)果代表真實(shí)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果，在結(jié)果分析的圖中用“Exat”表示。

(2)傳統(tǒng)混合試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)采用初始估計(jì)值。其數(shù)值模擬結(jié)果代表傳統(tǒng)混合試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果，在結(jié)果分析的圖中用“Conventional”表示。

(3)基于UKF的磁流變阻尼器在線模型更新數(shù)值模擬。模型參數(shù)將由UKF算法識別并在每個時間步中更新。其數(shù)值模擬結(jié)果代表文中提出的試驗(yàn)方法試驗(yàn)結(jié)果，在結(jié)果分析的圖中用“UKF”表示。

2.2 結(jié)果分析

試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)和數(shù)值子結(jié)構(gòu)的位移時程反應(yīng)如圖9所示，由圖9可見，傳統(tǒng)混合試驗(yàn)在第5 s時開始出現(xiàn)偏移，與真實(shí)值有所出入，且隨著時間的增加并沒有減弱的趨勢。而采用基于UKF的在線實(shí)時更新混合試驗(yàn)數(shù)值仿真與真實(shí)混合試驗(yàn)的位移反應(yīng)能夠較好的吻合。

試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)與數(shù)值子結(jié)構(gòu)的位移時程誤差分析如表3所示。表中，x1max代表試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的位移最大值，x1min代表試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的位移最小值。x2max代表數(shù)值子結(jié)構(gòu)的位移最大值，x2min代表數(shù)值子結(jié)構(gòu)的位移最小值。從表3可以看出，傳統(tǒng)混合試驗(yàn)不論是試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)還是數(shù)值子結(jié)構(gòu)，最大值還是最小值的相對誤差都遠(yuǎn)遠(yuǎn)的超過了基于UKF的磁流變阻尼器的模型更新混合試驗(yàn)的誤差值?；赨KF的磁流變阻尼器的模型更新混合試驗(yàn)的相對誤差很小，基本都在1%以內(nèi)，較傳統(tǒng)混合試驗(yàn)相對誤差減小了97%以上。

表3 位移時程曲線誤差

試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)、數(shù)值子結(jié)構(gòu)的滯回曲線如圖10所示?？梢杂^察到采用傳統(tǒng)混合試驗(yàn)與真實(shí)混合試驗(yàn)的反應(yīng)存在較大偏差，而采用基于UKF的在線實(shí)時更新混合試驗(yàn)與真實(shí)混合試驗(yàn)的位移反應(yīng)能夠吻合較好。這說明采用基于UKF的在線實(shí)時更新混合試驗(yàn)，通過試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)的反饋實(shí)時更新數(shù)值子結(jié)構(gòu)的模型是十分有效的試驗(yàn)方法，對磁流變阻尼器的吻合非常好，誤差明顯減小，提高了混合試驗(yàn)精度。

磁流變阻尼器的恢復(fù)力模型參數(shù)的識別時程曲線如圖11和12所示。采用基于UKF的在線實(shí)時更新混合試驗(yàn)?zāi)軌蛟谳^短的時間內(nèi)準(zhǔn)確地識別出模型參數(shù)，也很快趨近于真實(shí)值。為了定量的觀察識別的效果，表4給出了模型參數(shù)識別的誤差分析。從表4可以看到，識別值與真實(shí)值的誤差很小，進(jìn)一步驗(yàn)證了文中提出的基于UKF的磁流變阻尼器在線模型更新混合試驗(yàn)的有效性。

式中：Ri——第i步的恢復(fù)力真實(shí)值；

Ri′——第i步采取的試驗(yàn)計(jì)算得到的恢復(fù)力；

M——迭代總步數(shù)。

傳統(tǒng)混合試驗(yàn)的恢復(fù)力均方根誤差RMSE為4.60×10-4，基于UKF方法得到的恢復(fù)力均方根誤差RMSE為5.69×10-4?？梢远苛私獾?，基于UKF的磁流變阻尼器在線模型更新混合試驗(yàn)數(shù)值仿真相較于傳統(tǒng)混合試驗(yàn)較大提高了試驗(yàn)的精度。

表4 參數(shù)識別曲線誤差分析

磁流變阻尼器除了模型非線性的問題還需要面對實(shí)時加載的問題。由于磁流變阻尼器具有兩個特性，一是模型非線性;二是加載實(shí)時性。對UKF的識別計(jì)算效率進(jìn)行分析，如圖13所示。識別時每步的用時基本在0.001 5 s左右，而地震記錄每步的時間間隔也就是積分步長為0.01 s。文中采用的基于UKF的模型更新混合試驗(yàn)方法能夠滿足對磁流變阻尼器實(shí)時加載的要求。

基于UKF的磁流變阻尼器模型更新混合試驗(yàn)仿真耗時24.15 s，計(jì)算時間較短，可以用于快速在線實(shí)時更新混合試驗(yàn)。從圖11～13可以看出，采用基于UKF的模型更新在線數(shù)值模擬方法得到的結(jié)果與結(jié)構(gòu)真實(shí)反應(yīng)基本吻合，較傳統(tǒng)混合試驗(yàn)?zāi)軌蚋蟪潭鹊姆磻?yīng)出真實(shí)的結(jié)構(gòu)反應(yīng)。

3 結(jié) 論

(1)分析了磁流變阻尼器的Bouc-Wen模型參數(shù)的物理意義及其對滯回曲線的影響規(guī)律，可以得到8個參數(shù)中，α、A和n是最為敏感的，而其他參數(shù)較為不敏感，并且不同的參數(shù)基點(diǎn)值的選取對于參數(shù)的敏感度有些微差別，通過參數(shù)對滯回曲線的影響規(guī)律給出了算法初始參數(shù)預(yù)估值的合理取值建議。

(2)結(jié)果表明，相比傳統(tǒng)混合試驗(yàn)方法，基于UKF的磁流變阻尼器模型更新混合試驗(yàn)數(shù)值仿真模型參數(shù)識別值及滯回曲線與真實(shí)值吻合程度較高，模型參數(shù)k0、β、A、x0、γ、n、α和c0相對誤差分別為1.48%、0.14%、0.13%、0.26%、1.75%、0.5%、0.03%和0.04%，位移時程曲線均方根誤差降低了11.55%，有效提高了模型更新混合試驗(yàn)數(shù)值仿真精度。證明該方法具有較好的精度和收斂速度且耗時較短，較傳統(tǒng)混合試驗(yàn)有較大的改善。