占金青,秦洋洋,劉敏

(華東交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院,南昌 330013)

柔順機(jī)構(gòu)是利用其柔性部件或機(jī)構(gòu)整體的彈性變形將力、運(yùn)動和能量從輸入端傳遞到輸出端的一種機(jī)構(gòu)[1-3]。與傳統(tǒng)的剛性機(jī)構(gòu)比較,柔順機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、無摩擦、重量輕、易加工、精度高等優(yōu)點(diǎn)。因此,柔順機(jī)構(gòu)在航空航天、微機(jī)電系統(tǒng)、醫(yī)療器械、精密定位操作等領(lǐng)域中具有廣闊的應(yīng)用前景[4-6]。

目前,柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究大多采用單一材料設(shè)計(jì)[7-10],然而單一材料柔順機(jī)構(gòu)表現(xiàn)出變形與承載的局限性。與各向同性材料相比,復(fù)合材料具有獨(dú)特的各向異性特性,這為柔順機(jī)構(gòu)克服以上不足提供一種有效途徑[11]。梁森等[12]在給定層合纖維方向下,采用水平集方法進(jìn)行復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)。Li等[13]基于經(jīng)典層合板理論推導(dǎo)平面應(yīng)力問題的層合板本構(gòu)關(guān)系,建立各向異性材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型,進(jìn)行單輸入多輸出柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)。Tong等[14]考慮給定層合纖維方向的前提下,進(jìn)行常剛度層合板的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),分析不同層合板每層的固定纖維方向?qū)ν負(fù)錁?gòu)型、變形能力和應(yīng)力的影響。Tong等[15]提出以層合參數(shù)和單元相對密度為設(shè)計(jì)變量的常剛度層合板纖維方向與拓?fù)渎?lián)合優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,實(shí)現(xiàn)了機(jī)構(gòu)構(gòu)型和層合纖維方向的聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì),但是每層所有的設(shè)計(jì)單元的纖維角度都是一樣的,沒有進(jìn)行單層的纖維角度優(yōu)化。在此基礎(chǔ)上,將該方法進(jìn)行柔性機(jī)翼前后緣層合板纖維方向與構(gòu)型設(shè)計(jì)[16]。綜上所述,現(xiàn)有的各向異性材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究主要考慮固定纖維角度的情況,沒有進(jìn)行設(shè)計(jì)單元的纖維角度優(yōu)化。

本文提出一種考慮纖維角度變化的各向異性材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法。采用改進(jìn)的固體各向異性材料懲罰模型引入變化的設(shè)計(jì)單元纖維角度,以柔順機(jī)構(gòu)的互應(yīng)變能最大化為目標(biāo)函數(shù),以材料體積為約束,建立考慮纖維角度變化的各向異性材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型,采用移動漸近算法求解各向異性材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題。

1 各向異性柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

1.1 正交各向異性材料的彈性特征

由正交各向異性理論,在纖維主方向坐標(biāo)系中,二維正交各向異性材料彈性矩陣C可表示為[17]

(1)

式中:G12為材料的剪切模量;E1、E2、μ12、μ21分別代表單層材料的縱向模量、橫向模量、縱向泊松比和橫向泊松比,4個材料參數(shù)存在以下關(guān)系

(2)

當(dāng)纖維主方向局部坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系存在相對轉(zhuǎn)動θ,局部坐標(biāo)下的應(yīng)力σ和全局坐標(biāo)下的應(yīng)力σ′之間關(guān)系可表示為

(3)

式中:σx和σy分別為局部坐標(biāo)系下的x和y方向的應(yīng)力;τxy為局部坐標(biāo)系下的剪切應(yīng)力;σ′x和σ′y分別為全局坐標(biāo)系下的x′和y′方向的應(yīng)力;τ′xy為全局坐標(biāo)系下的剪切應(yīng)力。

式(3)可改寫為

σ=T·σ′

(4)

式中T為轉(zhuǎn)換矩陣。

局部坐標(biāo)下的應(yīng)變ε和全局坐標(biāo)下的應(yīng)變ε′之間關(guān)系可表示為

(5)

式中:εx、εy和εxy為局部坐標(biāo)下的應(yīng)變;ε′x、ε′y和ε′xy為全局坐標(biāo)系下的應(yīng)變。

其中

(6)

式(5)進(jìn)一步可改寫為

ε=RTR-1ε′

(7)

在平面應(yīng)力狀態(tài)下,正交各向異性材料的本構(gòu)方程為

σ=Cε

(8)

由式(4)和式(7)代入式(8),可求得全局坐標(biāo)下的彈性矩陣C′為

C′=T-1CT-T

(9)

1.2 改進(jìn)的SOMP插值模型

傳統(tǒng)的SOMP插值模型[11]僅將固體各向同性材料插值方法拓展到各向異性材料,分別對材料的3個彈性模量進(jìn)行插值,并未考慮設(shè)計(jì)單元纖維角度變化的情況。本文考慮纖維角度變化的各向異性材料,采用改進(jìn)的SOMP插值模型[18]對各向異性材料主方向的彈性模量進(jìn)行懲罰

(10)

1.3 柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

為滿足機(jī)構(gòu)運(yùn)動要求,以柔順機(jī)構(gòu)的互應(yīng)變能最大化為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),互應(yīng)變能越大,表示柔順機(jī)構(gòu)的變形能力越大,并且以機(jī)構(gòu)的體積為約束,采用改進(jìn)的SOMP材料插值模型建立考慮纖維角度變化的各向異性材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型為

(11)

2 靈敏度分析及過濾技術(shù)

2.1 靈敏度分析

移動漸近算法[19](Method of moving asymptotes, MMA)具有很好的穩(wěn)定性和魯棒性,本文采用MMA算法進(jìn)行更新設(shè)計(jì)變量。

由式(11),柔順機(jī)構(gòu)的互應(yīng)變能對單元密度變量的靈敏度可求得為

(12)

(13)

同理,柔順機(jī)構(gòu)的互應(yīng)變能對單元纖維角度變量的靈敏度可求得為

(14)

其中

ke(θe)=?BTT(θe)-1CT(θe)-TBtdxdy

(15)

充滿材料的單元剛度矩陣ke對單元纖維角度變量求導(dǎo),可得

(16)

式中t為設(shè)計(jì)域厚度。

由式(11),體積約束對單元密度變量的靈敏度求得為

(17)

式中ν0為充滿材料單元的體積。

單元纖維角度變化不會引起材料體積改變,因此體積約束對單元纖維角度變量的靈敏度為

(18)

2.2 過濾技術(shù)

為了避免柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果出現(xiàn)棋盤格和網(wǎng)格依賴等數(shù)值不穩(wěn)定性問題,采用密度過濾方法[20]修正單元密度變量,其可表示為

(19)

wej=max(0,rmin-de,j)

(20)

式中de,j為單元e和單元j質(zhì)心之間的距離。

3 數(shù)值算例

選取夾持器和咬合機(jī)構(gòu)兩個數(shù)值算例來驗(yàn)證所提出方法的有效性。材料選取為玻璃纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂,其參數(shù)為E1=39 GPa,E2=8.4 GPa,G12=4.2 GPa,μ12=0.26,單元密度變量的初始值設(shè)置為0.4,過濾半徑rmin設(shè)置為1.5;考慮纖維角度優(yōu)化時,單元纖維角度變量的初始值設(shè)置為0。

3.1 夾持器

圖1所示為夾持器的設(shè)計(jì)域、作用載荷、輸出作用及邊界條件。夾持器的設(shè)計(jì)尺寸L×L為8 mm×8 mm,厚度t=0.1 mm,設(shè)計(jì)域左邊的上下兩端固定,作用載荷F=0.4 N,施加在左端中點(diǎn)處。輸入、輸出端的彈簧系數(shù)均為3.5×104N/m,允許的材料體積比為0.25。由于設(shè)計(jì)域具有對稱性,故選取夾持器設(shè)計(jì)域的上半部分進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)域離散為80×40個平面四節(jié)點(diǎn)單元。

圖1 夾持器設(shè)計(jì)域

為了驗(yàn)證所提出方法的有效性,設(shè)計(jì)參數(shù)均相同條件下將考慮纖維角度變化拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果與固定纖維角度拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較。首先,考慮纖維角度變化的各向異性材料夾持器拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖2所示。

圖2 考慮纖維角度變化的各向異性材料夾持器拓?fù)鋬?yōu)化

由圖2a)可知,考慮纖維角度變化拓?fù)鋬?yōu)化獲得夾持器構(gòu)型中纖維角度會進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整,以使得機(jī)構(gòu)的互應(yīng)變能達(dá)到最大;優(yōu)化目標(biāo)互應(yīng)變能的迭代過程中,僅當(dāng)?shù)?50步,迭代趨于平穩(wěn)后逐漸收斂,如圖2b)所示。

考慮固定纖維角度分別0、45°和90°進(jìn)行各向異性材料夾持器拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),獲得的夾持器構(gòu)型和優(yōu)化目標(biāo)互應(yīng)變能迭代圖分別為如圖3、圖4和圖5所示。3種固定纖維角度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)獲得的夾持器構(gòu)型有很大的不同;其中纖維角度固定為45°獲得的夾持器的互應(yīng)變能(2.153×10-6Nm)最大,如表1所示。

圖3 纖維角度為0的各向異性材料夾持器拓?fù)鋬?yōu)化

圖4 纖維角度為45°的各向異性材料夾持器拓?fù)鋬?yōu)化

圖5 纖維角度為90°的各向異性材料夾持器拓?fù)鋬?yōu)化

表1 不同纖維角度條件獲得的夾持器的互應(yīng)變能 Nm

與纖維角度固定拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比,考慮纖維角度變化拓?fù)鋬?yōu)化獲得的夾持器構(gòu)型有所不同,并且夾持器的互應(yīng)變能(3.131×10-6Nm)也更大,為纖維角度固定為45°獲得的夾持器互應(yīng)變能的1.45倍,考慮纖維角度變化進(jìn)行夾持器拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)能夠有效地提高夾持器的變形性能,這表明提出的設(shè)計(jì)方法是有效的。

3.2 咬合機(jī)構(gòu)

圖6所示為咬合機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)域、作用載荷、輸出作用及邊界條件。柔順咬合機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)尺寸為8 mm×8 mm,厚度t=0.1 mm,設(shè)計(jì)域左邊的上下兩端固定,作用載荷F的大小為0.18 N,施加在右邊上、下兩端處。輸入、輸出端的彈簧系數(shù)均為3.0×104N/m,允許的材料體積比為0.25,由于設(shè)計(jì)域具有對稱性,故選取咬合機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域的上半部分進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)域離散為80×40個平面四節(jié)點(diǎn)單元。

圖6 咬合機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)域

考慮纖維角度變化的各向異性材料咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖7所示。同樣,考慮纖維角度變化拓?fù)鋬?yōu)化獲得咬合機(jī)構(gòu)構(gòu)型中纖維角度會進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整,以使得機(jī)構(gòu)的互應(yīng)變能達(dá)到最大;優(yōu)化目標(biāo)互應(yīng)變能的迭代過程中,當(dāng)?shù)?5步,迭代趨于平穩(wěn)后逐漸收斂,如圖7b)所示。

圖7 考慮纖維角度變化的各向異性材料咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

考慮纖維角度固定分別0,45°和90°進(jìn)行各向異性材料咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì),獲得的咬合機(jī)構(gòu)構(gòu)型和優(yōu)化目標(biāo)互應(yīng)變能迭代圖分別為如圖8、圖9和圖10所示。3種固定纖維角度拓?fù)鋬?yōu)化獲得的咬合機(jī)構(gòu)構(gòu)型有很大的不同,其中固定纖維角度為0獲得的咬合機(jī)構(gòu)的互應(yīng)變能(2.000×10-6Nm)最大,如表2所示。

表2 不同纖維角度條件獲得的咬合機(jī)構(gòu)的互應(yīng)變能 Nm

圖8 纖維角度為0°的各向異性材料咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化 圖9 纖維角度為45°的各向異性材料咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

圖10 纖維角度為90°的各向異性材料咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

與纖維角度固定拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比,考慮纖維角度變化拓?fù)鋬?yōu)化獲得的咬合機(jī)構(gòu)構(gòu)型有所不同,并且咬合機(jī)構(gòu)的互應(yīng)變能(2.354×10-6Nm)也更大,為纖維角度固定為0獲得的咬合機(jī)構(gòu)互應(yīng)變能的1.18倍,考慮纖維角度變化進(jìn)行咬合機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)能夠有效提高咬合機(jī)構(gòu)的變形性能;同樣,這表明提出的設(shè)計(jì)方法是有效的。

4 結(jié)論

本文提出了一種考慮纖維角度變化的各向異性材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,采用改進(jìn)的固體各向異性材料懲罰模型引入變化的設(shè)計(jì)單元纖維角度,構(gòu)建考慮纖維角度變化的各向異性材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型,采用移動漸近算法(MMA)更新設(shè)計(jì)變量,通過數(shù)值算例驗(yàn)證提出設(shè)計(jì)方法的有效性?？梢缘贸鲆韵陆Y(jié)論:

1) 考慮纖維角度變化拓?fù)鋬?yōu)化獲得的柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型中纖維角度會進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整,以使得機(jī)構(gòu)的互應(yīng)變能達(dá)到最大。

2) 與固定纖維角度拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比,考慮纖維角度變化拓?fù)鋬?yōu)化獲得的柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型有所不同,并且機(jī)構(gòu)的互應(yīng)變能有較大提高,其中,夾持器的互應(yīng)變能提高了45%,咬合機(jī)構(gòu)的互應(yīng)變能提高了18%。

3) 考慮纖維角度變化拓?fù)鋬?yōu)化獲得的柔順機(jī)構(gòu)的變形性能有顯著提高,但是沒有考慮到強(qiáng)度失效問題,如何將本文方法擴(kuò)展到各向異性材料柔順機(jī)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)問題,將是今后的研究工作重點(diǎn)。