鄭明亮

(無(wú)錫太湖學(xué)院 機(jī)電學(xué)院，無(wú)錫 214064)

1 引 言

碟式離心機(jī)作為一種常見分離設(shè)備，由于其分離性能好、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和操作方便等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)在化工、冶金、石油和食品等諸多工業(yè)領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用[1]。碟式離心機(jī)內(nèi)的薄層流動(dòng)結(jié)構(gòu)不僅與顆粒分離軌跡和分離效率等密切相關(guān)，而且直接影響到該單元操作的能量耗損和結(jié)構(gòu)優(yōu)化[2]。這其中碟片間薄層流動(dòng)邊界層的存在，會(huì)產(chǎn)生摩擦阻力，對(duì)流體分離與漩渦產(chǎn)生重要影響，因此，研究邊界層的流場(chǎng)分布特性，對(duì)碟式離心機(jī)的碟片結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)有重要意義。

長(zhǎng)期以來(lái)，碟式離心機(jī)薄層流動(dòng)邊界層流場(chǎng)的特性與控制是分離過(guò)程科學(xué)中的基礎(chǔ)問(wèn)題，主要分為理論數(shù)理模型和實(shí)驗(yàn)黑箱模型。一般實(shí)驗(yàn)方法費(fèi)用高，周期長(zhǎng)；而理論數(shù)理模型能有效逼近真實(shí)現(xiàn)象，具有預(yù)測(cè)效果，故得到科研工作者廣泛采用。從數(shù)學(xué)上看，多相流流動(dòng)模型都是通過(guò)非線性流體力學(xué)方程組來(lái)表達(dá)的，所以計(jì)算流體邊界層方程的顯式近似解或精確解析解是流體流動(dòng)分析和分離控制的首要任務(wù)。同時(shí)，一般化的N-S方程組的精確解析解是世界級(jí)科學(xué)難題，若能夠首先對(duì)一些簡(jiǎn)化的N-S方程組如層流邊界層方程給出有用的解析計(jì)算結(jié)果，將會(huì)大大促進(jìn)流體動(dòng)力學(xué)基本理論的發(fā)展。目前，國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者在碟式離心機(jī)薄層流動(dòng)分布特征數(shù)值計(jì)算方面(計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)軟件Fluent仿真和差分格式算法模擬等)集中做了大量工作[3-10]。然而現(xiàn)有計(jì)算方法都忽略從方程本身特點(diǎn)出發(fā)，缺乏廣泛的解析理論推導(dǎo)，從而造成結(jié)果有一定誤差，也無(wú)法進(jìn)行流場(chǎng)分布的連續(xù)性定量顯示和靈敏度分析。微分方程的李群分析方法[11,12]源于學(xué)者索菲思·李，主要是利用微分方程在群變換下的不變性特性，給出方程的分類、約化、守恒律、降階甚至積分型解等。該方法對(duì)于求解各類常微分方程組和偏微分方程組都是統(tǒng)一適用的，且無(wú)論方程是線性或非線性、常系數(shù)或變系數(shù)，其算法的主要步驟都是固定一樣的，因此其極易大規(guī)模編程化。可以說(shuō)，李群分析方法是現(xiàn)今研究微分方程解析解最有效方法之一。然而，國(guó)內(nèi)外還未有關(guān)于利用李群分析方法解析計(jì)算碟式離心機(jī)邊界層流場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的研究成果，本文針對(duì)碟式離心機(jī)碟片間隙層流邊界層，建立斜板式二維邊界層方程，通過(guò)李群變換和Lie對(duì)稱性分析，得到系統(tǒng)偏微分方程的多組生成元和不變解，并對(duì)解的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了探討，成功給出邊界層速度和厚度的解析表達(dá)式和影響因素分析，理論計(jì)算完全符合流場(chǎng)實(shí)際分布特征。

2 碟式離心機(jī)層流邊界層方程

碟式離心機(jī)的結(jié)構(gòu)[13]如圖1所示，混合液經(jīng)加速后由進(jìn)液道流入轉(zhuǎn)鼓，由碟片中性孔流入碟片間隙，高速旋轉(zhuǎn)的分離腔帶動(dòng)物料做高速離心旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。碟式離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓內(nèi)是一個(gè)復(fù)雜流動(dòng)，其流場(chǎng)主要包括速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)，流體流速是反映轉(zhuǎn)鼓流場(chǎng)的主要特征。

圖1 碟式離心機(jī)結(jié)構(gòu)

當(dāng)流體的流動(dòng)路程較短時(shí)，碟片空間的流體不一定能保持層流狀態(tài)，如圖2所示，邊界層由二層組成，緊靠壁面很薄的流體層幾乎以層流狀態(tài)流動(dòng)，故稱為層流邊界層(層流薄膜)，在層流層上面的液流稱為湍流邊界層。層流邊界層對(duì)于已沉降在碟片下表面上的顆粒具有重要影響。

圖2 碟片空間邊界層

本文討論的碟片空間與平行板流動(dòng)僅相差一斜置傾角θ，其中細(xì)小顆粒的重力場(chǎng)相對(duì)旋轉(zhuǎn)形成的離心場(chǎng)，量級(jí)較小，為了簡(jiǎn)化平面流動(dòng)的N-S方程，本文忽略重力和科氏力項(xiàng)。按照平板邊界層理論[14]，二維定常不可壓縮層流邊界層方程組的形式為

?P/?y=0 位勢(shì)流動(dòng)勻速

?u/?x+?v/?y=0 連續(xù)性

(1)

式中f1=Rω2sinθ為流體的離心慣性力沿程分量，ω為離心主軸轉(zhuǎn)速，ρ為流體密度，(u,v)為速度場(chǎng)，P(x,y,t)為壓力場(chǎng)，γ為流體動(dòng)力黏度。與定常的Prandt1邊界層微分方程組相比，方程(1)多了離心力位的作用。

3 邊界層方程的李對(duì)稱性

令矢量式的自變量為x=(x,y)，矢量式的因變量為u=(u,v,P),偏微分導(dǎo)算子D為

(2)

引進(jìn)單參數(shù)的李群變換群，

(3)

根據(jù)李群的延拓理論，變換式(3)的生成元以及一階和二階延拓向量場(chǎng)為

(i,j,i1,i2=1,2;r,q,h=1,2,3) (4)

式中ζ(i)為擴(kuò)展的i階無(wú)限小生成元函數(shù)。

按照微分方程的Lie對(duì)稱理論，方程(1)在變換式(3)下的不變性為

(5)

求解這些二階偏微分確定方程組(5)，有如下兩組系數(shù)函數(shù)的表達(dá)式為

(6)

式(6)即為邊界層方程允許的Lie對(duì)稱性生成元，可構(gòu)成相應(yīng)李代數(shù)結(jié)構(gòu)，其中ci為任意常數(shù)。

4 邊界層方程的不變解

第3節(jié)已經(jīng)得到碟片空間層流邊界層方程(1)的允許Lie點(diǎn)變換群(6)，現(xiàn)主要討論式(6)中一個(gè)特殊形式的Lie對(duì)稱群變換的不變解，即特征方程為

(7)

u=Φ1(λ),v=Φ2(λ)/y,P=Φ3(λ)

(8)

將方程(8)代入式(1)得

(9)

則方程(9)有不變解為

Φ1=6γλ+f1/(6γ),Φ2=0,Φ3=C

(10)

式(10)即為邊界層方程的不變解，有這個(gè)不變解，本文可從方程的舊解得到新解。

5 結(jié)果分析

設(shè)某碟式離心機(jī)碟片的主要尺寸為R0=107 mm，R1=79 mm，碟片高為70 mm，碟片間隙為1 mm，入口流速度為 0.32 m/s，碟片轉(zhuǎn)速為ωrad/s，液相選擇清水，其密度和粘性系數(shù)可查表，現(xiàn)定義無(wú)量綱速度Ψ和速度比例參數(shù)ξ為

Ψ=u/R1ωsinθ,ξ=-0.32/R1ωsinθ

(11)

將Lie對(duì)稱求解結(jié)果(10)和式(8)代入式(11)，得到無(wú)量綱速度分布為

(12)

式中τ=y/x為無(wú)量綱坐標(biāo)比，(x,y)為無(wú)量綱的碟片平面位置坐標(biāo)。

邊界層厚度在實(shí)際問(wèn)題中具有重要的應(yīng)用，其直接關(guān)系到碟式離心機(jī)的生產(chǎn)能力。張乾生[16]指出碟式離心機(jī)邊界層厚度的近似公式為

(13)

將Lie對(duì)稱求解結(jié)果式(8,10)代入式(13)，則進(jìn)一步得到邊界層厚度為

(14)

本文分別對(duì)無(wú)量綱速度分布與其影響因素(無(wú)量綱坐標(biāo)比和速度比例參數(shù))的關(guān)系，以及邊界層厚度與其影響因素(坐標(biāo)冪律指數(shù)和速度比例參數(shù))的關(guān)系作擬合曲線。圖3反映了不同轉(zhuǎn)速下無(wú)量綱邊界層速度的分布。可以看出，對(duì)于同一種流體，無(wú)量綱速度Ψ是碟片速度比例參數(shù)ξ的減函數(shù)，即邊界層內(nèi)的速度隨碟片逆流方向運(yùn)動(dòng)速度的增大而減少。圖4為不同轉(zhuǎn)速比下邊界層厚度σ隨x1/2的變化曲線。可以看出，無(wú)論碟式離心機(jī)轉(zhuǎn)速升高或減少，邊界層厚度σ隨x1/2的變化是近似線性的。綜上所述，Lie對(duì)稱理論分析與實(shí)際現(xiàn)象基本吻合，都很好地驗(yàn)證了Lie對(duì)稱性方法求解流體邊界層流場(chǎng)的有效性。

圖3 無(wú)量綱速度與y /x的關(guān)系

圖4 邊界層厚度與x1/2的關(guān)系

6 結(jié) 論

李群分析方法是一類從動(dòng)力學(xué)方程本身出發(fā)的解析算法，充分利用了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)含代數(shù)學(xué)的群屬性以及幾何分析的可微屬性，是求解非線性微分方程(組)通解的高效算法。該算法的難點(diǎn)就是Lie對(duì)稱無(wú)限小生成元的快速獲取。本文運(yùn)用經(jīng)典李群分析法求出了碟式離心機(jī)斜窄流層流二維邊界層方程組的不變性，得到了系統(tǒng)的2組Lie對(duì)稱生成元和1組不變解，并將這個(gè)不變解用到邊界層速度和厚度特性分析中?？梢钥闯?，斜窄流層流邊界層方程和李對(duì)性解法可以從流體動(dòng)力學(xué)角度解釋離心機(jī)料液速度分布和邊界層厚度的變化規(guī)律。主要結(jié)論有,(1) 碟式離心機(jī)碟片間隙層流邊界層問(wèn)題存在不變相似解，邊界層厚度σ與坐標(biāo)冪指數(shù)x1/2幾乎成正比關(guān)系；(2) 通過(guò)量級(jí)分析，無(wú)量綱的水平速度Ψ是轉(zhuǎn)鼓速度比例參數(shù)ξ的減函數(shù)，即邊界層內(nèi)的速度隨轉(zhuǎn)鼓逆來(lái)流運(yùn)動(dòng)速度的增大而減小。本文方法可進(jìn)一步推廣到各類離心機(jī)含有固體顆粒的多相流場(chǎng)流動(dòng)模擬中。