張 瓊，杜永峰，朱前坤

(1.蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，蘭州 730050；2.蘭州理工大學(xué) 甘肅省減震隔震國際合作研究基地，蘭州 730050)

1 引 言

梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的振動問題具有廣泛的工程背景，如車輛在橋梁上行駛、行人在人行橋上行走以及棧道類運(yùn)輸系統(tǒng)等均可歸結(jié)為此類問題[1-5]。由于荷載作用位置變化等相關(guān)因素的影響，移動荷載一般具有隨機(jī)性，梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的振動一般也為隨機(jī)振動[6-8]。

利用傳統(tǒng)隨機(jī)振動方法處理梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用時的隨機(jī)振動通常需要大量的計(jì)算工作，效率較低。針對這一問題，林家浩等[9]提出了高效精確的虛擬激勵法，該方法在處理非平衡隨機(jī)振動問題時最大的特點(diǎn)是將其轉(zhuǎn)化為確定性時間歷程分析，計(jì)算效率提高2～4個數(shù)量級。利用虛擬激勵法處理非平衡隨機(jī)振動的關(guān)鍵是計(jì)算結(jié)構(gòu)在確定性荷載作用下的虛擬響應(yīng)，現(xiàn)有做法一般是建立有限元模型后再利用振型疊加法計(jì)算[7,8]。呂峰等[6]綜合利用虛擬激勵法和精細(xì)積分法提出了一種基于有限元的精確高效算法來研究橋梁的隨機(jī)動力特性。趙巖等[7]基于虛擬激勵法和傅里葉分析，提出了一種求解移動隨機(jī)載荷作用結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)振動的有效頻域法。Caprani[10]基于虛擬激勵法研究了行人通過人行橋時的隨機(jī)振動情況。以上研究在計(jì)算結(jié)構(gòu)確定性荷載作用下的虛擬響應(yīng)時利用了振型疊加的思想，均需事先假定振型，而對于半剛性邊界的梁式結(jié)構(gòu)，估算精確的振型較為困難；在振型疊加過程中通常只考慮有限低階振型的貢獻(xiàn)，舍棄了高階振型的影響；對于移動荷載的處理，以上做法要么通過有限元形函數(shù)向量將移動載荷向有限元節(jié)點(diǎn)施加，要么采用精細(xì)積分的遞推格式，也較為繁瑣。

可用分布參數(shù)體系的Euler-Bernoulli模型描述梁式結(jié)構(gòu)，其受移動荷載作用的控制方程是含Dirac函數(shù)的偏微分方程[3,11]。Eftekhari[12,13]提出綜合利用微分求積法和積分求積法結(jié)合的方法研究結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的受迫振動問題，該方法利用積分求積法離散Dirac函數(shù)，利用微分求積法離散偏微分方程，不必事先假定振型且能考慮高階振型的影響，數(shù)值計(jì)算結(jié)果顯示出較高的精度與效率。文獻(xiàn)[4,14]將該方法推廣到人行荷載作用下人行橋振動響應(yīng)的求解，并與傳統(tǒng)的振型疊加計(jì)算結(jié)果對比，證明該方法的高效性，而后又將該方法擴(kuò)展到半剛性邊界下的人行橋受行人荷載作用的振動響應(yīng)問題[5]。

基于上述研究，本文提出將微分求積-虛擬激勵方法DQ -PEM用于梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的非平衡隨機(jī)振動問題。利用DQ -IQ法將梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用下含Dirac函數(shù)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為不含Dirac函數(shù)的常微分方程，用DQ法直接將其與時間無關(guān)的微分項(xiàng)轉(zhuǎn)化為代數(shù)項(xiàng)，用IQ法將表示荷載位置變化的Dirac函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)項(xiàng)。將表示荷載位置變化的Dirac函數(shù)視為移動荷載的非平穩(wěn)化函數(shù)，再結(jié)合虛擬激勵法的思想，可得梁式結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)。結(jié)合具體算例分析了半剛性梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的隨機(jī)振動問題，討論了不同速度和不同邊界條件等因素對梁式結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動的影響。

2 梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的振動方程

2.1 受移動荷載作用梁的振動基本方程

梁式結(jié)構(gòu)受勻速移動荷載作用的振動控制方程為[3,4]

δ(x-vt)F(t)

(1)

式中u(x,t)為梁的位移，v為荷載移動速度，δ(x-vt)為Dirac函數(shù)。

引入如下無量綱量,

(2)

則式(1)變換為

λδ(X-XF(t))

(3)

2.2 邊界條件

則梁式結(jié)構(gòu)半剛性邊界，在X=0處為

(4)

在X=1處為

(5)

2.3 基本方程的離散化

令XF=vt=Xp(1≤p≤n),利用DQ -IQ混合法以及Dirac函數(shù)的性質(zhì)[4,12,13]，式(3)轉(zhuǎn)化為

(6)

微分求積1階權(quán)系數(shù)可顯式計(jì)算[15]為

(7)

高階權(quán)系數(shù)則由遞推公式計(jì)算為

(8)

四階微分方程每個端點(diǎn)有兩個邊界條件，X節(jié)點(diǎn)選取采用如下形式[15]，

(9)

式中 Δ為相鄰兩邊節(jié)點(diǎn)的距離，Δ可在10-2和10-4之間取值。

積分求積權(quán)系數(shù)Ri為[12]

(10)

式中 ΔXi=Xi + 1-Xi。

式(6)寫成矩陣形式[14]為

(11)

[M]=α[I]， [C]=β[I], [K]=[A](4)

(12)

式中 [A](4)為微分求積4階加權(quán)系數(shù)矩陣[A]，I為n×n的單位矩陣。

根據(jù)荷載在網(wǎng)格點(diǎn)上的靜力平衡，可得到荷載模型[12,14]

(13)

式中XR=Xp-XF(t)，XL=XF(t)-Xp - 1。

2.4 邊界條件的離散化

邊界條件式(4，5)的DQ格式為[4]

u(0,t)=0，

(14a,14b)

u(1,t)=0，

(14c,14d)

式(14a,14c)代入式(14b,14d)后聯(lián)立求解二元一次方程組得

(15a)

(15b)

(16a)

(16b)

(16c)

(16d)

2.5 振動控制方程的離散化及求解

把式(14a,14c,15)代入式(11)得

(i=3,4,…,n-2)(17)

式(17)為二階常系數(shù)微分方程，利用Newmark或精細(xì)積分算法即可得到數(shù)值解。

由式(17)退化可得到梁式結(jié)構(gòu)梁頻率特征方程為

s{u}=Ω2{u}

(18)

式中Ω為梁式結(jié)構(gòu)的圓頻率，{u}={u3,u4,…，un - 2}。

3 梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用非平穩(wěn)隨機(jī)振動的DQ -PEM法

虛擬激勵法是在橋梁抗震分析中發(fā)展出來的隨機(jī)振動系列算法，該方法在處理非平衡隨機(jī)振動問題時最大的特點(diǎn)是將其轉(zhuǎn)化為確定性時間歷程分析。盡管式(1)中荷載F(t)是一個平穩(wěn)過程，但由于作用位置不斷變化，加之梁式結(jié)構(gòu)為有限長度，因此對梁式結(jié)構(gòu)而言，外激勵為非平穩(wěn)隨機(jī)過程。式(1)右邊的荷載項(xiàng)亦可視為由Dirac函數(shù)與荷載F(t)組成的外激勵均勻調(diào)制模型：

x(t)=δ(x-vt)F(t)

(19)

F(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，假設(shè)荷載F(t)的自譜密度為SX X(ω)，構(gòu)造虛擬的移動確定性外部激勵 ，可寫為

(20)

替換式(1)右邊的荷載項(xiàng)，則虛擬響應(yīng)為

(21)

I(ω,t)為給定的確定性激勵δ(x-vt)exp(iωt)下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，可由DQ -IQ混合法求得。

由結(jié)構(gòu)的虛擬響應(yīng)，進(jìn)一步可得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的演變譜密度為

SX X(ω)I*(ω,t)IT(ω,t)

(22)

4 非平穩(wěn)隨機(jī)振動的DQ -PEM法計(jì)算步驟

梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用非平穩(wěn)隨機(jī)振動的DQ -PEM法的計(jì)算步驟如下。

(2) 已知結(jié)構(gòu)的輸入功率譜SX X(ω)，將整個外荷載的頻率域ω劃分成N段，間隔為Δω，離散后每段外荷載頻率為ωn=nΔω。

(3) 利用DQ -IQ混合法求解每個ωn對應(yīng)的確定性荷載確定性激勵δ(x-vt)exp(iωnt)作用下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)I(ωn,t)。

(4) 按式(22)求得每個ωn對應(yīng)的響應(yīng)的演變功率譜密度SU U(ωn,t)。

5 工程算例

圖2為運(yùn)用傳統(tǒng)的振型疊加法和DQ -PEM法下的加速度響應(yīng)，藍(lán)線是振型疊加法算出的加速度響應(yīng)，紅線是DQ -PEM法算出的加速度響應(yīng)?？梢钥闯?，曲線幾乎一致，驗(yàn)證了DQ -PEM法的準(zhǔn)確性。

圖2 加速度響應(yīng)

5.1 梁式結(jié)構(gòu)自振頻率

5.2 速度對隨機(jī)振動響應(yīng)統(tǒng)計(jì)量的影響

圖3為不同移動速度下，簡支梁式結(jié)構(gòu)跨中的位移演變功率譜。為了方便對比數(shù)值結(jié)果，采用荷載瞬時位置(x=Vel·t)表示x軸坐標(biāo)?？梢钥闯觯菏浇Y(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)功率譜的峰值均在其自振頻率4.77 Hz附近，與荷載移動速度無關(guān)，其峰值由共振現(xiàn)象造成。荷載移動速度為25 km/h，50 km/h 和100 km/h時，對應(yīng)的位移響應(yīng)演變功率譜峰值分別為2.87×10-7，2.04×10-7和1.11×10-7m2/Hz，其中50 km/h和100 km/h對應(yīng)的位移響應(yīng)演變功率譜峰值為25 km/h時的0.71倍和0.39倍?？梢?，隨著移動荷載速度的增大，荷載作用時間變短，響應(yīng)演變功率譜的峰值隨之減小，但其頻帶會相應(yīng)變寬。這一現(xiàn)象與文獻(xiàn)[6，7]一致。圖4為荷載以不同速度通過簡支梁式結(jié)構(gòu)時，其跨中位移響應(yīng)的時變方差。荷載移動速度為25 km/h，50 km/h和100 km/h對應(yīng)的位移響應(yīng)時變方差最大值分別為3.10×10-6m2，2.80×10-6m2和2.24×10-6m2，其中50 km/h和 100 km/h 對應(yīng)的位移時變方差最大值為25 km/h時的0.90倍和0.72倍。可以看出，梁式結(jié)構(gòu)跨中處的時變方差最大值隨著荷載速度的增大而減小，最大值出現(xiàn)時間隨著荷載速度的增大而后移。

圖3 不同速度下梁式結(jié)構(gòu)跨中的位移響應(yīng)演變功率譜

圖4 不同速度下梁式結(jié)構(gòu)跨中的時變方差

5.3 邊界條件對隨機(jī)振動的影響

圖5 不同邊界下梁式結(jié)構(gòu)跨中的位移響應(yīng)演變功率譜

圖6 不同邊界下梁式結(jié)構(gòu)跨中的時變方差

6 結(jié) 論

基于微分求積法和虛擬激勵法，提出了一種求解移動隨機(jī)載荷作用下半剛性梁式結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)振動的高效方法。利用 DQ -IQ混合法將含Dirac函數(shù)的梁式結(jié)構(gòu)受移動荷載作用的偏微分振動控制方程轉(zhuǎn)化為不含Dirac函數(shù)的常微分方程。同時,將表示荷載位置變化的Dirac函數(shù)視為移動荷載的非平穩(wěn)化函數(shù)，再結(jié)合虛擬激勵法的思想，得到梁式結(jié)構(gòu)在確定性荷載作用下的虛擬響應(yīng)，進(jìn)而得到其非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)。計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性與有效性；算例結(jié)果表明，當(dāng)移動荷載為隨機(jī)移動荷載時，響應(yīng)演變功率譜的峰值出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)自振頻率附近，且梁式結(jié)構(gòu)自振頻率越大，其響應(yīng)的演變功率譜和時變方差的峰值越小，可通過調(diào)整半剛性系數(shù)，控制梁式結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。