汪金勝，李永樂，楊 劍，徐國(guó)際*

(1.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031；2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075)

1 引 言

工程結(jié)構(gòu)在建設(shè)和服役期內(nèi)不可避免地存在各種不確定性因素，如荷載條件、材料性質(zhì)和環(huán)境因素等。在這些不確定性因素作用下結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的響應(yīng)也表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性。因此，在結(jié)構(gòu)分析過(guò)程中，合理考慮隨機(jī)因素的影響對(duì)于結(jié)構(gòu)的安全性評(píng)估和相應(yīng)的決策分析至關(guān)重要。作為不確定性量化分析領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，可靠度理論為考慮上述不確定性因素提供了一條有效的途徑[1]。結(jié)構(gòu)可靠度分析的主要目的是計(jì)算結(jié)構(gòu)在一定極限狀態(tài)下發(fā)生失效的概率Pf。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了大量的研究，并提出了許多近似分析方法[2-7]。近年來(lái)，以代理模型為基礎(chǔ)的一系列可靠度分析方法因能有效地平衡計(jì)算精度和計(jì)算效率而得到大量研究和越來(lái)越廣泛的應(yīng)用[8]。該類方法通過(guò)少量的訓(xùn)練樣本(模型計(jì)算)建立原問(wèn)題的代理模型來(lái)進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度分析，可以在保證失效概率計(jì)算精度的前提下顯著提高計(jì)算效率。常用的代理模型包括響應(yīng)面法(RSM)[9,10]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)[11]、支持向量機(jī)(SVM)[12]和Kriging模型[13]等。其中，以基于Kriging模型為代表的主動(dòng)學(xué)習(xí)算法因在精度和效率之間優(yōu)異的折中性逐漸成為可靠度領(lǐng)域一個(gè)熱門的研究課題。此類算法利用代理模型提供的預(yù)測(cè)值和局部誤差估計(jì)(如Kriging的預(yù)測(cè)方差)構(gòu)建學(xué)習(xí)函數(shù)，在迭代過(guò)程中自適應(yīng)地選取新的重要樣本點(diǎn)對(duì)模型進(jìn)行更新，直至滿足設(shè)定的收斂條件[13]。相關(guān)的研究重點(diǎn)可概括為以下幾個(gè)方面。(1) 構(gòu)建高效學(xué)習(xí)函數(shù)，如U函數(shù)、EFF函數(shù)、H函數(shù)、FNEIF函數(shù)和REIF函數(shù)等[14]； (2) 推導(dǎo)收斂準(zhǔn)則，如基于相對(duì)誤差估計(jì)的收斂準(zhǔn)則及其改進(jìn)策略[15-17]； (3) 提出有效抽樣區(qū)域概念，如自適應(yīng)抽樣域法[18]； (4) 高效混合算法計(jì)算小失效概率，如基于Kriging和重要抽樣的方法[19]以及基于Kriging和子集模擬的方法[20]等； (5) 解決系統(tǒng)失效概率計(jì)算[21,22]和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[23]等問(wèn)題。

目前，大多數(shù)自適應(yīng)學(xué)習(xí)算法都是基于Kriging模型建立的，而基于其他代理模型的學(xué)習(xí)算法相對(duì)較少。這主要是因?yàn)镵riging模型不僅能得到新點(diǎn)的預(yù)測(cè)值，而且還能給出其局部誤差估計(jì)，為高效地構(gòu)建主動(dòng)學(xué)習(xí)算法提供了便利；而傳統(tǒng)的支持向量機(jī)等其他代理無(wú)法直接得到預(yù)測(cè)方差，需要額外采用Bootstrap等方法才能得到近似誤差估計(jì)，計(jì)算比較繁瑣。針對(duì)此問(wèn)題，一些學(xué)者在貝葉斯推理框架下進(jìn)行代理模型的構(gòu)建，如近期提出的貝葉斯稀疏混沌展開(Bayesian sparse PCE)[24]和貝葉斯支持向量回歸機(jī)(Bayesian SVR)[25]。與Kriging模型類似，Bayesian sparse PCE模型和Bayesian SVR也能直接得到預(yù)測(cè)方差值，因此現(xiàn)有的主動(dòng)學(xué)習(xí)算法可直接適用于貝葉斯推理框架下的PCE模型和SVR 模型。不過(guò)，與基于經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則建立的PCE和ANN等模型不同的是，SVR模型采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則進(jìn)行構(gòu)建，具有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)和良好的泛化能力，有效地避免了過(guò)擬合，且能很好地處理小樣本、高維度和非線性等問(wèn)題。因此，基于Bayesian SVR模型建立的自適應(yīng)學(xué)習(xí)算法有望進(jìn)一步提升該類算法的有效性和適用性[26]。

鑒于此，本文提出一種新的基于貝葉斯支持向量回歸機(jī)的高效自適應(yīng)學(xué)習(xí)算法(ABSVR)用于結(jié)構(gòu)可靠度分析。首先，借鑒優(yōu)化算法中懲罰函數(shù)的概念，提出了一種新的學(xué)習(xí)函數(shù)。該學(xué)習(xí)函數(shù)綜合考慮了樣本點(diǎn)的預(yù)測(cè)值、預(yù)測(cè)方差、概率密度函數(shù)值以及與已有樣本點(diǎn)的距離等因素，能有效地引導(dǎo)算法在學(xué)習(xí)過(guò)程中選取位于極限狀態(tài)曲面附近且對(duì)失效概率貢獻(xiàn)大的樣本點(diǎn)。其次，考慮到失效概率估計(jì)的特點(diǎn)，提出了一種新的有效抽樣域策略，以篩選出對(duì)失效概率計(jì)算誤差貢獻(xiàn)大的點(diǎn)作為備選樣本點(diǎn)，提高算法的學(xué)習(xí)效率。此外，為確定合適的收斂準(zhǔn)則，防止因欠學(xué)習(xí)產(chǎn)生較大估計(jì)誤差或過(guò)學(xué)習(xí)產(chǎn)生冗余樣本而降低計(jì)算效率，本文引入一種基于相對(duì)誤差估計(jì)的停止條件，確保算法在達(dá)到給定誤差閾值的情況下自動(dòng)停止。最后，通過(guò)三個(gè)算例驗(yàn)證本文所提方法的適用性、準(zhǔn)確性和高效性。

2 貝葉斯支持向量回歸機(jī)

支持向量機(jī)最初是由Vapnik等[27]在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論指導(dǎo)下提出的用于解決模式識(shí)別問(wèn)題的算法，之后進(jìn)一步推廣到函數(shù)回歸分析中，并在不同領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。為進(jìn)一步提升支持向量回歸機(jī)的構(gòu)建效率和性能，文獻(xiàn)[25，28]在貝葉斯推理框架下采用不同的損失函數(shù)建立了支持向量回歸機(jī)(Bayesian SVR)模型?？紤]到不同Bayesian SVR模型性能的相似性，本節(jié)僅對(duì)文獻(xiàn)[26]中基于平方損失函數(shù)(式(1))構(gòu)建的Bayesian SVR進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹，并用于后續(xù)自適應(yīng)可靠度分析算法的建立。

(1)

2.1 貝葉斯推理框架

給定由輸入變量點(diǎn)集X={x1,x2,…,xN}T和相應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)Y={y1,y2,…,yN}T組成的訓(xùn)練樣本集D={(X,Y)|xi∈n,yi∈(i=1,2,…,N)}，則在回歸分析中訓(xùn)練樣本對(duì)關(guān)系為

(i=1,2,…,N)(2)

(3)

式中λ為待求常數(shù),l(δ)為式(1)的損失函數(shù)。

(4)

(5)

式中Σ為大小為N×N的協(xié)方差矩陣，每個(gè)矩陣元素可通過(guò)式(4)得到。此外，由于δi為服從獨(dú)立同分布的變量，給定訓(xùn)練樣本集下的似然函數(shù)為

(6)

根據(jù)貝葉斯理論，g的后驗(yàn)概率分布為

(7)

式中P(D|φ)為歸一化常數(shù)。將式(5,6)代入式(7)可得

(8)

(9)

2.2 Bayesian SVR模型

針對(duì)模型采用的平方損失函數(shù)，文獻(xiàn)[25]推導(dǎo)出了式(9)中g(shù)的最優(yōu)估計(jì)值為

(10)

式中I為大小為N×N的單位矩陣，β=(Σ+I/λ)-1Y。對(duì)于Bayesian SVR模型中涉及的超參數(shù)φ={θ,λ}，可通過(guò)求解極小值問(wèn)題(11)得到。

(11)

(12)

(13)

式中κ(x,X)=[κ(x,x1),κ(x,x2),…,κ(x,xN)]T，可由式(4)計(jì)算得到。

至此，在貝葉斯推理框架下建立了Bayesian SVR模型，得到的預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)方差的表達(dá)式可直接用于構(gòu)建結(jié)構(gòu)可靠度分析的自適應(yīng)算法。關(guān)于該模型更詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程和基于其他損失函數(shù)建立的模型參見文獻(xiàn)[26,29]。

3 ABSVR算法

本文將Bayesian SVR模型用于自適應(yīng)學(xué)習(xí)算法(ABSVR)的建立，主要從三個(gè)方面提升其整體性能，一是基于可靠度分析中重要樣本點(diǎn)的特征，利用優(yōu)化算法中懲罰函數(shù)的概念，提出一種新的高效學(xué)習(xí)函數(shù)；二是構(gòu)建有效抽樣域，選取對(duì)失效概率估計(jì)誤差貢獻(xiàn)大的點(diǎn)作為備選樣本點(diǎn)；三是引入一種基于相對(duì)誤差估計(jì)的停止條件，防止因欠學(xué)習(xí)或過(guò)學(xué)習(xí)而降低算法性能。

3.1 學(xué)習(xí)函數(shù)

(14)

學(xué)習(xí)函數(shù)U能有效表征樣本點(diǎn)在代理模型中錯(cuò)誤分類的概率，即

Pw=Φ[-U(x)]

(15)

式中Pw為樣本點(diǎn)的錯(cuò)誤分類概率，Φ(·)為正態(tài)分布累積概率密度函數(shù)。由式(15)可知，函數(shù)U值越小，樣本點(diǎn)屬性錯(cuò)誤分類的概率就越大。因此，文獻(xiàn)[13]采用函數(shù)U的極小值作為選點(diǎn)策略，

(16)

(1) 利用優(yōu)化算法中懲罰函數(shù)的概念，構(gòu)建函數(shù)式為

(17)

(18)

因此，綜合考慮以上各種因素的影響，本文提出一種新的學(xué)習(xí)函數(shù)(NLF)，其表達(dá)式為

(19)

式中γ為常數(shù)，可防止式中分母為零，本文取γ=1×10-5；max(·)為一簇x∈SC對(duì)應(yīng)估計(jì)值的最大值。學(xué)習(xí)過(guò)程中，選取備選樣本集SC中使學(xué)習(xí)函數(shù)NLF(x)最小的點(diǎn)xnew加入現(xiàn)有樣本集SD中，即

(20)

本文通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)NLF和Bayesian SVR模型構(gòu)建的自適應(yīng)算法記為ABSVR2。為選取更具代表性的樣本點(diǎn)，備選樣本集SC的點(diǎn)應(yīng)具有較好的空間滿布性和均勻性。因此，將利用UQLab[30]抽取Sobol序列作為樣本集SC的點(diǎn)。

3.2 有效抽樣域

由式(15)可知，位于極限狀態(tài)曲面附近或預(yù)測(cè)方差大的點(diǎn)錯(cuò)誤分類的概率更大，是失效概率估計(jì)的主要誤差來(lái)源，因而在自適應(yīng)學(xué)習(xí)過(guò)程中需重點(diǎn)關(guān)注該區(qū)域內(nèi)的樣本點(diǎn)。其中，錯(cuò)誤分類的情況有兩種，一是屬于安全域內(nèi)的點(diǎn)以一定的置信度(如95%)誤分為失效點(diǎn)，該類點(diǎn)記為SS；二是屬于失效域內(nèi)的點(diǎn)以一定的置信度誤分為安全點(diǎn)，該類點(diǎn)記為SF。這兩類樣本點(diǎn)主要分布在極限狀態(tài)曲面附近區(qū)域，可分別表示為

(21)

(22)

3.3 收斂準(zhǔn)則

收斂準(zhǔn)則在自適應(yīng)學(xué)習(xí)算法中十分重要，為使算法能更好地在計(jì)算效率和精度間達(dá)到平衡，需要設(shè)置合適的停止判據(jù)，否則過(guò)學(xué)習(xí)和欠學(xué)習(xí)都可能使算法的性能大打折扣。常用的方法是，給學(xué)習(xí)函數(shù)設(shè)定一個(gè)閾值，當(dāng)滿足閾值條件時(shí)停止學(xué)習(xí)，如文獻(xiàn)[13]中針對(duì)學(xué)習(xí)函數(shù)U的收斂準(zhǔn)則。然而，此類準(zhǔn)則可能過(guò)于保守，導(dǎo)致不必要的計(jì)算開銷，而且合適的閾值有時(shí)很難確定。為此，一些學(xué)者提出了基于相對(duì)誤差估計(jì)的收斂準(zhǔn)則[15-17]，將停止條件與失效概率估計(jì)誤差聯(lián)系起來(lái)，可在保證精度的前提下減少功能函數(shù)的調(diào)用。本文采用文獻(xiàn)[17]的方法建立ABSVR1和ABSVR2的收斂條件。

(23)

(24)

(25)

(26)

因此，給定誤差閾值εt，相應(yīng)的收斂準(zhǔn)則為

εr≤εmax≤εt

(27)

3.4 ABSVR算法基本流程

根據(jù)3.1節(jié)～3.3節(jié)的闡述，本文所提ABSVR算法用于結(jié)構(gòu)可靠度分析的主要步驟如下。

(1) 從Sobol序列中抽取NC個(gè)樣本點(diǎn)組成備選樣本集SC；利用拉丁超立方抽樣(LHS)抽取ND個(gè)初始訓(xùn)練樣本集SD。

(5) 判斷式(27)的收斂條件是否滿足。如果滿足，執(zhí)行步驟(7)；否則，執(zhí)行步驟(6)。

(6) 根據(jù)步驟(4)所得學(xué)習(xí)函數(shù)值選出最佳樣本點(diǎn)xnew，計(jì)算其對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)值，并擴(kuò)充到訓(xùn)練樣本集SD中，即SD=SD∪xnew，ND=ND+1，并返回步驟(2)。

(28)

4 算例分析

(29)

算例1由四個(gè)失效模式組成的串聯(lián)系統(tǒng)

考慮一個(gè)二維輸入變量條件下的串聯(lián)系統(tǒng)，其極限狀態(tài)函數(shù)為[13]

(30)

式中x1和x2為相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。

表1 算例1可靠度分析結(jié)果對(duì)比

為更好地展現(xiàn)ABSVR算法的優(yōu)異性能，圖1給出了ABSVR1和ABSVR2的收斂模型及相應(yīng)的訓(xùn)練樣本點(diǎn)。可以看出，雖然初始訓(xùn)練樣本點(diǎn)分布于整個(gè)樣本空間，但是通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)U和學(xué)習(xí)函數(shù)NLF選取的新樣本點(diǎn)絕大多數(shù)位于失效邊界附近，因此ABSVR1模型和ABSVR2模型能夠在重要區(qū)域?qū)υ瓨O限狀態(tài)曲面表現(xiàn)出很高的擬合精度。由于考慮了距離測(cè)度，相比于學(xué)習(xí)函數(shù)U，本文所提學(xué)習(xí)函數(shù)NLF選取的樣本點(diǎn)均勻性更好。此外，由于四個(gè)角點(diǎn)區(qū)域的概率密度函數(shù)值很小，對(duì)失效概率估計(jì)的貢獻(xiàn)基本可忽略不計(jì)，所以該部分的擬合精度對(duì)最終的計(jì)算精度無(wú)顯著影響。

圖1 收斂后的Bayesian SVR模型及其訓(xùn)練樣本

算例2非線性彈簧振子模型

考慮如圖2所示的非線性彈簧振子模型，其極限狀態(tài)函數(shù)為[13]

(31)

圖2 非線性彈簧振子模型

表2 算例2基本隨機(jī)變量分布參數(shù)

表3 算例2可靠度分析結(jié)果對(duì)比

圖3給出了ABSVR1算法和ABSVR2算法5次獨(dú)立運(yùn)算的收斂過(guò)程?？梢钥闯?，雖然各次運(yùn)算在前幾次迭代過(guò)程中有比較大的波動(dòng)，但在第10次迭代后便能從不同程度迅速逼近精確解，說(shuō)明了本文方法的精確性、高效性和良好的魯棒性。

算例3懸臂管結(jié)構(gòu)

考慮如圖4所示的懸臂管結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)受3個(gè)外荷載及1個(gè)扭矩的作用。當(dāng)結(jié)構(gòu)的屈服強(qiáng)度σ小于最大von Mises應(yīng)力σmax時(shí),認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效。因此，該結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的極限狀態(tài)函數(shù)可表示為[15]

圖3 ABSVR1算法和ABSVR2算法5次獨(dú)立運(yùn)算的收斂過(guò)程

圖4 懸臂管結(jié)構(gòu)

g(x)=σ-σmax

(32)

(33)

表4 算例3基本隨機(jī)變量分布參數(shù)

表5給出了本文所提算法與其他方法的結(jié)果對(duì)比，其中參考值由樣本量為NT=1×106的MCS經(jīng)10次重復(fù)計(jì)算的均值得到，而FORM,SORM,IS、SS以及AK-MCS的結(jié)果則是通過(guò)默認(rèn)參數(shù)設(shè)置的UQLab[30]計(jì)算得到。由表5可知，對(duì)于本算例涉及的高維度和非線性問(wèn)題，一階可靠度法FORM存在較大的計(jì)算誤差 (12.12%)。雖然二階可靠度法SORM能有效提高FORM的計(jì)算精度，但其功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)顯著提升。與MCS方法相比，基于方差縮減技術(shù)的抽樣方法(IS和SS)能在保持一定精度的情況下減少大量的函數(shù)調(diào)用，但其計(jì)算效率仍然很低。相較而言，基于自適應(yīng)代理模型技術(shù)的方法(AK-MCS,ABSVR1和ABSVR2)在計(jì)算效率和計(jì)算精度上都保持著明顯的優(yōu)勢(shì)。得益于高效學(xué)習(xí)函數(shù)、有效抽樣域策略以及合適收斂條件的綜合利用，本文所提的兩種方法在整體性能上均優(yōu)于傳統(tǒng)的AK-MCS，能在更少功能函數(shù)調(diào)用的情況下得到精度更高的失效概率估計(jì)。

表5 算例3可靠度分析結(jié)果對(duì)比

圖5給出了ABSVR1算法和ABSVR2算法5次獨(dú)立運(yùn)算的收斂過(guò)程。可以看出，雖然各次運(yùn)算在前幾次迭代過(guò)程中有比較大的波動(dòng)，但在第6次迭代后便能從不同程度迅速逼近精確解，說(shuō)明了本文方法的精確性、高效性和良好的魯棒性。

圖5 ABSVR1算法和ABSVR2算法5次獨(dú)立運(yùn)算的收斂過(guò)程

5 結(jié) 論

本文基于Bayesian SVR模型建立了可靠度分析的高效自適應(yīng)算法(ABSVR)，該算法綜合利用了SVR模型在處理小樣本、高維度和非線性等問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出的優(yōu)異性能和貝葉斯推理框架下的概率估計(jì)，為進(jìn)一步提升該類算法的有效性和適用性奠定了基礎(chǔ)。此外，本文還從三個(gè)方面提升ABSVR的整體性能，一是為有效地引導(dǎo)算法在學(xué)習(xí)過(guò)程中選取位于極限狀態(tài)曲面附近且對(duì)失效概率貢獻(xiàn)大的樣本點(diǎn)，提出了一種可綜合考慮樣本點(diǎn)預(yù)測(cè)值、預(yù)測(cè)方差、概率密度函數(shù)值以及與已有樣本點(diǎn)間距等因素的學(xué)習(xí)函數(shù)；二是考慮到失效概率估計(jì)的特點(diǎn)，提出了一種新的有效抽樣域策略以提高算法的學(xué)習(xí)效率；三是為防止欠學(xué)習(xí)或過(guò)學(xué)習(xí)對(duì)算法性能產(chǎn)生不利影響，引入一種基于相對(duì)誤差估計(jì)的停止條件，能有效地保證算法在達(dá)到給定誤差閾值的情況下自動(dòng)停止。通過(guò)三個(gè)算例分析得出以下結(jié)論。

(1) 本文的算法框架綜合利用了貝葉斯支持向量機(jī)提供的概率估計(jì)信息、有效抽樣策略以及合理的收斂準(zhǔn)則，通過(guò)與學(xué)習(xí)函數(shù)U(即ABSVR1算法)或提出的新學(xué)習(xí)函數(shù)NLF(即ABSVR2算法)結(jié)合能很好地適用于結(jié)構(gòu)可靠度分析。相較于其他算法，本文提出的兩種方法能更好地平衡計(jì)算精度和效率。

(2) 通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)U和學(xué)習(xí)函數(shù)NLF選取的新樣本點(diǎn)絕大多數(shù)位于失效邊界附近，基于此得到的ABSVR1模型和ABSVR2模型均能在重要區(qū)域?qū)υ瓨O限狀態(tài)曲面進(jìn)行高精度的擬合。其中，由于學(xué)習(xí)函數(shù)NLF考慮了樣本間的距離測(cè)度，所選取的樣本點(diǎn)(相比于學(xué)習(xí)函數(shù)U)均勻性更好，因而ABSVR2算法在達(dá)到相同精度水平時(shí)所需要的功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)一般較ABSVR1更少。

(3) 由于概率密度函數(shù)值很小的區(qū)域?qū)κЦ怕使烙?jì)的貢獻(xiàn)基本可忽略不計(jì)，該部分的擬合效果對(duì)最終的計(jì)算精度無(wú)顯著影響，因而在結(jié)構(gòu)可靠度分析中可通過(guò)合理的抽樣區(qū)域策略予以過(guò)濾，在不損失精度的情況下可進(jìn)一步提高計(jì)算效率。

(4) 本文方法在學(xué)習(xí)過(guò)程中不涉及復(fù)雜的優(yōu)化算法或非正態(tài)變量的等概率變換，簡(jiǎn)單易懂，有利于進(jìn)一步推廣自適應(yīng)算法在實(shí)際工程中的應(yīng)用；但所提方法對(duì)涉及復(fù)雜有限元模型的可靠度分析問(wèn)題的適用性還需結(jié)合算例進(jìn)一步驗(yàn)證。