陳蘇怡，李浩然，戴繼生

江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013

引 言

光譜分析主要包括紅外光譜分析、拉曼光譜分析、原子光譜分析等技術(shù)，它能快速測(cè)定樣品的化學(xué)成分含量，實(shí)現(xiàn)無(wú)損傷的定性和定量分析，因此已被廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、食品、醫(yī)學(xué)及化工等領(lǐng)域[1-3]。然而光譜數(shù)據(jù)采集過(guò)程易受溫度、濕度等環(huán)境因素影響，發(fā)生基線偏移現(xiàn)象，從而對(duì)樣品定性和定量分析的準(zhǔn)確性產(chǎn)生較大影響[4]。因此，在光譜數(shù)據(jù)分析前，需對(duì)光譜數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕€校正[5]。

與純譜相比，基線的變化較為緩慢[6]。利用該特性，國(guó)內(nèi)外研究人員提出了大量光譜基線校正方法。基于懲罰最小二乘(penalized least squares, PLS)算法，很多文獻(xiàn)陸續(xù)報(bào)道了擴(kuò)展PLS方法，例如非對(duì)稱加權(quán)懲罰最小二乘(asymmetrically reweighted penalized least squares, asPLS)[7]，雙重加權(quán)懲罰最小二乘基線校正算法(doubly reweighted penalized least squares, drPLS)[8]以及改進(jìn)的非對(duì)稱最小二乘法(improved asymmetric least squares, IAsLS)[9]。這些基于PLS的方法能夠自動(dòng)更新不對(duì)稱權(quán)重，但在低信噪比的情況下無(wú)法獲得較好的基線校正精度性。近年來(lái)，隨著壓縮感知理論的快速發(fā)展，基于稀疏表示的信號(hào)恢復(fù)技術(shù)在特征選擇[10]、人臉識(shí)別[11]、信道估計(jì)[12]和光譜信號(hào)的基線校正[13]等方面取得長(zhǎng)足發(fā)展。Han等最早提出了一種基于稀疏表示的光譜基線校正方法[14]，其主要思想是通過(guò)引入光譜線型冗余字典將純譜稀疏表示，然后利用l1范數(shù)最小準(zhǔn)則，同時(shí)實(shí)現(xiàn)稀疏信號(hào)恢復(fù)和基線校正。由于采用了l1范數(shù)近似，上述方法不可避免地存在性能損失。此外，l1范數(shù)相關(guān)的正則項(xiàng)難以選擇，且Voigt-like線型冗余字典不足以提供完備的基來(lái)準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)稀疏表達(dá)。隨后，Li等提出了一種基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)(sparse Bayesian learning, SBL)的基線校正方法(SBL-BC)[15]，有效解決了l1范數(shù)近似方法性能下降的問(wèn)題，所有參數(shù)由最大后驗(yàn)概率確定，避免人工選擇正則項(xiàng)，并引入網(wǎng)格細(xì)化技術(shù)解決了字典矩陣的偏離網(wǎng)格間隙問(wèn)題，獲得了較好的基線校正性能。

然而，現(xiàn)有的稀疏貝葉斯建模方法只適用于簡(jiǎn)單的稀疏信號(hào)恢復(fù)，當(dāng)純譜的某些譜峰較寬時(shí)，需多個(gè)相鄰的高斯線型擬合該譜峰，則對(duì)應(yīng)的稀疏向量將具有一定的塊稀疏特性。SBL-BC尚無(wú)法適用于這種復(fù)雜的塊稀疏結(jié)構(gòu)。利用額外的塊稀疏結(jié)構(gòu)，有助于進(jìn)一步提升SBL方法的性能。為了建模稀疏向量的塊稀疏結(jié)構(gòu)特性，我們?cè)谠械呢惾~斯模型框架中引入模式耦合分層模型[16]，使得稀疏向量中每個(gè)元素不僅受其對(duì)應(yīng)的超參數(shù)影響，還受相鄰兩個(gè)元素的超參數(shù)影響。借助于稀疏貝葉斯框架具有固有的學(xué)習(xí)能力，引入的模式耦合分層模型可自適應(yīng)地學(xué)習(xí)稀疏向量的塊稀疏結(jié)構(gòu)，大幅提升基于SBL的基線校正方法的性能。

1 問(wèn)題描述與稀疏貝葉斯建模

1.1 問(wèn)題描述

x=s+b+n

(1)

(2)

s=Aw

(3)

x=Aw+b+n

(4)

1.2 稀疏貝葉斯建?；仡?/h3>

若假設(shè)噪聲n服從均值為零，方差為σ2的高斯分布，則有

p(x|w，b,α)=N(x|Aw+b，α-1I)

(5)

p(b|β)=N(b|0，(βDTD)-1)

(6)

由于α和β未知，在傳統(tǒng)稀疏貝葉斯框架中，一般假設(shè)它們服從伽馬分布[15]

p(α)=Γ(α|c,d)

(7)

p(β)=Γ(β|c,d)

(8)

(9)

且γ服從獨(dú)立伽馬分布

(10)

根據(jù)上述稀疏貝葉斯模型，聯(lián)合分布p(x,Θ)可分解為

p(x,Θ)=p(x|w,b,α)p(w|γ)p(b|β)p(γ)p(β)p(α)

(11)

式(11)中，Θ={w,α,γ,β,b}表示隱藏變量。

由于無(wú)法直接獲得后驗(yàn)概率分布p(Θ|x)的閉式解，Li等采用變分貝葉斯推理(VBI)求得p(Θ|x)的最優(yōu)近似解，同時(shí)引入步進(jìn)梯度算法迭代更新高斯線型函數(shù)方差的網(wǎng)格取值，解決了離網(wǎng)間隙問(wèn)題[15]。SBL-BC的顯著優(yōu)勢(shì)在于：(1)所有參數(shù)由最大后驗(yàn)概率確定，無(wú)需人工參與；(2)基線校正結(jié)果在貝葉斯框架具有最優(yōu)性，能顯著提升光譜基線校正性能。然而，SBL-BC的貝葉斯建模較為簡(jiǎn)單，無(wú)法適用于復(fù)雜的稀疏結(jié)構(gòu)。若s的某些譜峰較寬，需多個(gè)相鄰的高斯線型擬合，這時(shí)w具有一定的塊稀疏特性。若能充分利用額外的稀疏結(jié)構(gòu)特性，將有助于進(jìn)一步提升基于SBL的基線校正方法性能。

2 基于塊稀疏學(xué)習(xí)的基線校正方法

為了建模w的塊稀疏結(jié)構(gòu)特性，本節(jié)我們將在貝葉斯框架下引入模式耦合分層模型[16]，自適應(yīng)地學(xué)習(xí)w的塊稀疏結(jié)構(gòu)，大幅提升基于SBL的基線校正方法的性能。

2.1 模式耦合分層模型

為處理隨機(jī)塊狀稀疏信號(hào)，我們擬采用文獻(xiàn)[16]中提出了模式耦合模型，其主要思想是：假設(shè)w的每個(gè)元素(例如wn)不僅受其對(duì)應(yīng)的精度影響(即γn)，還受相鄰元素的精度(即γn-1和γn+1)影響。因此，若定義zn={zn, 1,zn, 2,zn, 3}T為一個(gè)選擇向量，其取值僅來(lái)自于e1=[1, 0, 0]T，e2=[0, 1, 0]T和e3=[0, 0, 1]T，則w可建模為

(12)

而zn建模為均勻類別分布

(13)

進(jìn)一步，將式(9)替換為式(12)和式(13)，則聯(lián)合分布p(x,Θ)可重寫(xiě)為

p(x,Θ)=p(x|w,b,α)p(w|Z,γ)·

p(b|β)p(γ)p(α)p(β)p(Z)

(14)

其中隱藏變量重寫(xiě)定義為Θ={w,α,γ,β,b,Z}。由于依然無(wú)法獲得后驗(yàn)分布p(Θ|x)的閉式解，我們將采用變分貝葉斯推斷尋找一個(gè)最優(yōu)的近似解。

2.2 變分貝葉斯推斷

依據(jù)文獻(xiàn)[17]，我們首先將p(x,Θ)分解為

p(Θ|x)≈q(Θ)=q(w)q(α)q(γ)q(β)q(b)q(Z)

(15)

上述分解形式并不唯一，最優(yōu)分解形式應(yīng)最小化p(Θ|x)和q(Θ)的Kullback-Leibler(KL)離散距，即

(16)

KL離散距小，其相似程度越高。根據(jù)變分貝葉斯推導(dǎo)[17]，式(16)的解為

(17)

由于q*(θg)取決于q*(θi),i≠g，需通過(guò)迭代更新獲得穩(wěn)態(tài)解。下面我們將依次討論如何更新各個(gè)q(θg)。

在更新q(w)時(shí)，有

lnq(w)∝〈lnp(w|Z,γ)+lnp(x|w,b,α)〉q(α)q(γ)q(b)q(Z)

(18)

q(w)=N(w|μw，Σw)

(19)

式(19)中

(20)

(21)

在更新q(α)時(shí)，有

lnq(α)∝〈lnp(x|w,b,α)p(α)〉q(w)q(b)

(c-1)lnα-dα

(22)

由此可知，q(α)服從伽馬分布

dα=‖x-Aμw-μb‖2+tr{AΣwAT+Σb}

(23)

(24)

(25)

在更新q(γ)時(shí)，有

lnq(γ)∝〈lnp(w|Z,γ)+lnp(γ)〉q(w)q(z)

(26)

(27)

(28)

γn的期望為

(29)

q(β)與q(b)的更新過(guò)程與上面相似，類比可得

(30)

q(b)=N(w|μb，Σb)

(31)

其中

dβ=‖Dμb‖2+tr{DΣbDT}

(32)

(33)

(34)

(35)

q(Z)的更新過(guò)程可由文獻(xiàn)[16]的推導(dǎo)獲得，但在實(shí)際應(yīng)用中，為了避免過(guò)擬合，我們可簡(jiǎn)單地采用均勻分布

(36)

3 實(shí)驗(yàn)仿真

3.1 仿真數(shù)據(jù)

在仿真1中，針對(duì)指數(shù)基線構(gòu)造的模擬數(shù)據(jù)集，將本文方法與SSFBCSP[14]和SBL-BC[15]進(jìn)行比較。假設(shè)模擬數(shù)據(jù)集中純譜為

(37)

(38)

式(38)中，bn表示b的第n個(gè)元素。針對(duì)該模擬數(shù)據(jù)集，將噪聲方差分別設(shè)為σ2={10-4, 10-2, 10-1}。圖1為不同基線校正方法估計(jì)出的純譜，紅色實(shí)線為估計(jì)出的純譜，黑色虛線為真實(shí)光譜。由圖可知，當(dāng)噪聲方差較小(即σ2=10-4)時(shí)，SSFBCSP方法估計(jì)出的純譜性能較差，SBL-BC和本文方法性能均可獲得較好的純譜擬合性能。當(dāng)噪聲方差增大(例如

圖1 模擬指數(shù)基線下不同基線校正方法估計(jì)的純譜對(duì)比圖

σ2=10-1)時(shí)，SSFBCSP方法性能下降明顯，SBL-BC方法和本文方法的純譜擬合性能均略有下降。無(wú)論噪聲方差如何變化，本文方法都能表現(xiàn)出最優(yōu)的估計(jì)性能。

在仿真2中，本文通過(guò)蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)研究了信噪比與純譜擬合的標(biāo)準(zhǔn)化均方根誤差(normalized mean square error, NMSE)的關(guān)系，其中NMSE的定義為

(39)

3.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)中，本文分別使用色譜數(shù)據(jù)集和三種不同礦物的拉曼光譜數(shù)據(jù)集(微斜晶石(R040154.3)，準(zhǔn)蒙脫石(R050391)，馬來(lái)石(R040043))進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)[15]。將本文方法與SSFBCSP[14]和SBL-BC[15]進(jìn)行比較，灰色實(shí)線為原光譜，紅色實(shí)線為估計(jì)出的純譜，藍(lán)色實(shí)線為估計(jì)出的基線。

圖2 模擬指數(shù)基線下隨信噪比變化的純譜擬合NMSE性能對(duì)比圖

圖3為基于色譜數(shù)據(jù)集估計(jì)出的純譜與基線，橫坐標(biāo)為時(shí)間，噪聲方差設(shè)為σ2=10-4。圖4、圖5和圖6分別表示基于三種不同礦物的拉曼光譜數(shù)據(jù)集估計(jì)出的純譜與基線，橫坐標(biāo)為拉曼位移，噪聲方差均設(shè)為σ2=10-3?？梢钥闯?，在色譜數(shù)據(jù)集中，SSFBCSP表現(xiàn)出去噪效果，但沒(méi)有對(duì)第1 000次樣本附近的基線進(jìn)行校正，SBL-BC方法與本文方法估計(jì)出的基線非常相似，但本文方法獲得了更好的光譜信號(hào)重構(gòu)性能，具有較好的基線校正效果；微斜晶石數(shù)據(jù)集中，本文方法表現(xiàn)出較好的抑制基線偏移的性能；準(zhǔn)蒙脫石和馬來(lái)石數(shù)據(jù)集中，本文方法估計(jì)出的純譜信號(hào)更平滑，可過(guò)濾較多的噪聲；對(duì)比三種礦物的拉曼光譜數(shù)據(jù)集，本文方法表現(xiàn)出了最優(yōu)的基線校正準(zhǔn)確性。

圖3 色譜數(shù)據(jù)集的基線校正對(duì)比圖

圖4 微斜晶石數(shù)據(jù)集的基線校正對(duì)比圖

圖5 準(zhǔn)蒙脫石數(shù)據(jù)集的基線校正對(duì)比圖

圖6 馬來(lái)石數(shù)據(jù)集的基線校正對(duì)比圖

最后，表1列出了每個(gè)數(shù)據(jù)集的程序運(yùn)行時(shí)間。可以看出，對(duì)于維度為4 000的數(shù)據(jù)集，本文方法的程序運(yùn)行時(shí)間不到5 s，維度在2 500左右的數(shù)據(jù)集，運(yùn)行時(shí)間約為3 s。本文方法執(zhí)行時(shí)間略多于SBL-BC，但明顯少于SSFBCSP，且本文方法的純譜擬合與去噪效果明顯優(yōu)于SBL-BC和SSFBCSP方法。

表1 不同基線校正方法的運(yùn)行時(shí)間對(duì)比

4 結(jié) 論

在原本的稀疏貝葉斯框架中引入模式耦合模型，使得稀疏向量中每個(gè)元素不僅受其對(duì)應(yīng)的超參數(shù)影響，還受相鄰兩個(gè)元素的超參數(shù)影響。為充分利用稀疏向量中的結(jié)構(gòu)特征性，提出一種基于塊稀疏的方法進(jìn)行基線校正，解決了稀疏貝葉斯模型由于難以適用于復(fù)雜稀疏結(jié)構(gòu)進(jìn)而導(dǎo)致性能下降的問(wèn)題。利用指數(shù)基線構(gòu)造的模擬數(shù)據(jù)集進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，在不同信噪比下將本文方法與SBL-BC等其他方法相對(duì)比，本文方法獲得了更精確的純譜擬合結(jié)果。真實(shí)數(shù)據(jù)集的實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果表明，本文方法較SBL-BC方法獲得更精確的光譜信號(hào)重構(gòu)性能，同時(shí)表明了本文方法在實(shí)際應(yīng)用中的普適性。