吳 山，何浩祥，王寶順，陳建偉

(1.北京工業(yè)大學 工程抗震與結構診治北京市重點實驗室，北京 100124;2.華北理工大學 建筑工程學院，河北 唐山 063210)

近年來，阻尼器作為典型的振動控制裝置被廣泛應用于建筑結構中，為主體結構提供附加阻尼和附加剛度，從而達到吸收外部激勵能量并保護主體結構的目的。屈曲約束支撐(buckling restrained brace,BRB)和金屬阻尼器等位移相關型阻尼器憑借減震機理明確、成本低廉及易于更換等優(yōu)點在實際工程中被大量應用。

阻尼器在罕遇地震下主要憑借耗能減小結構響應，故耗能能力是其根本性能，而阻尼比是表征耗能能力的關鍵參數(shù)。建立計算各類型阻尼器附加有效阻尼比的精確方法從而量化阻尼器滯回耗能具有重要的理論和工程價值。GB 50011—2010《建筑抗震設計規(guī)范》[1]給出了附加有效阻尼比計算公式，但該方法是根據(jù)阻尼器在簡諧激勵下的變形能與結構總變形能的比值來計算的，通常是通過施加與結構主振動周期一致的簡諧激勵并達到預期位移時進行近似計算。該方法簡單明晰，但精度偏低，需迭代試算，且并不完全適用于位移相關型阻尼器和磁流變阻尼器。此外，采用線性化等效法計算附加有效阻尼比的方法不能精確模擬結構非線性響應，也存在精度不高和計算繁復的不足。因此，亟需發(fā)展適合位移相關型阻尼器附加阻尼比的精確計算方法。

除了上述需求外，以BRB和金屬阻尼器為代表的位移相關型阻尼器自身的恢復力模型精度也需要改進。JGJ 297—2013《建筑消能減震技術規(guī)程》[2]規(guī)定，位移相關型阻尼器可采用雙線性恢復力模型模擬?；陔p線性模型：吳克川等[3]提出了BRB消能減震結構的阻尼器滯回耗能計算公式；王維凝等[4]推導了鉛阻尼器的滯回耗能公式。徐昕等[5]對計算BRB消能減震結構附加有效阻尼比的包絡法、時變法計算精度進行了比較，發(fā)現(xiàn)包絡法精度較低，計算結果偏保守，時變法精度更高，但計算繁復。有關研究表明，按滯回環(huán)面積相等原則，在預期位移下采用雙線性模型對阻尼器滯回曲線進行擬合僅能保證當前條件下的準確性，而將擬合模型應用到其他位移時會產(chǎn)生較大偏差。Bouc-Wen模型是由微分方程描述恢復力的光滑曲線模型，具有可調性強、精度高等優(yōu)點。相比雙線性模型，Bouc-Wen模型可以模擬各類阻尼器恢復力的平滑屈服段，實現(xiàn)更精確表征，因此應用廣泛。Cameron等[6]采用Bouc-Wen模型精確模擬了BRB的荷載-位移關系。黃金[7]采用雙線性模型模擬BRB和主體結構性能，對BRB初始剛度、屈服后剛度比等參數(shù)對附加有效阻尼比的影響進行了分析，因需對主體結構彈性和彈塑性狀態(tài)分別討論，附加有效阻尼比無法統(tǒng)一表達。有鑒于此，高向宇等[8-9]建議采用改進的Bouc-Wen模型模擬BRB恢復力特性。研究結果表明：相比于雙線性模型，Bouc-Wen模型在各級位移下的滯回耗能計算值具有更高的精度。李宗京等[10]提出針對阻尼器試驗數(shù)據(jù)采用智能算法和Bouc-Wen模型進行精確擬合，但仍需采用數(shù)值計算方法獲得阻尼比。以上成果表明，建立Bouc-Wen模型阻尼器的滯回耗能解析表達式可以為阻尼器的阻尼比精確計算提供嚴密的理論依據(jù)，具有重要的研究意義。吳從曉[11]曾利用積分方法對Bouc-Wen模型進行分段解析，但結果準確性欠佳。該問題的難點在于常用的Bouc-Wen模型公式是隱式形式[12-14]，基于傳統(tǒng)形式并不能直接求出滯回環(huán)面積的精確解，無法準確表征阻尼器耗能。

有鑒于此，本文對Bouc-Wen模型進行顯式化解析，推導不同參數(shù)取值情況下的耗能表征解析解，進而得到基于Bouc-Wen模型計算附加有效阻尼比的公式。結合試驗數(shù)據(jù)對Bouc-Wen模型和雙線性模型在模擬BRB耗能計算精度方面進行數(shù)值分析和對比，驗證前者可以在各級位移下精確表征BRB耗能。對附加有效阻尼比進行參數(shù)分析，研究其變化規(guī)律和各性能參數(shù)的影響。最后，基于有限元模型，分析采用兩種恢復力模型阻尼器對結構動力響應的影響。

1 基于Bouc-Wen模型的附加有效阻尼比計算公式

傳統(tǒng)Bouc-Wen模型為隱式形式，可以由式(1)和式(2)表示

F(t)=αKD(t)+(1-α)KDyz(t)

(1)

式中：F(t)為系統(tǒng)恢復力；K和D(t)分別為系統(tǒng)的彈性剛度和軸向位移；α為屈服后剛度比；Dy為系統(tǒng)屈服位移；z(t)為無量綱內變量，滿足方程

(2)

式中：A，γ和β為控制恢復力曲線外形的參數(shù)；λ為控制屈服尖銳程度。

1.1 Bouc-Wen模型顯式化解析和耗能表征

上述的Bouc-Wen模型為隱式形式，難以得出滯回環(huán)面積的解析解，本文將對Bouc-Wen模型進行顯式化解析。式(2)中，λ為決定模型屈服段尖銳程度的形狀控制參數(shù)，λ越大，屈服段越銳利，趨近雙線性模型，當λ取值較大時，可用雙線性模型耗能表達式計算其滯回環(huán)面積，李建勤等基于30個防屈曲支撐的滯回曲線對模型參數(shù)進行了回歸和分析，建議λ取0.4～2.5，并提出該參數(shù)對恢復力模型影響較小，在建議范圍內取值模型形狀差別不大，Cameron等和文獻[15]分別采用Bouc-Wen模型模擬防屈曲支撐和剪切型金屬阻尼器，其中λ均取1，模擬效果理想，可見當λ=1時采用Bouc-Wen模型可以較好地模擬防屈曲支撐等位移型阻尼器。因此，本研究中取λ=1并考慮參數(shù)條件，可得內變量z(t)和軸向位移D(t)之間的微分式為

(3)

下面根據(jù)γ和β的不同取值關系分別進行討論。

(1) 當γ≠±β時，式(3)對D(t)積分可得

(4)

式中，D1為內變量z(t)=0時，軸向位移D(t)的值，該值可以通過內變量z(t)的反對稱性z(a)=-z(-a)求出，其中a為加載幅值，即D1可以通過式(5)得出

(5)

至此，已實現(xiàn)對內變量z(t)的分段顯式化解析，將式(4)代入式(1)可得Bouc-Wen模型顯式化表達式

(6)

式(6)對D(t)求積分，得到滯回耗能Wc的表達式為

(7)

(2) 當γ=-β時，采用相同的方法求解，D1和Wc的解析表達式分別為

(8)

Wc=(1-α)KDy×

(9)

(3) 當γ=β時，D1和Wc的解析表達式分別為

(10)

Wc=(1-α)KDy×

(11)

1.2 基于Bouc-Wen模型附加有效阻尼比計算公式

GB 50011—2010《建筑抗震設計規(guī)范》給出的阻尼器附加給主體結構的有效阻尼比計算公式為

(12)

式中：ζa為阻尼器附加給主體結構的有效阻尼比；Wcj為第j個阻尼器在結構預期層間位移下往復循環(huán)一周所消耗的能量；Ws為設置阻尼器的減震體系在預期位移下的總應變能。不計及扭轉影響時，設置阻尼器的減震結構在水平地震作用下的總應變能，可按式(13)估算

Ws=(1/2)∑Fiui

(13)

式中：Fi為質點i的水平地震作用標準值；ui為質點i對應于水平地震作用標準值的位移。

將消能減震體系等效成單自由度體系，阻尼器和主體結構的荷載-位移關系均采用Bouc-Wen模型表征，消能減震體系的位移記為x，阻尼器滯回耗能和減震體系總應變能如圖1所示。

圖1 阻尼器滯回耗能和減震體系總應變能Fig.1 Hysteretic energy dissipation of dampers and total strain energy of damping system

圖1中，預期位移下阻尼器滯回耗能為滯回環(huán)面積，結構體系總應變能為三角形面積。阻尼器和消能減震體系的滯回關系均采用Bouc-Wen模型模擬，且假設兩者γ和β的數(shù)值關系相同，以γ≠±β情況為例討論阻尼器附加有效阻尼比公式，由于計算方法相同，限于篇幅不再討論另外兩種情況的表達式。

設預期位移為x，阻尼器的荷載-位移關系可表示為

(14)

式中：Fd(x)為阻尼器預期位移為x時的阻尼力；Kd為阻尼器彈性剛度；αd為阻尼器屈服后剛度比；Ad，γd和βd為阻尼器Bouc-Wen模型的形狀控制參數(shù)；Dyd為阻尼器屈服位移；Dd為式(1)中內變量z(t)=0時，阻尼器的位移，可以由式(5)求出，其中加載幅值a=x。主體結構的荷載-位移關系為

(15)

式中：Fm(x)為主體結構預期位移為x時的地震作用；Km為主體結構彈性剛度；αm為主體結構屈服后剛度和彈性剛度之比；Dym為主體結構屈服位移；Am，γm和βm為主體結構Bouc-Wen模型的形狀控制參數(shù)；Dm為式(1)中內變量z(t)=0時，主體結構的位移，可以由式(5)求出，其中加載幅值a=x。消能減震體系的恢復力關系為阻尼器和主體結構荷載-位移關系的疊加，可以表示為

Fs(x)=Fd(x)+Fm(x)

(16)

式中，F(xiàn)s(x)為消能減震體系預期位移為x時的地震作用。

可得阻尼器附加有效阻尼比為

(17)

當主體結構為線性時，式(17)中Fm(x)改為

Fml(x)=Kmx

(18)

需要說明的是：在式(17)中假設主體結構荷載-位移關系為Bouc-Wen模型和線性關系是便于下文進行參數(shù)分析，實際工程中的減震結構總應變能應通過結構響應計算得到。

1.3 解析解精確性驗證

為了驗證本文提出的基于Bouc-Wen模型的能量表征和附加有效阻尼比公式的準確性，假設在某減震結構體系中設置了三種不同參數(shù)的阻尼器，主體結構和阻尼器采用Bouc-Wen模型模擬。采用前文解析解和梯形數(shù)值積分法(數(shù)值方法)分別求預期位移為10 mm下的阻尼器耗能和附加有效阻尼比，并統(tǒng)計誤差，其中Dym取1 mm，Dyd取0.2 mm，αd和αm取0.05，Km取500 kN/mm，Kd取470 kN/mm，Ad和Am均為1，γm取0.45，βm取0.55，阻尼器其余模型參數(shù)取值、阻尼器耗能表征和附加有效阻尼比結果，如表1所示。由表1可知，解析解結果和數(shù)值解結果十分接近，驗證了解析解的正確性。

表1 不同參數(shù)下模型耗能及阻尼比誤差Tab.1 Errors of dissipated energy and damping ratio of different models

2 基于Bouc-Wen模型和雙線性模型的附加有效阻尼比精度分析

根據(jù)JGJ 297—2013《建筑消能減震技術規(guī)程》，BRB等位移相關型阻尼器宜采用雙線性恢復力模型進行模擬。吳克川等基于雙線性模型對BRB的附加有效阻尼比計算方法及變化規(guī)律進行了解析研究，提出雙線性模型模擬的滯回環(huán)面積可按式(19)計算

Wc=4DbKb(1-αb)(x-Db)

(19)

式中：Wc為阻尼器在預期位移x下滯回一周所耗能量；Db，Kb和αb分別為雙線性模型中阻尼器的屈服位移、彈性剛度和屈服后剛度比。

然而，雙線性恢復力模型只是阻尼器恢復力-位移關系的近似表征，以滯回環(huán)面積相等為原則，采用雙線性模型在預期位移下擬合阻尼器滯回環(huán)，在預期位移下可以做到面積相等，但仍采用該模型表征其他位移下阻尼器耗能則存在較大誤差。為驗證雙線性模型的局限性，采用雙線性模型和Bouc-Wen模型分別對BRB滯回試驗數(shù)據(jù)進行了擬合，并對其能量表征精度進行對比。Cameron等對5個BRB試件進行了低周滯回試驗，各試件試驗結果均可采用，在此選取試件00～12的滯回曲線。試驗采用位移控制，分16 mm，32 mm和48 mm三級加載，采取滯回環(huán)面積相等原則在預期位移32 mm下對滯回曲線進行擬合，對比采用的雙線性模型和Bouc-Wen模型在16 mm和48 mm下的滯回環(huán)面積與試驗滯回環(huán)面積的誤差。結果表明，雙線性模型參數(shù)取值具有不唯一性。因此，選取兩個雙線性模型與Bouc-Wen模型對比，兩種恢復力模型參數(shù)取值如表2所示。表2中：BW為Bouc-Wen模型；BL1和BL2為兩種雙線性模型。擬合效果如圖2所示，各模型在各級位移下表征的能量及誤差，如表3所示。

表2 恢復力模型參數(shù)取值Tab.2 Parameter value of hysteric model

圖2 各恢復力模型擬合效果Fig.2 Fitting effect of hysteretic models

表3 不同位移下恢復力模型能量表征及誤差Tab.3 Energies and errors of hysteretic models under different displacements

BW模型在各級位移下擬合誤差均在5%以內，而雙線性模型在預期位移下擬合誤差較小，但其他位移下誤差明顯增大，α是影響雙線性模型擬合精度的關鍵，BL1選取的α與BW相同，但平均誤差仍達到11.3%。由此可知，與雙線性模型相比，Bouc-Wen模型可以在各級位移下更精確地表征阻尼器耗能。采用Bouc-Wen模型計算阻尼器附加有效阻尼比時具有優(yōu)勢：①阻尼器提供給結構的附加有效阻尼比與結構層間位移相關，由于某一時刻下結構各層層間位移不盡相同，因此，基于Bouc-Wen模型得到的結構附加有效阻尼比精度更高；②結構層間位移隨時間改變，因此，Bouc-Wen模型適合求解時變附加有效阻尼比。

3 附加有效阻尼比參數(shù)分析

Cameron等根據(jù)BRB擬靜力試驗結果，采用Bouc-Wen模型對試件的恢復力模型進行了模擬，其中γd=0.45，βd=0.55。由此可知，γd≠±βd的情況是采用Bouc-Wen模型模擬BRB和軟鋼阻尼器恢復力模型時常遇的情況。因此，對此種情況下阻尼器附加有效阻尼比的各參數(shù)影響進行分析。

阻尼器和消能減震體系的滯回關系均采用Bouc-Wen模型模擬，對阻尼器和主體結構屈服后剛度比的比值αd/αm、彈性剛度比Kd/Km、屈服位移之比Dyd/Dym和阻尼器滯回環(huán)形狀控制參數(shù)之比γd/βd對阻尼器附加有效阻尼比ζa的影響進行分析，結果如圖3所示，其中結構位移比為結構位移和結構屈服位移之比。Dym取1 mm，Dyd取0.2 mm，αd和αm取0.05，Km取500 kN/mm，Kd取470 kN/mm，γd和γm均為0.45，βd和βm均為0.55，Ad和Am均為1，進行參數(shù)分析僅改變該參數(shù)比值的分子，同時保證γd+βd=1，γm+βm=1，其他參數(shù)不變。

圖3 主體結構為非線性時附加有效阻尼比參數(shù)分析Fig.3 Parameter analysis of additional effective damping ratio when structure is nonlinear

可見附加有效阻尼比ζa隨結構變形增大的變化趨勢可以分為3個階段：①線性上升階段，當結構變形較小時，ζa隨著結構變形增大而線性增大；②非線性上升階段，當變形達到一定程度時，ζa仍隨結構變形增大而非線性增長，但增長速率變緩，并最終達到峰值點；③線性下降階段，ζa達到峰值點之后，結構變形繼續(xù)增大，ζa開始緩慢下降，其最終值在峰值的50%以上，下降速率與參數(shù)αd/αm和γd/βd的取值有關。設ζa在3個階段的變化速率分別為Vn1，Vn2和Vn3，增大各參數(shù)數(shù)值對Vn1，Vn2和Vn3的影響如表4所示。

表4 性能參數(shù)對ζa變化速率的影響規(guī)律Tab.4 Effect of performance parameters on variation rate of ζa

當主體結構線性，對阻尼器和主體結構彈性剛度比Kd/Km、阻尼器屈服位移Dyd進行參數(shù)分析，結果如圖4所示。參數(shù)分析中各參數(shù)取值同主體結構為非線性時。附加有效阻尼比與主體結構為非線性時具有相同的變化趨勢，但下降速率更快，屈服位移對附加有效阻尼比峰值沒有影響。

圖4 主體結構為線性時附加有效阻尼比參數(shù)分析Fig.4 Parameter analysis of additional effective damping ratio when structure is linear

由以上結果可知，通過提高BRB和金屬阻尼器的截面尺寸等方式提高其初始剛度、屈服力，或使其滯回曲線更飽滿，可以為主體結構提供更大的附加有效阻尼比，從而使結構體系具備更好的減震效果。

當阻尼器屈服位移過小時，附加有效阻尼比將更快到達峰值，但峰值較小，即有利于在小震下減震，但中大震下減震效果不理想。因此，應將阻尼器的屈服位移設置在合理范圍內。

4 結構算例分析

為了進一步驗證基于Bouc-Wen模型計算阻尼器附加有效阻尼比的精度和可行性，對比不同阻尼器恢復力模型對結構響應的影響，選取一典型鋼筋混凝土框架結構進行計算分析。該框架結構共8層，每層高度4 m，共32 m高。7度抗震設防，場地類別為Ⅱ類，抗震等級為一級。設計地震分組為第二組，設計基本地震加速度值為0.15 gal?？蚣芰航孛娉叽鐬?00 mm×1 000 mm，采用C30混凝土，彈性模量為3.0×104MPa，抗壓強度標準值為20.1 MPa，配筋鋼筋彈性模量為2.0×105MPa，屈服強度為413 MPa，極限強度為620 MPa，配筋率為0.96%；框架柱截面尺寸為900 mm×900 mm，采用C35混凝土，彈性模量為31 500 MPa，抗壓強度標準值為23.4 MPa，采用與框架梁相同的鋼筋，配筋率為1.62%?；赟AP2000建立如圖5所示有限元模型，梁柱采用桿系單元模擬，彈塑性變形用塑性鉸單元模擬。結構第一周期為0.556 s。

圖5 框架結構有限元模型Fig.5 Finite element model of frame structure

框架每層沿X，Y兩水平方向各布置4個金屬屈服型阻尼器。為探究采用不同恢復力模型模擬阻尼器而造成的結構響應差異，共設置3個結構進行對比分析，三者主體結構相同，固有阻尼比為0.05，TH0采用Bouc-Wen模型阻尼器，初始剛度取600 kN/mm，屈服位移為1.67 mm，屈服后剛度比取0.01，γ和β均為0.5，A和λ均為1。TH1和TH2的阻尼器為雙線性模型，采用不同的參數(shù)對TH0阻尼器的Bouc-Wen模型在預期位移20 mm下擬合，擬合效果如圖6所示，參數(shù)取值和擬合誤差如表5所示，其中TH0的阻尼器恢復力模型在20 mm下表征的滯回能量為71 022 J。

表5 雙線性模型參數(shù)取值及擬合誤差Tab.5 Parameter values and fitting errors of bilinear models

圖6 雙線性模型擬合效果Fig.6 Fitting effect of bilinear models

在結構主方向(Y方向)輸入El Centro波，將峰值加速度(peak ground acceleration，PGA)分別調幅至55 gal(小震)、150 gal(中震)和310 gal(大震)進行分析[16-17]。小震下在響應峰值較大時段(0～10 s)的頂層絕對位移和絕對加速度時程，如圖7所示。

圖7 TH0，TH1和TH2頂層響應時程Fig.7 Time history of top story response of TH0,TH1 and TH2

Bouc-Wen模型可以在各級位移下精確表征阻尼器耗能，故視TH0為準確結果。與TH0相比，TH1和TH2的時程響應絕對值之和誤差與響應峰值誤差可分別按式(20)和式(21)計算

(20)

(21)

式中：et和ep分別為時程響應絕對值之和誤差與響應峰值誤差；Ai為第i個時間點TH1或TH2的結構響應值；Bi為第i個時間點TH0的結構響應值；Ap為TH1或TH2的結構響應峰值；Bp為TH0的結構響應峰值，結構響應包括位移和加速度；N為地震動時程中時間點個數(shù)。不同PGA下兩種誤差計算結果，如圖8所示。TH1和TH2的層間位移、層間剪力和各層絕對加速度幅值的誤差，如圖9所示。由結果可知，采用雙線性模型模擬阻尼器性能將產(chǎn)生較明顯的響應誤差，中小震下的誤差更為顯著，原因在于中小震下阻尼器耗能能力有明顯區(qū)別，根據(jù)圖6，小位移時Bouc-Wen模型由于屈服段平滑，和兩種雙線性模型相比包絡面積區(qū)別較大，所以中小震下結構響應區(qū)別顯著，而大震下結構位移響應與擬合預期位移相近，各恢復力模型包絡面積相差無幾，故結構響應差別不大。此外，對于較低樓層，結構加速度響應誤差較大；對于較高樓層，結構的層間位移和剪力誤差較大。

圖8 TH1和TH2響應時程誤差Fig.8 Error of response time history of TH1 and TH2

圖9 TH1和TH2響應幅值誤差Fig.9 Error of response amplitude of TH1 and TH2

為了驗證基于Bouc-Wen模型的阻尼器附加有效阻尼比計算方法精度，以TH0結構響應幅值作為計算附加有效阻尼比的標準，得到不同結構在不同強度地震動下的附加有效阻尼比，結果如圖10所示，層間位移需按式(22)轉化為阻尼器位移

圖10 TH0，TH1和TH2附加有效阻尼比Fig.10 Additional damping ratio of TH0，TH1 and TH2

a=xcosθ

(22)

式中：a為阻尼器位移；x為結構層間位移；θ為阻尼器與框架梁夾角。本算例中cosθ取0.85。

由結果可以看出，由于TH1和TH2擬合預期位移是20 mm，因此，在大震下和TH0附加有效阻尼比差別較小，但在中小震下存在較大誤差，其中小震下TH2的誤差達到43.8%，說明雙線性模型僅在擬合預期位移左右計算附加有效阻尼比有較高精度，在其他位移下精度并不理想。此外，TH0和TH1附加有效阻尼比的變化規(guī)律是隨著PGA增大先增后減，而TH2則持續(xù)下降，可見由于擬合參數(shù)取值具有不唯一性，由雙線性模型得到的阻尼比變化規(guī)律不一致、不準確，且易高估阻尼器的減震性能。因此，基于Bouc-Wen模型計算附加有效阻尼比在精度和穩(wěn)定性上均優(yōu)于雙線性模型。

綜上，采用Bouc-Wen模型和雙線性模型計算阻尼器提供給結構的附加有效阻尼比時，結果存在一定差異，尤其是當阻尼器位移與擬合預期位移差異較大時應重視該現(xiàn)象。對于滯回曲線更接近于Bouc-Wen模型的阻尼器，宜選擇該模型而不是雙線性模型并根據(jù)本文提出的解析方法來進行阻尼器的滯回耗能和阻尼比計算、參數(shù)設計及減震結構建模和動力分析。

5 結 論

采用Bouc-Wen模型表征位移相關型阻尼器的滯回特性及阻尼比具有良好的精度，針對該模型的特性及隱式表達的局限性，本文對基于Bouc-Wen模型的附加有效阻尼比計算公式進行了解析推導，并對附加有效阻尼比變化規(guī)律、參數(shù)靈敏度及對結構響應的影響進行了分析。相關結論如下：

(1) 本文提出的基于Bouc-Wen模型的附加有效阻尼比計算公式在不同位移下均有較高的精度，而雙線性模型僅僅在預期位移下能較準確算得附加有效阻尼比，在其他位移下精度較差，且由于參數(shù)取值具有不唯一性，難以穩(wěn)定地體現(xiàn)附加有效阻尼比隨結構位移的變化規(guī)律。

(2) 對于阻尼器本身而言，采用Bouc-Wen模型和雙線性模型算得的附加有效阻尼比有一定的差異，在阻尼器設計和優(yōu)化時應優(yōu)先采用Bouc-Wen模型。對于采用阻尼器的減震結構體系而言，采用不同恢復力模型的阻尼器造成的結構動力響應差異相對弱化，但對于中小震下的減震分析和頂部樓層響應而言，應重視選用雙線性模型引起的誤差。

(3) 附加有效阻尼比隨結構位移先增后減，呈拋物線狀，變化過程大體可分為3個階段：線性上升階段、非線性上升階段、線性下降階段。初始剛度更大、屈服后剛度更小、極限承載力更高且恢復力模型更飽滿的阻尼器，可以為主體結構提供更大的附加有效阻尼比，使結構體系達到更好的減震效果。當阻尼器屈服位移較小時，附加有效阻尼比將更快到達峰值，但其值較小，有利于在中小震下減震，但大震下減震效果不理想。依據(jù)Bouc-Wen模型計算精確的阻尼器阻尼比有利于阻尼器的精細化設計和性能提升。