施思遠(yuǎn)，蔡朝瑞，杜寶良，周林華，孟品超

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

如今，COVID-19對(duì)公共社會(huì)衛(wèi)生安全造成了嚴(yán)重的危害，人們迫切需要對(duì)COVID-19展開(kāi)更全面的研究［1］，從而制定最佳的防控疫情策略。在20年2月初，一艘由日本橫濱出發(fā)的“鉆石公主號(hào)”郵輪成為了COVID-19大規(guī)模爆發(fā)的重災(zāi)區(qū)，在全員人數(shù)僅僅3 700多名的情況下，感染人數(shù)達(dá)到了621例，近16%的人感染。

在過(guò)去的一年里，研究學(xué)者們主要基于SEIR模型對(duì)傳染病傳播動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究。張宇［2］針對(duì)交通工具內(nèi)部空間狹小、乘客之間接觸率高等特點(diǎn)對(duì)SEIR型進(jìn)行改進(jìn)，建立交通工具內(nèi)部新冠肺炎疫情的傳播模型。Wu Joseph T［3］基于人口流動(dòng)性對(duì)SEIR模型進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)人口流動(dòng)性大的城市進(jìn)行新冠肺炎病例數(shù)量預(yù)測(cè)。邱?。?］基于SEIR模型對(duì)地鐵傳染病傳播進(jìn)行仿真預(yù)測(cè)，得到了較為可靠的傳染率參數(shù)。李眩［5］基于元胞自動(dòng)機(jī)建立傳染病傳播和控制仿真模型，驗(yàn)證不同疾病致死率對(duì)疫情傳播的影響。暢春玲［6］通過(guò)建立具有垂直傳播和一般接觸的元胞自動(dòng)機(jī)傳染病模型來(lái)研究不同傳播方式對(duì)疫情傳播的影響。Salathé M，Kazandjieva M［7］基于元胞自動(dòng)機(jī)模型，從行人出行交通方面出發(fā)，探究其對(duì)疫情擴(kuò)散程度的影響。

總體而言，目前對(duì)于傳染病傳播動(dòng)力學(xué)研究主要停留在傳統(tǒng)微分方程SEIR模型或是基于元胞自動(dòng)機(jī)的傳染病傳播模型上，前者是從宏觀(guān)的角度考慮傳染病傳播，對(duì)于人與人之間的接觸和人本身運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性無(wú)法考慮到位，后者是從微觀(guān)角度考慮傳染病傳播，未考慮人員行走路徑多樣化的問(wèn)題，只是簡(jiǎn)單地從疾病擴(kuò)散角度出發(fā)進(jìn)行研究。本文以“鉆石公主號(hào)”郵輪為例，針對(duì)其具有復(fù)雜密閉環(huán)境和人員行走路徑多樣化的特點(diǎn)，分別制定了傳染病傳播演化規(guī)則、行人避讓規(guī)則以及移動(dòng)規(guī)則，基于上述規(guī)則進(jìn)行模擬仿真實(shí)驗(yàn)，并通過(guò)設(shè)置隔離措施、限制人員出行和提高人員防護(hù)措施三個(gè)角度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得出有效合理的疫情防控策略。

1 基于元胞自動(dòng)機(jī)的傳染病傳播模型

1.1 元胞自動(dòng)機(jī)模型原理

元胞自動(dòng)機(jī)（Cellular Automatio，CA）是一個(gè)空間、時(shí)間和狀態(tài)均離散且狀態(tài)隨時(shí)間不斷發(fā)生變化的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)［8］，由元胞的空間構(gòu)型、元胞狀態(tài)、鄰居和元胞演化規(guī)則組成。每一個(gè)元胞自動(dòng)機(jī)系統(tǒng)可以描述為一個(gè)四元組：

其中，Ld表示空間構(gòu)型為d維，空間大小為L(zhǎng)×L的網(wǎng)格空間；S表示元胞空間狀態(tài)集合；N表示以某一元胞為中心的所有元胞組合；f表示元胞狀態(tài)演化規(guī)則函數(shù)的集合。

本文采用Moore型元胞鄰域，如圖1所示。

圖1 Moore型元胞鄰域

1.2 傳染病傳播演化規(guī)則

元胞演化規(guī)則函數(shù)f是一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)：

模型仿真過(guò)程，在t時(shí)刻第i個(gè)個(gè)體的狀態(tài)空間S有以下4種取值：

（1）在t=0時(shí)刻，將n（n<

圖2 感染示意圖

1.3 避讓行走規(guī)則

對(duì)于模型中的障礙物將按照以下步驟進(jìn)行賦值，賦值結(jié)果如圖3所示。

圖3 布局圖掃描賦值結(jié)果圖（網(wǎng)格值×104）

（1）確定場(chǎng)所出入口P(i,j)，對(duì)出入口兩側(cè)元胞賦值為1，并按照離出口越遠(yuǎn)，值逐漸增加的規(guī)則進(jìn)行賦值。

（2）若障礙物以單個(gè)網(wǎng)格形式出現(xiàn)，則值為1。

（3）由出入口P(i,j)兩側(cè)所在的行（或列）開(kāi)始，對(duì)相鄰的行（或列）進(jìn)行掃描，對(duì)于墻壁的網(wǎng)格賦值為1，障礙物網(wǎng)格兩端賦值為1，且由外向內(nèi)逐漸增加。

本文基于經(jīng)典場(chǎng)域模型［10-12］，為使行人產(chǎn)生繞行的行為，現(xiàn)定義“視野距離”的概念：“視野距離”代表行人正前方的一段固定距離，將該固定距離記為dlim。

視野距離最遠(yuǎn)點(diǎn)（虛擬點(diǎn)）稱(chēng)為“決策點(diǎn)”，當(dāng)決策點(diǎn)未“觸碰”到障礙物時(shí)，行人會(huì)朝著目的地方向直線(xiàn)行走；當(dāng)決策點(diǎn)“觸碰”到障礙物時(shí)，如圖4（a），行人的轉(zhuǎn)向選擇取決于決策點(diǎn)左前方和右前方網(wǎng)格值的大小，左前方網(wǎng)格值為5，大于右前方的網(wǎng)格值3，則行人將偏向右方行走，反之行人將偏向左方行走；當(dāng)視野距離內(nèi)的障礙物兩端均為可繞行區(qū)域時(shí)，如圖4（b）。當(dāng)決策點(diǎn)(id,jd)左前方網(wǎng)格值和右前方網(wǎng)格值相等的時(shí)候，行人將會(huì)等概率選擇往左、右轉(zhuǎn)向。

圖4 行人在不同位置處決策點(diǎn)情況

在繞行過(guò)程中，當(dāng)決策點(diǎn)前方存在墻壁或障礙物時(shí)，決策點(diǎn)將會(huì)隨著行人移動(dòng)的方向跟著移動(dòng)，且緊貼著墻壁或障礙物進(jìn)行移動(dòng)，來(lái)保證決策點(diǎn)與行人在同一直線(xiàn)上（如圖4中決策點(diǎn)2′—3′過(guò)程）。而當(dāng)行人成功繞過(guò)墻壁或障礙物時(shí)，決策點(diǎn)和行人的距離恢復(fù)到視野距離dlim。

1.4 移動(dòng)規(guī)則

行人根據(jù)其距各個(gè)目的地場(chǎng)所的歐氏距離和擁擠度兩個(gè)因素進(jìn)行選擇。在前往目的地的過(guò)程中，行人將根據(jù)Moore型鄰域空間的局部靜態(tài)場(chǎng)值和局部動(dòng)態(tài)場(chǎng)值進(jìn)行移動(dòng)［13-14］。

1.4.1 局部靜態(tài)場(chǎng)

對(duì)于局部靜態(tài)場(chǎng)而言，其計(jì)算公式依照以下兩種情況：

（1）當(dāng)dlim=d時(shí)，行人的移動(dòng)方向不受決策點(diǎn)的影響，保持著直線(xiàn)方向朝目標(biāo)場(chǎng)所行走（圖5），該情況下局部靜態(tài)場(chǎng)計(jì)算式如下：

圖5 決策點(diǎn)對(duì)行人無(wú)影響

（2）當(dāng)dlim>d時(shí)，行人的移動(dòng)方向?qū)⑹艿經(jīng)Q策點(diǎn)的影響，此時(shí)行人將轉(zhuǎn)向移動(dòng)（圖6），該情況下局部靜態(tài)場(chǎng)S(i,j)計(jì)算式如下：

圖6 決策點(diǎn)對(duì)行人產(chǎn)生影響

1.4.2 局部動(dòng)態(tài)場(chǎng)計(jì)算公式

對(duì)于局部動(dòng)態(tài)場(chǎng)而言，以行人在全局動(dòng)態(tài)場(chǎng)中所處位置為中心的3×3矩陣值作為局部動(dòng)態(tài)場(chǎng)值。根據(jù)經(jīng)典場(chǎng)域模型理論，當(dāng)(i,j)的元胞有行人經(jīng)過(guò)時(shí)，則在下一時(shí)間步，該元胞動(dòng)態(tài)場(chǎng)值D(i,j)=D(i,j)+1，其中，記擴(kuò)散比例系數(shù)μ=0.1，衰減比例系數(shù)δ=0.2，當(dāng)某一時(shí)刻元胞的動(dòng)態(tài)場(chǎng)值D(i,j)≤ 0.1，則令D(i,j)= 0。

如圖7所示，局部動(dòng)態(tài)場(chǎng)取值于以行人在全局動(dòng)態(tài)場(chǎng)中所處位置為中心的3×3矩陣值，為了與實(shí)際情況相結(jié)合，本模型不考慮行人后退移動(dòng)的情況，從而行人的左后（右后）和正后方網(wǎng)格取值為0，基于該情況，計(jì)算式如下：

圖7 局部動(dòng)態(tài)場(chǎng)取值過(guò)程

其中，D(i,j)為矩陣在全局動(dòng)態(tài)中所對(duì)應(yīng)的位置；ND為局部動(dòng)態(tài)場(chǎng)的歸一化因子，計(jì)算表達(dá)式如下：

綜合前面計(jì)算所得的局部靜態(tài)場(chǎng)和動(dòng)態(tài)場(chǎng)值，可以得到行人的3×3移動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率公式：

其中，kS為靜態(tài)場(chǎng)敏感度參數(shù)；kD為動(dòng)態(tài)場(chǎng)敏感度參數(shù)；ξ(i,j)表示元胞是否被行人所占據(jù)，有行人占據(jù)則值為0，反之取1；N為歸一化因子，用來(lái)保證3×3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣概率之和為1，其計(jì)算表達(dá)式如下：

1.5 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

基于上述人員行走規(guī)則和傳染病傳播模式相互交叉迭代形成最終的元胞自動(dòng)機(jī)系統(tǒng)，從而實(shí)現(xiàn)復(fù)雜密閉環(huán)境下傳染病傳播過(guò)程?，F(xiàn)將建立的模型描述如下：

（1）設(shè)置模型網(wǎng)絡(luò)空間大小，出入口坐標(biāo)集合和障礙物坐標(biāo)集合。

（2）按照傳染病傳播演化規(guī)則模擬COVID-19傳染病傳播過(guò)程。

（3）按照式（10）計(jì)算得到行人移動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，進(jìn)行有目標(biāo)的避讓障礙物行走。當(dāng)出現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)同一網(wǎng)格時(shí)，將按照等概率原則隨機(jī)選取一名個(gè)體進(jìn)入目標(biāo)網(wǎng)格。

（4）在以后的每一個(gè)離散時(shí)刻交叉迭代步驟（2）至步驟（3），模擬COVID-19在郵輪內(nèi)部個(gè)體活動(dòng)過(guò)程中的傳播過(guò)程。

2 以“鉆石公主號(hào)”為例的實(shí)現(xiàn)

2.1 公主號(hào)郵輪

本文選取“鉆石公主號(hào)”郵輪第5層甲板進(jìn)行模擬仿真，該層的基本數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 “鉆石公主號(hào)”第5層甲板基本數(shù)據(jù)表

通過(guò)Netlogo編程平臺(tái)［15-16］，制作了可視化模擬器作為本模型的載體，包括呈現(xiàn)實(shí)時(shí)狀態(tài)，實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)可變參數(shù)，實(shí)時(shí)輸出模擬數(shù)據(jù)等功能，如圖8所示。

圖8 可視化仿真圖像

2.2 模型參數(shù)配置

表2 仿真參數(shù)取值表

2.3 隔離措施對(duì)疫情傳播的影響

為了比較采取隔離措施對(duì)疫情防控的積極影響，借助本模型制作了SEI傳染病模型下的仿真模擬。最大仿真天數(shù)設(shè)置為28天，其中，隔離措施下的隔離者被標(biāo)記為灰色，并移動(dòng)至郵輪環(huán)境外來(lái)保證仿真總?cè)藬?shù)不變且隔離者不對(duì)郵輪內(nèi)部其他人員產(chǎn)生影響。

圖9分別表示采取隔離措施時(shí)仿真時(shí)間為第 3、7、11、15、19和 25天的 COVID-19傳播情況。圖10分別表示未采取隔離措施時(shí)仿真時(shí)間為第3、7、11、15、19和25天的COVID-19傳播情況。此外，本模型利用文獻(xiàn)［2］給出的地鐵站內(nèi)COVID-19傳染率參數(shù)進(jìn)行仿真，參數(shù)取值如表3所示。

圖9 COVID-19隔離條件下的演化過(guò)程

表3 傳染率參數(shù)取值表

圖10 COVID-19自然傳播下的演化過(guò)程

圖9—圖10中的紅色點(diǎn)代表感染者，黃色點(diǎn)代表潛伏者，綠色點(diǎn)代表健康者。通過(guò)圖9和圖10不同時(shí)刻的演化過(guò)程，發(fā)現(xiàn)自然傳播條件下，郵輪內(nèi)部的感染人群數(shù)量不斷增加，而隔離措施下的感染者和潛伏者達(dá)到一定數(shù)量便維持恒定。

圖11（a）中表示的是未隔離情況下，三種人群不同時(shí)刻狀態(tài)曲線(xiàn)圖，從11（a）中可以看出，潛伏者在中期達(dá)到了頂峰，健康者有一個(gè)下降最快的區(qū)間，過(guò)了這段區(qū)間后下降速率減緩，感染者相反，但通過(guò)趨勢(shì)可以看出，健康者人數(shù)最終會(huì)趨于0，感染者人數(shù)將趨于總?cè)藬?shù)450。

圖11 兩種措施下人群感染狀態(tài)趨勢(shì)圖

圖11（b）表示的是隔離情況下，四種人群不同時(shí)刻狀態(tài)曲線(xiàn)圖，從圖11（b）中可以看出，健康者人數(shù)不像圖11（a），有一個(gè)下降最快的區(qū)間，而且潛伏者和感染者人數(shù)一直維持著一個(gè)較低的水平。但從曲線(xiàn)整體趨勢(shì)來(lái)看，健康者依舊會(huì)被全部感染，但所需要的時(shí)間將遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于圖 11（a）所示情況。

兩幅圖對(duì)比之后可以看出，采取隔離措施能有效的減緩COVID-19傳播速度，并抑制其進(jìn)一步擴(kuò)散，而未采取隔離措施時(shí)，COVID-19傳播情況等同于自然狀態(tài)下的SEI傳播特征，隨著后續(xù)仿真天數(shù)進(jìn)一步延長(zhǎng)，健康者均會(huì)被感染。

2.4 行人出行對(duì)疫情傳播的影響

考慮當(dāng)模擬過(guò)程中出現(xiàn)第一例感染者時(shí)，便限制行人出行，由原來(lái)的所有行人均可出行調(diào)整為75%、50%和25%的行人可以外出。

對(duì)比上述采取隔離措施情形，得到不同限制條件下的行人出行數(shù)量對(duì)疫情傳播的影響，如圖12所示。其中，曲線(xiàn)表示的是健康者隨時(shí)間的數(shù)量變化。從圖12看出，限制行人出行的防控效果十分有效，且隨著限制力度的提高，即出行人數(shù)的下降，感染人數(shù)將得到有效的控制，圖中當(dāng)限制75%的行人出行時(shí)，對(duì)疫情的控制效果和隔離措施條件下的控制效果相當(dāng)，且在后期顯示出來(lái)的防控效果優(yōu)于采取隔離措施條件。

圖12 限制行人出行對(duì)疫情傳播的影響

2.5 個(gè)人防護(hù)措施對(duì)疫情傳播的影響

考慮人群對(duì)疫情的重視，采取一定的防護(hù)措施（例如戴口罩等）降低潛伏者和感染者傳染健康人群的傳染幾率，此時(shí)對(duì)于這部分人群，傳染率參數(shù)取值調(diào)整如表4所示。

表4 采取防護(hù)措施后傳染率取值表

對(duì)比上述采取隔離措施情形，得到采取防護(hù)措施對(duì)疫情傳播的影響如圖13所示。從圖13看出，采取個(gè)人防護(hù)措施在一定程度上能減緩COVID-19傳播程度，但效果不如采取隔離措施好。

圖13 防護(hù)措施對(duì)疫情傳播的影響

2.6 仿真結(jié)果分析

通過(guò)上述數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，人口流動(dòng)性會(huì)增大疫情的傳播規(guī)模，因此當(dāng)出現(xiàn)新冠肺炎疫情時(shí)，行人需要盡量降低外出的頻率，此外，為了降低疫情在密閉復(fù)雜環(huán)境中的傳播概率，需要采取個(gè)人防護(hù)措施，并且盡量遠(yuǎn)離人群。最后，在進(jìn)行流行病調(diào)查時(shí)，一旦發(fā)現(xiàn)確診的感染者，需要及時(shí)地采取隔離措施防止疫情繼續(xù)的擴(kuò)散。

3 結(jié)論

本文將復(fù)雜密閉環(huán)境下的COVID-19傳播模型通過(guò)人員行走與傳染病傳播交叉迭代的方式進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，較為真實(shí)地還原了郵輪內(nèi)部人員日常出入場(chǎng)所的行為特征，符合現(xiàn)實(shí)情況。

從仿真結(jié)果可以看出，將元胞自動(dòng)機(jī)理論借助Netlogo仿真工具去實(shí)現(xiàn)的方法適用于各類(lèi)仿真模擬實(shí)驗(yàn)，既避免了傳統(tǒng)的微分方程帶來(lái)的復(fù)雜計(jì)算量，又客觀(guān)有效地反映了疾病傳播的動(dòng)態(tài)過(guò)程，得到了是否采取隔離措施、是否采取防護(hù)措施以及限制不同出行人數(shù)對(duì)COVID-19傳播的影響，通過(guò)模型的仿真結(jié)果得到，當(dāng)疫情發(fā)生時(shí)，采取個(gè)人防護(hù)措施并減少外出是防范疫情的最佳策略。