趙向陽， 趙 聰， 王 鵬， 梁曉陽， 楊 謀

（1.中石化石油工程技術(shù)研究院有限公司, 北京 102206；2.中國石油冀東油田公司陸上作業(yè)區(qū)生產(chǎn)建設(shè)保障中心, 河北唐山 063000；3.油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（西南石油大學(xué)）, 四川成都 610500）

很多陸上探井的完鉆井深超過8 000 m，如塔里木油田輪探1井和滿深3井的完鉆井深分別為8 882 和 8 010 m；順北油田鷹 1 井、蓬 1 井和順北 5-5H井的完鉆井深分別為 8 588，8 450 和 8 520 m[1–2]。隨著井深增加，地層溫度快速上升，井深8 000 m處的初始地層溫度已超過180 ℃。井下高溫對保持鉆井液和固井水泥漿性能、防止鉆具腐蝕產(chǎn)生不利影響。因此，國內(nèi)外學(xué)者基于數(shù)值模型和解析模型預(yù)測和分析鉆進(jìn)中的井筒溫度分布特征，為鉆前優(yōu)化鉆井液等工作液的性能、優(yōu)選鉆具和測量工具提供依據(jù)。

其中，通過數(shù)值模型求解，即基于能量守恒原理，考慮井筒–地層各控制區(qū)域在徑向上和軸向上的熱交換機(jī)理，建立井筒–地層瞬態(tài)傳熱模型（井筒–地層傳熱數(shù)值模型），并應(yīng)用有限差分法和有限元法對該模型求解[3]。截至目前，相關(guān)學(xué)者已開展了直井和水平井井筒溫度敏感因素分析[4–5]，結(jié)合不同鉆井完井工況，論述了溢流、非循環(huán)時(shí)間及水泥漿水化熱對井筒溫度分布的影響[6–9]。為了降低數(shù)值模型的求解難度，A.R.Hasan 等人[10–11]應(yīng)用無因次時(shí)間溫度，將井筒–地層間熱交換表征為擬穩(wěn)態(tài)傳熱過程，鉆柱內(nèi)和環(huán)空中的流體為穩(wěn)態(tài)傳熱過程，建立了井筒擬穩(wěn)態(tài)傳熱模型（井筒–地層傳熱解析模型）。基于此方法，唐林等人[12]研究了循環(huán)時(shí)間、注入排量對超深井鉆井井筒溫度的影響，竇亮彬等人[13]分析了影響注CO2井筒溫度的因素，Nian Yongle等人[14]評價(jià)了廢棄油井的地?zé)豳Y源潛能，李勇等人[15–16]考察了漏失工況下井筒溫度分布以及氣井井筒溫度對水泥環(huán)應(yīng)力的影響特征。

文獻(xiàn)調(diào)研可知[17–20]，數(shù)值模型和解析模型廣泛應(yīng)用于鉆井、開采中井筒溫度分布特征分析，為高溫井井筒流體流動安全與壓力控制提供了重要的分析方法。井下溫度需要精細(xì)化評價(jià)，如水泥漿溫度差值為5 ℃時(shí)，其稠化時(shí)間有1 h左右的誤差，若井下溫度預(yù)測過低，可能導(dǎo)致水泥漿在套管內(nèi)提前凝固。同時(shí)，井下循環(huán)溫度預(yù)測過低會縮短定向工具使用壽命，增加鉆井成本。此外，準(zhǔn)確預(yù)測井下溫度，可為研發(fā)、優(yōu)選鉆井液、水泥漿、完井液及壓裂液等工作液提供依據(jù)[21]。然而，目前尚未深入分析井筒–地層瞬態(tài)傳熱模型和井筒擬穩(wěn)態(tài)傳熱模型計(jì)算精度及影響其計(jì)算精度的因素，對傳熱模型的應(yīng)用條件與范圍還不清楚。為此，筆者基于微分單元能量守恒原理，建立了鉆井流體循環(huán)期間井筒–地層傳熱數(shù)值模型和井筒–地層傳熱解析模型，并對其進(jìn)行了求解，然后以順北油田某超深井井身結(jié)構(gòu)、鉆井參數(shù)及測溫?cái)?shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分析了2種模型的井筒溫度計(jì)算精度及其影響因素，以期為科學(xué)實(shí)時(shí)評價(jià)超深井井筒溫度提供依據(jù)。

1 井筒–地層傳熱物理模型

鉆進(jìn)時(shí)，鉆井流體循環(huán)過程中井筒–地層各控制區(qū)域（包括鉆柱內(nèi)流體、鉆柱壁、環(huán)空流體、井壁及近井壁地層）為耦合體，一個控制區(qū)域熱量的變化會影響其他區(qū)域熱量的改變。因此，井筒–地層各控制區(qū)域發(fā)生復(fù)雜的熱交換方式，會使鉆柱內(nèi)和環(huán)空流體溫度隨鉆進(jìn)時(shí)間變化。

研究井筒流體溫度變化時(shí)，需建立井筒–地層瞬態(tài)傳熱模型并進(jìn)行求解，以獲得鉆柱內(nèi)和環(huán)空流動流體的溫度變化特征。鉆進(jìn)時(shí)鉆柱內(nèi)與環(huán)空流體溫度的變化情況（物理模型）如圖1所示（圖1中：qp(z)為鉆柱內(nèi)流體向下流入微元體的熱量，J；Δz為微元體長度，m；qp(z+Δz)為鉆柱內(nèi)流體向下流出微元體的熱量，J；qpf為單位長度鉆柱內(nèi)流體循環(huán)摩阻產(chǎn)生的熱量，J；qpa為鉆柱內(nèi)流體與鉆柱內(nèi)壁面交換的熱量，J；qa(z+Δz)為環(huán)空內(nèi)流體向上流入微元體的熱量，J；qa(z)為環(huán)空內(nèi)流體向上流出微元體的熱量，J；qaf為單位長度環(huán)空內(nèi)流體循環(huán)摩阻產(chǎn)生的熱量，J；qFa為從井壁傳入環(huán)空的熱量，J；qap為從環(huán)空傳入鉆柱的熱量，J；tp為鉆柱內(nèi)流體溫度，℃；tw為鉆柱壁溫度，℃；ta為環(huán)空流體溫度，℃；tc1為井壁溫度，℃；ti，j為地層中空間網(wǎng)格第i行第j列的溫度，℃）。

圖1 鉆進(jìn)中鉆柱內(nèi)與環(huán)空流體溫度的變化Fig.1 Fluid temperature variations in the drill string and annulus during drilling

鉆井液在地面以溫度tin從鉆柱內(nèi)向下流動，鉆柱內(nèi)流動傳熱控制單元的熱量變化包括：1）向下流入的熱量qp(z)與流出熱量之差qp(z+Δz)；2）鉆柱內(nèi)壁以熱對流方式傳入鉆柱內(nèi)流體的熱量qpa；3）流體循環(huán)摩阻產(chǎn)生的熱量qpf。流體向下流經(jīng)鉆頭噴嘴后流入環(huán)空，在井底鉆柱內(nèi)流體的溫度與環(huán)空流體的溫度相同。在環(huán)空向上流動過程中，控制單元熱量變化包括：1）向上流入的熱量qa(z+Δz)與流出熱量之差qa(z)；2）鉆柱外壁以熱對流方式傳入鉆柱壁的熱量qap；3）井壁以熱對流方式傳入環(huán)空的熱量qFa；4）流體循環(huán)摩阻產(chǎn)生的熱量qaf。流體經(jīng)一個循環(huán)周期從環(huán)空返至地面。

2 井筒–地層傳熱數(shù)值模型

基于井筒–地層各控制區(qū)域的能量守恒原理，分別建立了鉆柱內(nèi)流體、鉆柱壁、環(huán)空流體及近井壁地層溫度數(shù)值模型（統(tǒng)稱為井筒–地層傳熱數(shù)值模型），并采用全隱式有限差分法求解了該模型。

2.1 鉆柱內(nèi)流體傳熱模型

結(jié)合圖1所示物理模型反映的傳熱機(jī)理，建立鉆柱內(nèi)傳熱模型[6]。在時(shí)間dt內(nèi)，鉆柱內(nèi)鉆井液向下流動攜帶進(jìn)入單元體的熱量為：

在時(shí)間dt內(nèi)，鉆柱內(nèi)鉆井液與鉆柱內(nèi)壁在徑向上對流換熱產(chǎn)生的熱量為：

令單位長度的功率為Qp，則外界對單元體做功產(chǎn)生的熱量為：

在時(shí)間dt內(nèi)，鉆柱內(nèi)單元體流體內(nèi)能的變化為：

基于能量守恒，對式（1）—式（4）整理可得：

等式兩邊同時(shí)除以 ?zdt，則有：

由微分基本定義， tp(z+?z) ? tp(z)≈ ?tp ，整理可得：?z?z

式中： ρm為 鉆井液密度，kg/m3；cm為鉆井液比熱容，J/（kg·℃）；hci為鉆柱內(nèi)壁面對流換熱系數(shù)，W/（m2·℃）；Q為鉆井液排量，m3/s；Qp為鉆柱內(nèi)流體熱源項(xiàng)，W/m；r0為鉆柱內(nèi)徑，m；t為時(shí)間，s。

2.2 鉆柱壁傳熱模型

鉆柱壁溫度與鉆柱內(nèi)鉆井液和環(huán)空鉆井液的熱對流相關(guān)。鉆柱壁熱量變化因素包括：軸向上，鉆柱熱傳導(dǎo)產(chǎn)生的熱量；徑向上，在鉆柱外壁和鉆柱內(nèi)部由熱對流傳入鉆柱壁和鉆柱內(nèi)流體的熱量；單位時(shí)間內(nèi)單元體內(nèi)能的變化。用數(shù)學(xué)模型可表示為：

式 中 ： ρw為 鉆 柱 密 度 ，kg/m3；cw為 鉆 柱 比 熱 容 ，J/（kg·℃）； λw為 鉆柱導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·℃）；hco為鉆柱外壁面對流換熱系數(shù)，W/（m2·℃）；r1為鉆柱外徑，m。

2.3 環(huán)空流體傳熱模型

影響環(huán)空鉆井液溫度的因素包括：1）鉆井液沿井筒向上流動時(shí)攜帶的熱量；2）井壁和鉆柱外壁發(fā)生熱對流獲得的熱量；3）外界對單元體流體所做的功；4）鉆井液自身內(nèi)能的變化。據(jù)此，環(huán)空流體傳熱數(shù)學(xué)模型可表示為：

式中：hb為井壁對流換熱系數(shù)，W/（m2·℃）；r2為井壁半徑，m；Qa為環(huán)空內(nèi)流體熱源項(xiàng)，W/m。

2.4 井壁傳熱模型

井壁由套管段和裸眼段（巖石）構(gòu)成，則影響井壁溫度的因素有：軸向上，熱傳導(dǎo)獲得的熱量；徑向上，與內(nèi)層水泥環(huán)/巖石發(fā)生熱傳導(dǎo)、與環(huán)空鉆井液產(chǎn)生對流換熱；自身內(nèi)能的變化。據(jù)此，井壁傳熱數(shù)學(xué)模型可表示為：

式中： λc1為套管/巖石的導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·℃）； λo1為水泥環(huán)/巖石的導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·℃）；tc2為井水泥環(huán)/巖石溫度，℃； ρc1為 套管/巖石的密度，kg/m3；cc1為套管/巖石的比熱容，J/（kg·℃）；r3為套管外徑，m。

2.5 近井壁地層傳熱模型

近井壁各控制區(qū)域包括多層套管、水泥環(huán)及地層，其熱交換可看作單一圓筒壁在軸向和徑向上的熱傳導(dǎo)。據(jù)此，傳熱模型可表示為：

式中：tfk為套管、水泥環(huán)或巖石的溫度，℃； ρfk為套管、水泥環(huán)或巖石的密度，kg/m3；cfk為套管、水泥環(huán)或巖石的比熱容，J/（kg·℃）； λfk為套管、水泥環(huán)或巖石的導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·℃）；k為套管層級大小，通常4 ≤k≤ 11。

2.6 井筒–地層傳熱數(shù)值模型求解

上述井筒–地層傳熱數(shù)值模型涉及多個偏微分方程組。對此，采用全隱式有限差分法對該模型進(jìn)行求解：

把所有節(jié)點(diǎn)的有限差分方程用矩陣形式表示：

式中： αij， βij， γij， δij和 λij均為矩 陣 系數(shù) ；i,j分 別 為徑向和軸向上的空間網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)；n為時(shí)間節(jié)點(diǎn)。

結(jié)合式（12）的離散形式，將上述偏微分方程在時(shí)間上和空間上離散，并合并空間和時(shí)間節(jié)點(diǎn)相同的溫度項(xiàng)，構(gòu)建微分方程的離散格式。以式（7）為例，具體偏微分方程的離散格式為：

式中：下標(biāo)0，1分別代表鉆柱內(nèi)流體和鉆柱壁。

將井筒–地層各區(qū)域的瞬態(tài)傳熱模型及邊界條件均按照式（14）離散，構(gòu)成多個微分方程組（如式（13）），然后應(yīng)用全隱式有限差分法對方程組進(jìn)行求解。

3 井筒–地層傳熱解析模型

基于微分單元體能量平衡原理，建立了鉆柱內(nèi)和環(huán)空流體熱量平衡方程（統(tǒng)稱為井筒–地層傳熱解析模型），但建立模型時(shí)簡化了地層和井筒間的熱交換。建立后，對該解析模型進(jìn)行了求解。

3.1 環(huán)空流體傳熱模型

從地層遠(yuǎn)處傳遞到井筒的總熱量qf可表示為[10]：

式中： λf為地層導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m·℃）；ti為初始地層溫度，℃ ；tD為無因次溫度，計(jì)算方法可參考文獻(xiàn)[11]。

根據(jù)傅里葉熱傳導(dǎo)定律，地層與環(huán)空流體交換的熱量qa可表示為[12]：

式中，Ua為鉆井流體循環(huán)時(shí)環(huán)空內(nèi)流體與地層之間的綜合傳熱系數(shù)，W/（m·℃） 。

聯(lián)立式（15）和式（16）消除tc1，可得：

其中

3.2 鉆柱內(nèi)流體傳熱模型

根據(jù)能量守恒原理，鉆柱內(nèi)流體與環(huán)空內(nèi)流體交換的熱量qp可表示為：

其中

式中，Up為鉆柱內(nèi)流體與環(huán)空內(nèi)流體間的綜合傳熱系數(shù)，W/（m·℃）。

3.3 井筒–地層傳熱解析模型求解

基于鉆柱內(nèi)和環(huán)空流體微分單元能量守恒原理，對井筒–地層傳熱解析模型進(jìn)行求解：

其中

式中：Gt為地溫梯度，℃/100m；H為井深，m；tb為鉆頭壓降產(chǎn)生的溫度，℃；tfp和tfa分別為鉆柱內(nèi)和環(huán)空內(nèi)流體流動摩阻產(chǎn)生的溫度，℃；tin和ts分別為入口溫度和地表溫度，℃。

4 算例分析

以順北油田某超深井為例，利用該井井身結(jié)構(gòu)與鉆井參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算分析。

該井用?444.5 、?311.1 和?215.9 mm 鉆頭分別鉆至井深 800，3 065 及 6 348 m，下入?339.7、?250.8及?177.8 mm 套管。在井深 6 099 m 處造斜，井眼曲率為7.46°/30 m，靶點(diǎn)A和靶點(diǎn)B對應(yīng)井深分別為6 353 和 6 759 m，井斜角為 30.35°。6 348～6 750 m井段采用?149.2 mm鉆頭鉆進(jìn)，鉆進(jìn)中鉆井液排量為 16 L/s，密度為 1.35 kg/L，塑性黏度為 22 mPa·s，動切力為 8 Pa，比熱容為 2 600 J/（kg·℃）、導(dǎo)熱系數(shù)為0.32 W/（m·℃）。鉆具主要由?88.9 mm 加重鉆桿和?101.6 mm 鉆桿組成。

以井深6 750 m處鉆井參數(shù)為參考，地表溫度與流體入口溫度分別為10和30 ℃，地溫梯度為2.467 ℃/100m，利用井筒–地層傳熱數(shù)值模型和解析模型計(jì)算鉆柱內(nèi)和環(huán)空流體的溫度分布，結(jié)果見圖2和圖3。

從圖2和圖3可以看出，2種模型計(jì)算出的環(huán)空流體溫度均高于鉆柱內(nèi)流體溫度，表明鉆井液從鉆柱內(nèi)向下流動過程中不斷被環(huán)空鉆井液加熱，距井底越近，溫度越高。

圖2 數(shù)值模型計(jì)算的鉆柱內(nèi)與環(huán)空流體的溫度分布Fig.2 Fluid temperature distributions in the drill string and annulus calculated by numerical model

圖3 解析模型計(jì)算的鉆柱內(nèi)與環(huán)空流體的溫度分布Fig.3 Fluid temperature distributions in the drill string and annulus calculated by analytical model

對比圖2和圖3可知，環(huán)空流體和鉆柱內(nèi)流體的溫度差，數(shù)值解小于解析解，2種模型計(jì)算結(jié)果的差值分別為5 ℃和13 ℃左右。導(dǎo)致該結(jié)果的主要原因是：建立解析模型時(shí)忽略了鉆柱內(nèi)外壁對熱對流交換的影響，采用綜合傳熱系數(shù)表示環(huán)空流體與鉆柱內(nèi)流體的熱交換（如式（20）中Up），鉆進(jìn)中，鉆柱內(nèi)外鉆井液與壁面進(jìn)行強(qiáng)烈的對流換熱，交換的熱量遠(yuǎn)高于熱傳導(dǎo)方式下的熱量；若僅用綜合傳熱系數(shù)Up來表述徑向上鉆柱內(nèi)外壁面的熱交換，減弱了熱交換效率，使環(huán)空流體熱量不能有效傳遞至鉆柱內(nèi)。因此，解析模型下的環(huán)空流體溫度要遠(yuǎn)高于鉆柱內(nèi)流體溫度。

未鉆進(jìn)時(shí)，井筒–地層達(dá)到熱力學(xué)平衡狀態(tài)，鉆柱內(nèi)與環(huán)空流體的溫度與初始地層溫度接近。鉆進(jìn)中井筒–地層為耦合體，流體循環(huán)不斷將下部井段地層熱量攜帶到地面，使下部井段流體溫度低于初始地層溫度，而上部井段高于初始地層溫度。因此，井筒流體與近井壁地層溫度間互相影響，即井筒–地層傳熱為瞬態(tài)過程。將圖2和圖3中溫度分布與初始地層溫度分布進(jìn)行對比可知，解析模型得到的鉆柱內(nèi)與環(huán)空流體的溫度均遠(yuǎn)低于初始地層溫度。導(dǎo)致該現(xiàn)象的原因是：建立解析模型時(shí)對瞬態(tài)傳熱進(jìn)行了簡化，采用無因次溫度tD表示地層-井筒間熱量傳遞的擬穩(wěn)態(tài)過程，見式（15）。同時(shí)，用綜合傳熱系數(shù)Ua表示流體循環(huán)時(shí)井壁與環(huán)空流體間的熱交換效率，見式（16）。2種因素的共同作用，使解析模型計(jì)算出的鉆柱內(nèi)與環(huán)空流體的溫度低于數(shù)值模型。

根據(jù)MWD實(shí)測數(shù)據(jù)，鉆進(jìn)10 h后環(huán)空溫度為156.5 ℃?；诖耍脭?shù)值模型和解析模型計(jì)算環(huán)空流體溫度，結(jié)果見圖4所示。

圖4 數(shù)值模型和解析模型計(jì)算的環(huán)空流體溫度Fig.4 Fluid temperature in the annulus calculated by numericaland analytical models

從圖4可以看出，數(shù)值模型和解析模型計(jì)算出的井底溫度分別為158.79和145.64 ℃，兩者相差13.15 ℃，與實(shí)測溫度相比，2種模型的計(jì)算誤差分別為1.46%和6.94%，表明數(shù)值模型的計(jì)算精度遠(yuǎn)高于解析模型。因此，進(jìn)行鉆進(jìn)中井筒溫度預(yù)測與評價(jià)研究時(shí)，推薦使用數(shù)值模型。

為了解近井壁地層溫度擾動特征，利用數(shù)值模型計(jì)算了近井壁地層溫度與環(huán)空流體溫度之差的分布情況（見圖5），分析流體循環(huán)對近井壁溫度的影響。

圖5 近井壁溫度與環(huán)空流體溫度差分布Fig.5 Distribution of the difference between the temperature near well walls and that of annular fluid

從圖5可以看出：井深5 100 m以深，近井壁地層溫度高于環(huán)空流體溫度，表明循環(huán)鉆井液時(shí)攜帶了下部井段近井壁地層熱量；井深5 100 m以淺，近井壁地層溫度低于環(huán)空流體溫度，表明鉆井液在環(huán)空向上流動過程中攜帶下部地層熱量并不斷加熱上部地層，使環(huán)空流體溫度高于初始地層溫度（見圖2）。同時(shí)，距井壁越近，環(huán)空流體溫度與地層溫度的差越??；反之，距井壁越遠(yuǎn)，環(huán)空流體溫度與地層溫度的差越大。距井壁1.07和2.84 m處的地層溫度與環(huán)空流體溫度之差幾乎相等，表明2種距離的地層溫度也相等，也說明鉆進(jìn)中鉆井液循環(huán)對近井壁地層的擾動距離在 1.07 m 左右。井深 6 348 m 處，近井壁地層溫度與環(huán)空流體溫度之差發(fā)生波動，由于技術(shù)套管下至該處，套管與地層的導(dǎo)熱系數(shù)（分別為 43.2 和 2.05 W/（m·℃））不同引起該現(xiàn)象。因此，計(jì)算井筒–地層瞬態(tài)溫度時(shí)，需要考慮井身結(jié)構(gòu)對近井壁地層傳熱效率的影響，使計(jì)算結(jié)果更能深入揭示流體循環(huán)條件下井筒–地層各控制區(qū)域的傳熱機(jī)理與溫度演變特性。

5 結(jié) 論

1）基于微分單元能量平衡原理，建立了鉆進(jìn)流體循環(huán)時(shí)的井筒–地層傳熱數(shù)值模型和井筒–地層傳熱解析模型，分別應(yīng)用全隱式有限差分法和解析法對2種模型進(jìn)行了求解。計(jì)算結(jié)果表明，下部井段環(huán)空流體溫度低于初始地層溫度，上部井段環(huán)空流體溫度高于初始地層溫度。

2）解析模型應(yīng)用無因次時(shí)間函數(shù)簡化了遠(yuǎn)處地層傳入近井壁的熱交換方式，采用綜合傳熱系數(shù)表征近井壁地層傳入環(huán)空的熱量。同時(shí)，解析模型應(yīng)用綜合傳熱系數(shù)表示環(huán)空流體與鉆柱內(nèi)流體間的熱交換，忽略了鉆柱內(nèi)外壁熱對流的熱交換作用，導(dǎo)致解析模型計(jì)算出的鉆柱內(nèi)與環(huán)空流體的溫度低于數(shù)值模型。

3）近井壁地層溫度數(shù)值模型能有效解釋鉆進(jìn)中環(huán)空流體與近井壁溫度演變特性，結(jié)合實(shí)測結(jié)果可知，數(shù)值模型和解析模型的計(jì)算誤差分別為1.46%和6.94%，兩者計(jì)算結(jié)果之差為13.15 ℃。推薦采用數(shù)值模型進(jìn)行井筒瞬態(tài)溫度預(yù)測。