張賽男

(吉林師范大學數(shù)學學院,吉林 長春 130000)

0 引 言

廣義系統(tǒng)的研究早已從基礎(chǔ)知識向更深層次的研究深入發(fā)展,并依次涉及到了從線性廣義系統(tǒng)到非線性廣義系統(tǒng),用微分方程研究連續(xù)系統(tǒng)到用差分方程離散系統(tǒng),從有確定性到無確定性研究,從無時滯到有時滯,從線性二次型的最優(yōu)控制發(fā)展到H2和H∞的優(yōu)化控制等各個方面的研究,同時也在眾多領(lǐng)域中都取得了優(yōu)秀的成果,并沿用至今.近年來,H2控制和H∞控制早已成為控制理論的熱門課題,有著更廣泛更深層次的應用發(fā)展前景,H2和H∞控制也受到眾多學者研究的重要研究對象,盡管通過定義可以計算出H2范數(shù)的結(jié)果,但是因為只用定義計算起來較為復雜,所以在很多的應用中通常都采用更簡單的狀態(tài)空間方法也叫做時域方法來計算該范數(shù),在一些文獻中雖然給出了定理和引理,但相應的證明過程只給出了其中的一部分,而對另一方面的證明過程并沒有,這里將對沒有證明的問題進行證明來完善其證明過程.

1 預備知識

y(t)=Cx(t)

(1)

其中:x(t)∈Rn,u(t)∈Rm和y(t)∈Rl分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、輸入和輸出向量,E是奇異矩陣,其余皆為具有相應維數(shù)的定常矩陣,假定degdet(sE-A)=r

其中,N∈R(n-r)×(n-r)是冪零矩陣,且冪零指數(shù)為h,其他矩陣塊皆有相對應的維數(shù).令Q-1x(t)=[x1(t)/x2(t)],此時得到該廣義系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=C(sE-A)-1B.

定義1傳遞函數(shù)G(s)的H2范數(shù)定義為

由帕塞瓦爾定理有

其中g(shù)(t)表示G(s)的卷積核,或稱為系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)矩陣.

定理1考慮廣義系統(tǒng)(E,A,B,C)和第一種受限等價變換形式,則有下面三個命題是等價的:

1.4 統(tǒng)計學方法 采用SPSS 22.0軟件進行統(tǒng)計學分析，計量資料以均數(shù)±標準差表示，比較采用獨立樣本t檢驗；計數(shù)資料以例(百分率)表示，比較采用χ2檢驗；采用多因素回歸分析對急性缺血性腦卒中的獨立影響因素進行分析；采用Spearman等級相關(guān)分析對急性缺血性腦卒中與各影響因素間的相關(guān)性進行分析。以P<0.05為差異有統(tǒng)計學意義。

(1)傳遞函數(shù)G(s)是嚴格真的;

(2)G(∞)=0;

(3)C2NiB2=0,i=1,2,…,h-1.

2 主要結(jié)論

引理1如果廣義系統(tǒng)(1)是容許的,則李雅普諾夫方程

(2)

存在滿足

rank(EX)=rank(X)

(3)

的惟一半正定實解X.

由上式及A1穩(wěn)定得W1=X1,另外對所滿足的條件來說,將解X代入就可以得到

于是對應著就有W3=0.因此惟一性得證.

基于上述給出的李雅普諾夫方程和存在滿足條件,給出如下H2范數(shù)的時域計算方法.

定理2如果廣義系統(tǒng)是容許的且傳遞函數(shù)G(s)是嚴格真的,則

其中,R是廣義李雅普諾夫方程(2)和滿足條件(3)的惟一半正定解.

證明因為廣義系統(tǒng)無脈沖即A1穩(wěn)定且N=0,則有

取拉普拉斯逆變換可得

于是有

g(t)=φ-1{(sE-A)-1}=

C1eA1tB1-δ(t)C2B2

又因為傳遞函數(shù)G(s)是嚴格真的,則通過定理1就可以得到

g(t)=C1eA1tB1

因此根據(jù)定義1就可以得到H2的范數(shù)的表達式

(4)

(5)

3 結(jié) 語

此次主要解決了H2范數(shù)的時域計算方法問題,同時對沒有出現(xiàn)過的證明過程進行了補充完善,并且也了解關(guān)于H2范數(shù)的定義和廣義系統(tǒng)在無脈沖時的等價條件,也為接下來研究H2最優(yōu)控制提供了理論基礎(chǔ).該方法主要從連續(xù)廣義系統(tǒng)的角度進行研究,這種方法為之后研究離散的H2控制帶來了很大便利,同樣為之后研究時滯的帶有不確定性的H2魯棒控制提供了相應的結(jié)論.