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        地震多級(jí)散射波正演模擬方法*

        2022-08-23 11:08:58吳國(guó)忱李青陽(yáng)楊凌云單俊臻
        地震學(xué)報(bào) 2022年4期
        關(guān)鍵詞:背景模型

        張 博 吳國(guó)忱 李青陽(yáng) 楊凌云 單俊臻

        (中國(guó)山東青島 266580 中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)

        引言

        廣義而言,一切由地球三維非均勻體擾動(dòng)所引起地震波的變化均可稱(chēng)為地震波散射;狹義上,地震波散射現(xiàn)象通常是指摒除廣義概念中可以用幾何光學(xué)(射線(xiàn))理論表征的由大尺度非均勻體擾動(dòng)引起的地震波旅行時(shí)和振幅變化的部分,由剩余地球三維非均勻體擾動(dòng)所引起的地震波場(chǎng)畸變現(xiàn)象(吳如山等,1993;李燦蘋(píng)等,2005).而實(shí)際地下地質(zhì)構(gòu)造十分復(fù)雜,各種尺度的非均質(zhì)體共同存在,地面檢波器接收到的往往是多波互相干涉的復(fù)雜地震波場(chǎng)信息,地震散射波作為地震波的一種,它是由入射波與地下的非均勻體相互作用而產(chǎn)生的波,因此地面接收到的散射波中攜帶了大量源于散射體的構(gòu)造和巖性信息,具有對(duì)地下縫、洞等小尺度非均質(zhì)體進(jìn)行精細(xì)刻畫(huà)的潛力.而對(duì)裂縫-孔洞型等非均勻體散射體進(jìn)行散射波場(chǎng)正演模擬,分析此類(lèi)介質(zhì)的散射波場(chǎng)特征是利用散射波分析研究地下散射體的基礎(chǔ).

        對(duì)散射波場(chǎng)的正演模擬是識(shí)別散射波的基礎(chǔ).Wu和Huang (1992)采用相位屏算子,模擬了二維垂直變背景情況下的散射場(chǎng);Wu等(1995)引入De Wolf近似和相屏算子,計(jì)算了三維常背景情況下的背向散射場(chǎng);符力耘等(1998)利用擾動(dòng)理論,建立了用均勻介質(zhì)格林函數(shù)作為基本解的體積分方程,給出了配置法求解體積分方程的數(shù)值方法;田麗花(2007)采用相位移法在f-k域?qū)Φ卣鹕⑸洳▓?chǎng)進(jìn)行了波動(dòng)方程正演模擬;劉鐵華(2012)設(shè)計(jì)了一種基于微擾論的f-k域積分法,在散射場(chǎng)的二次震源和空間能量衰減處理兩方面進(jìn)行了改進(jìn),提高了計(jì)算精度和效率;Eaton和David (1999)采用波恩(Born)近似和射線(xiàn)理論近似方法,計(jì)算了格林函數(shù)的三維彈性波弱散射場(chǎng);奚先(2018,2020)采用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(convolution neural network,縮寫(xiě)為CNN)對(duì)散射波進(jìn)行識(shí)別,大致識(shí)別出測(cè)試模型中散射點(diǎn)的準(zhǔn)確位置及復(fù)雜偏移剖面中的各散射體的位置.

        上述研究主要是對(duì)一次散射波進(jìn)行模擬,本文則推導(dǎo)多級(jí)散射波和各級(jí)散射波微分方程,并基于此采用高階有限差分對(duì)能夠產(chǎn)生多級(jí)散射波的散射體模型進(jìn)行正演模擬,分析多級(jí)散射波的地震響應(yīng)特征,以推斷地下散射體的分布情況和性質(zhì).

        1 基礎(chǔ)理論

        根據(jù)介質(zhì)分解理論,將地下介質(zhì)分解為背景介質(zhì)和擾動(dòng)介質(zhì)(圖1).震源激發(fā)產(chǎn)生的入射波在背景介質(zhì)中的波場(chǎng)稱(chēng)為背景波場(chǎng),背景介質(zhì)所對(duì)應(yīng)的速度稱(chēng)為背景速度c0.入射波與擾動(dòng)介質(zhì)相互作用所產(chǎn)生的波場(chǎng)稱(chēng)為散射波場(chǎng)u(sr,ω),散射波場(chǎng)可以看作是觀測(cè)波場(chǎng)與背景波場(chǎng)之差(符力耘等,1998;雷蕾等,2011),即u(sr,ω)=u(r,ω)-u(0r,ω).

        圖1 地震散射波產(chǎn)生原理示意圖Fig. 1 Schematic diagram of generating seismic scattered wave

        波恩近似理論.波恩近似利用波場(chǎng)的振幅,當(dāng)介質(zhì)產(chǎn)生的散射波場(chǎng)遠(yuǎn)小于背景波場(chǎng)時(shí),即u(sr,ω)?u(r,ω),用背景波場(chǎng)代替總波場(chǎng)將方程線(xiàn)性化,波恩近似適用于弱散射當(dāng)圍巖和散射體的速度差與圍巖速度的比值ΔV<15%的小擾動(dòng)情況,或傳播距離短的情況(尹軍杰等,2005).

        地下介質(zhì)可以劃分為背景介質(zhì)和擾動(dòng)介質(zhì),在研究散射特征中,擾動(dòng)介質(zhì)相較于周?chē)橘|(zhì)其體積較小,地震波在穿越背景介質(zhì)遇到小擾動(dòng)體時(shí),散射體會(huì)作為一次源激發(fā)散射,相應(yīng)稱(chēng)其為散射波.散射波響應(yīng)過(guò)程如圖2a所示,當(dāng)散射體僅為一個(gè)時(shí),稱(chēng)之為一級(jí)散射,其中S1表示一次散射波.當(dāng)?shù)叵陆橘|(zhì)散射體(擾動(dòng)體)增多后,不同位置的散射體會(huì)作為二次源激發(fā)其它一次散射源產(chǎn)生的散射波,如圖2b所示,散射體V1激發(fā)的一次散射波在散射體V2處發(fā)生二次散射(Alkhalifah,2015,2016),稱(chēng)為二級(jí)散射;而在散射體V2產(chǎn)生的二次散射傳播到散射體V1(也可以是散射體V3,為了方便描述未展示)處再次產(chǎn)生三次散射,稱(chēng)之為三級(jí)散射.由此可知,當(dāng)?shù)叵麓嬖诖罅可⑸潴w時(shí),檢波器最終接收到的散射波信息數(shù)量龐大,非常復(fù)雜,是地震波在各個(gè)散射體之間錯(cuò)綜復(fù)雜的傳播和被激發(fā)所導(dǎo)致的.因此,為了研究這些散射波的特征,將其進(jìn)行分級(jí)處理,散射波對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)即為入射波經(jīng)過(guò)幾次散射體后所產(chǎn)生的.

        圖2 多級(jí)散射原理示意圖(a)一級(jí)散射;(b)二級(jí)散射;(c)三級(jí)散射Fig. 2 Schematic diagram of multi-order scattering principle(a)The first-order scattering;(b)The second-order scattering;(c)The third-order scattering

        2 地震多級(jí)散射波方程推導(dǎo)

        2.1 基于波恩近似的散射波場(chǎng)分級(jí)

        李普曼-施溫格(Lippmann-Swinger)方程(Wu,Huang,1992;Wuet al,1995)的總波場(chǎng)計(jì)算公式為:

        式中: ω為角頻率,k0=ω/C0為背景介質(zhì)中波數(shù),r=(x,z)為 散射點(diǎn)位置,r1=(x1,z1)為積分空間的任一點(diǎn)源,G為背景介質(zhì)中的格林函數(shù), ε(r1)為背景速度上疊加的一個(gè)擾動(dòng)量.當(dāng)u(sr,ω)≤u(r,ω)時(shí) ,上式右邊被積函數(shù)中的u用u0代替,則波恩一級(jí)近似表達(dá)式為(Born,Wolf,1999)

        若用u1代 替右邊被積函數(shù)中u,則可得到波恩二級(jí)近似表達(dá)式

        將式(2)帶入式(3)可得:

        式中:等式右端第二項(xiàng)積分是關(guān)于散射體的一級(jí)散射,第三項(xiàng)是關(guān)于散射體的二級(jí)散射,依次進(jìn)行替換迭代,每項(xiàng)與前一項(xiàng)的迭代關(guān)系式為

        為方便表示,多級(jí)散射的波恩近似表達(dá)式則為:

        則有

        式中,上標(biāo)1,2,···,N為散射波場(chǎng)級(jí)數(shù).

        2.2 多級(jí)散射波方程推導(dǎo)

        在均勻介質(zhì)中,二維標(biāo)量波方程(無(wú)震源項(xiàng))為

        式中:C(r)為 波在均勻介質(zhì)中的傳播速度,為拉普拉斯算子,t為時(shí)間.為方便推導(dǎo),將式(9)轉(zhuǎn)換至頻率域,表示為

        背景波場(chǎng)滿(mǎn)足標(biāo)量波方程

        將式(8)和式(11)帶入式(10),可得到頻率域多級(jí)散射波方程

        隨后,根據(jù)介質(zhì)擾動(dòng)原理及波恩近似理論,對(duì)多級(jí)散射波方程進(jìn)行分級(jí)處理.

        以此類(lèi)推,可以得到,每一級(jí)獨(dú)立的散射波方程

        式中,N(N≥1)表 示散射波的級(jí)數(shù),當(dāng)N=1時(shí),等式右端為背景場(chǎng).

        將式(16)轉(zhuǎn)換到時(shí)間域,得到時(shí)間域各級(jí)散射波方程:

        式中等號(hào)右端整體可視為虛震源,其中二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)?2uN-1/?t2無(wú)法直接計(jì)算獲得,本文以空間導(dǎo)數(shù)來(lái)替代時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng).

        2.3 多級(jí)散射波方程的有限差分離散

        采用規(guī)則網(wǎng)格有限差分法進(jìn)行離散,時(shí)間二階導(dǎo)數(shù)的離散格式為

        式中,u為壓力場(chǎng), Δt為時(shí)間步長(zhǎng).空間二階導(dǎo)數(shù)的空間2N階離散格式為

        式中, ωn表示二階導(dǎo)數(shù)的 2N階精度差分系數(shù)(趙茂強(qiáng),2010;劉慶敏,2007).規(guī)則網(wǎng)格有限差分方程的穩(wěn)定性條件為(梁展源,2016;李青陽(yáng)等,2018)

        式中,C(x,z)為 速度, Δt為時(shí)間步長(zhǎng), Δx和Δz為空間步長(zhǎng), ωn表示差分系數(shù).最后,加入完美匹配層(Perfectly matched layer,縮寫(xiě)為PML)邊界條件(何燕,2008;吳國(guó)忱等,2014,2020),對(duì)多級(jí)散射波方程采用有限差分法進(jìn)行正演模擬.

        3 數(shù)值模擬結(jié)果及分析

        3.1 兩點(diǎn)強(qiáng)散射體模型

        為驗(yàn)證多級(jí)和各級(jí)散射波方程的正演模擬精度,設(shè)計(jì)一簡(jiǎn)單兩點(diǎn)散射模型(圖3),模型大小為2 000 m×2 000 m,背景速度為2 500 m/s,在深度1 000 m和1 400 m處分別設(shè)置一個(gè)點(diǎn)散射體,散射體的速度為2 000 m/s,縱、橫向網(wǎng)格間距均為10 m,震源采用主頻為25 Hz的雷克子波,炮點(diǎn)位于地表1 000 m處,采樣時(shí)間點(diǎn)數(shù)為2 000,采樣間隔為0.8 ms,全排列接收.

        圖3 兩點(diǎn)強(qiáng)散射體模型Fig. 3 A model with two strong scatterers

        兩點(diǎn)強(qiáng)散射模型對(duì)應(yīng)的三個(gè)時(shí)刻的多級(jí)散射波波場(chǎng)和每一級(jí)獨(dú)立的散射波波場(chǎng)如圖4所示.圖4a中二級(jí)散射波和三級(jí)散射波的能量弱于一級(jí)散射波,為方便展示,對(duì)t=960 ms和t=1 200 ms的波場(chǎng)快照添加增益,因此整體未加色標(biāo),圖4b?d可直觀地看出各級(jí)散射波方程所模擬的波場(chǎng)快照僅包含自身級(jí)數(shù)的散射波,不包含其它級(jí)的散射干擾.各級(jí)散射波的傳播均符合惠更斯-菲涅爾(Huygens-Fresnel)原理,且隨著散射波的級(jí)數(shù)增加,其能量衰減.

        圖4 不同級(jí)數(shù)的散射波波場(chǎng)快照(a)多級(jí)散射波;(b)一級(jí)散射波;(c)二級(jí)散射波;(d)三級(jí)散射波Fig. 4 Snapshots of scattered wavefields at different orders(a)The multi-order scattering;(b)The first-order scattering;(c)The second-order scatterings;(d)The third-order scattering

        為討論各級(jí)散射波方程穩(wěn)定性,抽取各級(jí)散射波第100道記錄與參考地震記錄進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖5所示.圖中參考記錄為觀測(cè)記錄和背景速度正演模擬記錄之差,多級(jí)散射記錄為本文方程正演所得記錄,可以看出:兩條記錄曲線(xiàn)在相位和振幅上完全吻合,驗(yàn)證了多級(jí)散射波方程的準(zhǔn)確性.各級(jí)散射記錄與參考記錄第100道的波形對(duì)比如圖6a所示,其中,t為0.832—0.960 s時(shí),參考記錄中的一級(jí)散射信息與一級(jí)散射記錄的相位信息一致,振幅信息存在較小的誤差,該誤差主要是速度模型中擾動(dòng)體與圍巖的速度差未滿(mǎn)足波恩弱散射近似(圖6b);而t為1.240—1.360 s時(shí)的誤差與一級(jí)散射信息的誤差來(lái)源相同(圖6c).對(duì)擾動(dòng)體與圍巖的速度差需滿(mǎn)足波恩弱散射近似的速度模型做出如下分析.

        圖5 多級(jí)散射記錄與參考記錄第100道的波形對(duì)比Fig. 5 Comparison of the 100th record of the multi-order scattering records with that of the reference records

        圖6 各級(jí)散射記錄與參考記錄第100道的波形對(duì)比Fig. 6 Comparison of the 100th record of each scattering records and the reference records(a)t=0—1.6 s;(b)t=0.832—0.960 s;(c)t=1.240—1.360 s

        3.2 兩點(diǎn)弱散射體模型

        設(shè)計(jì)兩點(diǎn)弱散射模型,設(shè)散射體的速度為2 400 m/s,其余參數(shù)均與兩點(diǎn)強(qiáng)散射模型相同.兩點(diǎn)弱散射模型如圖7a所示,其對(duì)應(yīng)的多級(jí)散射記錄與參考記錄第100道的波形對(duì)比如圖7b所示,由該圖可見(jiàn):兩條記錄曲線(xiàn)完全吻合,驗(yàn)證了多級(jí)散射波方程的準(zhǔn)確性.兩點(diǎn)弱散射模型對(duì)應(yīng)的各級(jí)散射記錄與參考記錄第100道的波形對(duì)比如圖8所示,當(dāng)t為0.848—0.944 s時(shí),參考記錄中的一級(jí)散射信息與一級(jí)散射記錄的相位和振幅信息基本一致,驗(yàn)證一級(jí)散射波的準(zhǔn)確性(圖8b);t為1.296—1.318 s時(shí),參考記錄中的二級(jí)散射信息與二級(jí)散射記錄的相位和振幅信息基本一致,驗(yàn)證二級(jí)散射波的準(zhǔn)確性(圖8c).由于散射的波的能量逐級(jí)遞減,三級(jí)散射波的能量十分微弱,在單道記錄上振幅信息不明顯,此處不作討論.

        圖7 兩點(diǎn)弱散射體模型(a)及多級(jí)散射記錄與參考記錄第 100 道的波形對(duì)比(b)Fig. 7 A model with two weak scatterers (a)and comparison of the 100th record of the multiorderscattering records and with that of the reference records (b)

        圖8 各級(jí)散射記錄與參考記錄第100道的波形對(duì)比Fig. 8 Comparison of the 100th record of each scattering records and the reference records(a)t=0—1.6 s;(b)t=0.848—0.944 s;(c)t=1.296—1.318 s

        3.3 復(fù)雜散射體模型

        為了驗(yàn)證本文方法對(duì)復(fù)雜模型的適用性和穩(wěn)定性,設(shè)計(jì)一個(gè)同時(shí)包含不同傾斜角度裂縫和不同尺度孔洞的復(fù)雜散射體模型,如圖9所示.模型大小2 000 m×2 000 m,背景速度為2 500 m/s,三條裂縫從左到右的傾角依次為90°,0°和45°,速度均為2 300 m/s,裂縫下面四個(gè)不同尺度的溶洞速度為2 400 m/s,縱、橫向網(wǎng)格間距均為10 m,震源采用主頻為25 Hz的雷克子波,炮點(diǎn)位于地表1 000 m處,采樣時(shí)間點(diǎn)數(shù)為2 000,采樣間隔為0.8 ms,全排列接收.

        圖9 復(fù)雜散射體模型Fig. 9 A model with complex scatterers

        復(fù)雜散射體模型對(duì)應(yīng)的多級(jí)散射波地震記錄如圖10所示,由該圖可見(jiàn):多級(jí)散射記錄無(wú)直達(dá)波,散射波呈現(xiàn)雙曲形態(tài),且多個(gè)散射體同時(shí)存在且距離相近時(shí),各級(jí)散射波會(huì)產(chǎn)生干涉;同一尺度不同傾角的情況下,橫向裂縫的散射能量強(qiáng)于縱向裂縫;當(dāng)孔洞的尺度小于1/4波長(zhǎng)時(shí),炮記錄表現(xiàn)為單條雙曲線(xiàn),隨著孔洞散射體尺度的增大,其頂?shù)讓?duì)應(yīng)的兩條雙曲線(xiàn)能量區(qū)分愈加明顯,直至完全分離.

        圖10 多級(jí)散射記錄Fig. 10 Multi-order scattering records

        分別抽取復(fù)雜散射體模型對(duì)應(yīng)的多級(jí)散射波地震記錄與參考地震記錄的第100道記錄進(jìn)行對(duì)比,如圖11所示,圖中兩條曲線(xiàn)在振幅和相位上完全吻合,表明多級(jí)散射波方程對(duì)復(fù)雜模型具有適用性,并驗(yàn)證了多級(jí)散射波方程的準(zhǔn)確性.

        圖11 多級(jí)散射記錄與參考記錄的第100道波形對(duì)比Fig. 11 Comparison of the 100th record of the multi-order scattering records with that of and the reference records

        4 結(jié)論

        針對(duì)非均勻散射體中地震波傳播正演模擬問(wèn)題,本文推導(dǎo)了多級(jí)和各級(jí)散射波方程.通過(guò)算法分析和模型測(cè)試得到以下認(rèn)識(shí):

        1)本文推導(dǎo)了多級(jí)和各級(jí)散射波方程,通過(guò)有限差分的正演數(shù)值模擬,抽取其中心道與參考記錄中心道進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果顯示,多級(jí)散射單道記錄與參考單道記錄完全吻合,驗(yàn)證了多級(jí)散射波方程的準(zhǔn)確性,各級(jí)散射記錄在波恩弱散射近似范圍內(nèi),其單道記錄與參考單道記錄的振幅及相位基本吻合,驗(yàn)證了在波恩弱散射近似下各級(jí)散射方程的準(zhǔn)確性.

        2)各級(jí)散射波的傳播符合惠更斯-菲涅爾原理,且隨著散射波級(jí)數(shù)的增加,能量隨之衰減.

        3)在散射能量方面,尺度相同的情況下,橫向裂縫比縱向裂縫能量更強(qiáng),散射體與圍巖的速度差異越大,其能量也越大.

        本文基于標(biāo)量波方程的散射波方程推導(dǎo)思路理論上能夠推廣至各向異性介質(zhì),但具體推導(dǎo)內(nèi)容仍需進(jìn)一步分析;本文采用的背景模型基本為半空間模型,而對(duì)于復(fù)雜背景介質(zhì)下的孔洞、縫洞的散射波識(shí)別、提取仍需進(jìn)一步研究.

        審稿專(zhuān)家提出有益的修改意見(jiàn),作者在此表示感謝.

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