孫文科 付廣裕 周 新 徐長儀 唐 河董 杰 周江存 楊君妍 王武星 劉 泰

1）中國北京 100049 中國科學院大學地球與行星科學學院

2）中國北京 100083 中國地質大學（北京）地球物理與信息技術學院

3）中國北京 100085 應急管理部國家自然災害防治研究院

4）中國北京 100029 中國科學院地質與地球物理研究所

5）中國北京 100036 中國測繪科學研究院

6）中國武漢 430071 中國科學院精密測量科學與技術創(chuàng)新研究院

7）中國北京 100036 中國地震局地震預測研究所

引言

地震是地球內部應力場作用下，斷層發(fā)生摩擦、失穩(wěn)及破裂的物理過程（Scholz，1998）.從Reid （1910）提出彈性回跳理論、Love （1911）建立經典地球彈性力學到Steketee （1958）將位錯理論引入地震學，地球物理學家們逐漸建立了彈性動力學理論（地震波動理論），并將該理論用于解釋地球自由震蕩和地震波等資料（如Altermanet al，1959；Gilbert，MacDonald，1960；Ben-Menahem，Toks?z，1962；Aki，1964）.與此同時，用于斷層破裂完成后靜態(tài)變形場研究的理論—準靜態(tài)地震位錯理論也逐漸被建立起來，進一步促進了地震循環(huán)過程（震間—同震—震后）的研究（如Savage，Burford，1973；Savage，Prescott，1978；Savage，1983）.

早期的準靜態(tài)地震位錯理論假設地球為無限半空間彈性體介質模型，即忽略了地球曲率和介質不均勻性，得到了斷層錯動引起的地表變形解析式（如Mindlin，Cheng，1950；Chinnery，1961；Maruyama，1964；Weertman，Weertman，1964；Press，1965）.Okada （1985，1992）整理了前人的工作，給出了均勻半無限空間模型中位移場及其空間導數(shù)的簡潔表達式.在此基礎上，Okubo （1991，1992）給出了同震重力和位場變化的解析解.此外，有些研究人員考慮了地球的層狀結構但忽略了地球曲率效應，通過湯姆森-哈斯克爾（Thomson-Haskell）傳播矩陣方法（Thomson，1950；Haskell，1953）獲得了半無限空間的地表變形響應（Ben-Menahem，Singh，1968；Jovanovichet al，1974a，b；Rundle，1980；Roth，1990；Ma，Kusznir，1992；Wanget al，2003，2006）.目前以Okada （1985，1992）、Okubo （1991，1992）和Wang 等（2006）為代表的研究人員所提出的半無限空間介質模型的位錯理論已經發(fā)展得非常成熟，該理論可被用于計算地震產生的同震和震后變形，包括位移、傾斜、應變、大地水準面和重力變化等，因此廣泛用于解釋大地測量觀測的近場地殼變形，對地震周期變形過程的研究起到了重要作用（如，Rolandoneet al，2006；Amoruso，Crescentini，2009；Daiet al，2014；Jianget al，2014；周碩愚等，2017；Pan，2019）.這些位錯理論具有數(shù)學上的簡潔性和解析性，但是由于半無限空間介質模型與真實地球差異較大，忽略了地球的幾何曲率和層狀結構效應，其計算結果存在較大的模型誤差，不適于研究地震造成的大區(qū)域和全球尺度的地震變形、地球動力學變化等科學問題（Sun，Okubo，2002；孫文科，2012b；Donget al，2014）.

另一方面，傳統(tǒng)大地測量手段（水準、三角網(wǎng)、三邊網(wǎng)等）記錄了地震引起的地殼變形（Savage，Hastie，1969）.以準靜態(tài)位錯理論為基礎，通過反演這些觀測數(shù)據(jù)可以確定發(fā)震斷層的幾何參數(shù)和滑動分布，以理解地震的震源過程（Savage，Hastie，1969；陳運泰等，1975，1979）.然而，現(xiàn)代大地測量技術，特別是甚長基線干涉測量（very long baseline interferometry，縮寫為VLBI）、全球導航衛(wèi)星系統(tǒng)（Global Navigation Satellite Systems，縮寫為GNSS）、合成孔徑雷達干涉（interferometric synthetic aperture radar，縮寫為InSAR）、衛(wèi)星測高、高精度衛(wèi)星重力測量（包括：challenging mini-satellite payload，縮寫為CHAMP；gravity recovery and climate experiment，縮寫為GRACE；gravity field and steady-state ocean circulation explorer，縮寫 為GOCE；GRACE follow-on，縮寫為GFO）等觀測技術的出現(xiàn)和發(fā)展，使傳統(tǒng)大地測量發(fā)生了革命性變化，進而催生了動力大地測量學研究，使我們能夠以更高的精度和全球尺度研究地球內部結構、動力學過程和地震變形問題，有力地推動了地球科學的發(fā)展（許厚澤，王廣運，1989；孫文科，1989，2002；胡明城，2000；陳俊勇，2003；Marotta，2003；Chao，2003；李建成等，2006；周碩愚等，2008；Krynski，2012；Bock，Melgar，2016；Fernándezet al，2017；Pepe，Calò，2017；Braitenberg，2018；Giorgiet al，2019；Larson，2019；姚宜斌等，2020；Freymueller，2021；Wiesemeyer，Nothnagel，2021）.現(xiàn)代觀測技術克服了傳統(tǒng)大地測量方法固有的局限性，具有全球、全天候、實時和連續(xù)的觀測能力，為科學研究提供了規(guī)則、稠密和高質量的測量數(shù)據(jù)（Wdowinski，Eriksson，2009；Salviet al，2012；Liet al，2015；Zhouet al，2015；Spaans，Hooper，2016；Zhu，2016；姚宜斌等，2020）.特別是，現(xiàn)代大地測量技術可以觀測地震周期中不同階段的變形，彌補了地震學與構造地質學之間的觀測空白，逐步成為地殼運動及地震周期變形研究中不可或缺的觀測手段（Segall，Davis，1997；Allen，Ziv，2011；Matsuo，Heki，2011；Glennieet al，2013；Meigs，2013；Herringet al，2016；Van Campet al，2017；Biggs，Wright，2020；Wang，Shen，2020）.對于上述大空間尺度的地震周期變形問題，基于半無限空間模型的地震位錯理論不再適用，需要一個更適合的理論，如基于球形地球模型的地震位錯理論，以開展震源機制、內部結構與斷層反演、觀測數(shù)據(jù)解釋等科學問題的精細研究.

隨著觀測技術的不斷更新，基于分層球形地球模型的地震位錯理論經國內外多個研究團隊的研究得以不斷發(fā)展.例如，考慮地球曲率和徑向不均勻性，在球坐標下可以采用傳播矩陣（Thomson，1950；Haskell，1953）或龍格-庫塔方法（Gilbert，Backus，1966，1968）得到地表同震變形（Wason，Singh，1972；Israel，Ben-Menahem，1974；Dahlen，1974）.但這些工作均對地球模型進行了不同程度的簡化，如忽略了地球的固態(tài)內核結構、自引力和重力效應及介質的可壓縮性等.Sun （1992）以及Sun和Okubo （1993）首次基于球對稱、非自轉、理想彈性和各向同性（spherically symmetric non-rotating elastic isotropic，縮寫為SNREI）地球模型（Dahlen，1968），考慮了介質的自引力和重力、可壓縮性等多種因素，解決了同震重力變化和同震位移等問題，建立了球形地球模型位錯理論的基本理論框架.同一時期，美國以Pollitz團隊為代表，其對自重效應予以近似處理，用簡正模方法獨立研究了同震和震后變形問題（Pollitz，1992，1996，1997）；歐洲以Sabadini，Vermeersen和Spada團隊為代表，他們也使用簡正模方法研究了類似的問題，但其早期的工作并未同時考慮介質的可壓縮和自重效應（Sabadiniet al，1984；Spadaet al，1992；Piersantiet al，1995；Vermeersenet al，1996；Cambiottiet al，2009）.需要指出的是，在以上研究組中孫文科團隊最早針對包含固態(tài)內核-液態(tài)外核-固體地幔分層結構的地球模型，以嚴謹?shù)睦碚撏瑫r考慮了介質的可壓縮性、自引力和重力效應，提出了球形地球彈性位錯理論的基本框架，并經過其學生和合作者得以不斷發(fā)展和完善，最終構建了一個新的球形地球模型位錯理論體系.該團隊提出的基于球形地球模型的地震位錯理論，開拓了全球地震變形及地震引起的動力學變化研究的新方向，擴展了現(xiàn)代大地測量在地震研究中的應用范圍，深化了對地震破裂和震后變形機制的認識，取得了一系列創(chuàng)新性成果，主要包括以下兩部分：

1）建立了一套新的地震位錯理論，推進了全球地震變形研究.定義了地震位錯勒夫（Love）數(shù)和格林（Green）函數(shù)，構建了解決球形地球模型的地震變形問題的基本理論框架；發(fā)展了基于層狀彈性地球模型、三維不均勻彈性地球模型和層狀黏彈性地球模型的地震位錯理論，并給出了不同變形物理量的漸近解；解決了同震和震后重力變化、位移、應變、庫侖應力變化及其三維效應等問題.

2）拓展了上述理論的應用范圍，開拓了地震引起的動力學變化研究的新方向.發(fā)展了基于上述理論的斷層滑動、位錯勒夫數(shù)、黏彈性結構的反演方法；估計了GRACE衛(wèi)星對地震重力變化的檢測潛力；建立了同震垂線偏差變化理論，拓展了GRACE的應用范圍；提出了地震引起的地球膨脹和質心偏移理論；定量分析了全球地震產生的地球自轉、體積、勢能等動力學因子變化；推進了全球地震變形以及相關地球動力學變化研究.

該團隊關于地震位錯理論和相關應用目前共發(fā)表了近100篇科學論文，這些論文分散于眾多文獻中.為了使廣大科研人員，特別是地震科研人員，能夠較全面地了解該理論，本文將就該位錯理論成果作一個報道性介紹.需要特別聲明的是，本文不是對地震位錯理論的國內外發(fā)展歷史進行全方位總結和回顧，而是針對本團隊所建立的球形地球模型地震位錯理論的研究成果加以概括性介紹，以期闡明本理論的基本面貌及相關應用的最新進展，并對位錯理論的發(fā)展方向作出展望.

本文首先簡要介紹球形位錯理論的創(chuàng)建過程，包括彈性位錯理論的提出、三維橫向非均勻理論的創(chuàng)建、黏彈性位錯理論的發(fā)展和完善；然后介紹地震位錯理論的應用，包括全球地震變形場的解釋、斷層模型和地下結構的反演以及對空間大地觀測技術的應用拓展等；最后對位錯理論的發(fā)展方向進行簡要討論.

1 球形地球模型地震位錯理論的發(fā)展

地震位錯理論是研究震源機制、反演斷層、解釋觀測數(shù)據(jù)等的必要理論基礎，在地震學、地球動力學、大地測量學中占有核心地位.地震位錯理論需要基于一定的地球模型來建立，它相當于地震震源與地震變形之間的系統(tǒng)函數(shù)，從理論上給出地球在地震力源作用下的變形響應.由于位錯理論的計算精度取決于地球模型，地球模型的準確與否將直接影響理論計算精度及其適用范圍.所以，基于合理的地球模型來建立位錯理論具有重要科學意義.

為精確地計算同震和震后變形、合理地解釋全球大地測量觀測數(shù)據(jù)、更準確地反演斷層滑動分布，本團隊在研究中采用了球形地球模型，并據(jù)此建立了地震位錯理論新體系.新位錯理論包含地球曲率、層狀結構效應、黏彈性效應、三維非均勻效應等，在物理上更嚴謹、更合理，同時適用范圍更寬泛.

而建立球形地球模型的位錯理論需要采用與半無限空間位錯理論不同的研究思路和數(shù)學方法，需要在球坐標系中求解地震變形的偏微分方程組，解決積分變換、級數(shù)收斂、積分穩(wěn)定性等一系列數(shù)學問題.根據(jù)觀測技術以及理論本身的發(fā)展，本研究團隊先后針對一維分層彈性球形地球模型、三維不均勻彈性球形地球模型、一維分層黏彈性球形地球模型建立了不同的理論分支，形成了較完善的地震位錯理論體系.

1.1 彈性球形地球模型的地震位錯理論

球形地球模型的地震位錯理論首先采用一維分層球形彈性地球模型，即球對稱、不旋轉、彈性和橫向各向同性的地球模型（SNREI模型，Dahlen，1968）.SNREI模型是一大類地球模型，其中1066A模型 （Gilbert，Dziewonski，1975）、PREM模型（Dziewonski，Anderson，1981）和IASP91模型（Kennett，Engdahl，1991）等被廣泛使用.基于1066A和PREM模型，孫文科等提出了彈性球形地球模型的地震位錯理論.采用半解析半數(shù)值方法求解地震變形的微分方程組，定義了地震位錯勒夫數(shù)，克服了勒夫數(shù)計算、求和、截斷和加速收斂等數(shù)值計算困難，給出了四個獨立點震源的格林函數(shù)（Sun，1992，2003，2004a，b；Sun，Okubo，1993，1998；Sunet al，2006a，2009），并在此基礎上進一步給出了計算任意有限斷層在任意位置產生變形的數(shù)值積分算法（Sun，Okubo，1998）.利用該理論可以解釋實際地震產生的位移、應變、重力位、重力等的同震變化，為地表同震變形解釋、斷層破裂反演等研究奠定了基礎，目前也已被廣泛使用.更重要的是，這些研究搭建了球形地球模型位錯理論的理論框架，為后續(xù)發(fā)展三維地球變形和黏彈性地球變形理論奠定了基礎.

團隊隨后對地表破裂源、地震造成的地球動力學變化等問題進行了研究，擴展了地震位錯理論的內涵及其適用范圍.例如：孫文科和董杰借助互易定理（Okubo，1993）推導了地表破裂源產生的地表變形的地震位錯勒夫數(shù)和格林函數(shù)，解決了地表震源的奇異解問題（Sun，Dong，2013）；徐長儀和周江存等給出了地震造成的地球體積變化、低階重力場系數(shù)變化、地球自轉變化和重力勢能變化的計算公式（Zhouet al，2013，2014a，2016；Xu，Sun，2014；Xuet al，2014；Xu，Chao，2017；Xu，2021）；孫文科、徐長儀和周江存等給出了特大地震造成的地心移動解（Sun，Dong，2014；Xu，Chao，2015；Zhouet al，2015）.近幾年周江存等提出了計算位錯勒夫數(shù)的近似解析解方法，提高了計算效率，同時解決了內部格林函數(shù)的收斂問題（Zhouet al，2019a，b，2020）.

迄今為止，上述彈性球形地球模型的地震位錯理論已經得到了廣泛的應用.利用地震變形格林函數(shù)，Sun和Okubo （1998）成功地解釋了1964年阿拉斯加MW9.2大地震的同震重力變化，其理論計算結果與觀測的重力變化基本吻合，表明新理論可以合理地解釋現(xiàn)代大地測量技術觀測到的同震變形.此外，為了便于國內科研人員使用該理論，付廣裕和孫文科（2012b）撰文詳細地介紹了球體位錯理論計算程序的總體設計與具體實現(xiàn)過程，并開始在科學社區(qū)分享其Fortran程序，得到了學界的認可.更重要的是，該理論因其物理模型的合理性而優(yōu)于半無限空間位錯理論，為地球物理學、大地測量學和地球動力學等應用提供了全新的、可靠的理論保證（孫文科，2012b）.該理論已經成功應用于地震斷層破裂反演、地震解釋以及火山產生的變形，并且可以用來解釋同震變化（Okubo，2020）.例如，Imanishi等（2004）利用我們團隊的球形地球位錯理論合理解釋了超導重力儀記錄到的2003年日本十勝沖（Tokachi-Oki）MW8.3地震產生的亞微伽級重力變化，該研究結果發(fā)表在國際著名期刊Science上，屬于世界上首次報道亞微伽級同震重力變化.

2012年孫文科系統(tǒng)地總結了彈性地震位錯理論與部分應用的研究成果，撰寫了專著《地震位錯理論》（孫文科，2012a），這是目前國內外關于球形地球模型位錯理論的唯一專著.

1.2 三維不均勻彈性地球模型的地震位錯理論

隨著現(xiàn)代大地測量觀測精度的日益提高，真實三維地球結構對地震變形的影響逐步被觀測到（Huet al，2004；Suito，F(xiàn)reymueller，2009；Freedet al，2017；Diaoet al，2018；Tianet al，2021），然而上述基于球對稱地球模型的地震位錯理論卻無法體現(xiàn)局部的三維效應.為了提升地震變形的理論支撐作用、提高對地震變形觀測數(shù)據(jù)的解析能力，在上述一維球形模型的地震位錯理論基礎上，付廣裕等提出了三維不均勻地球模型的地震位錯理論（Fu，Sun，2007，2008，2009；Fuet al，2010；付廣裕，孫文科，2012a）.

基于微擾方法的三維地球模型的位錯理論，提高了地震變形和重力潮汐的計算精度.具體地說，F(xiàn)u和Sun （2007）推導了密度的橫向增量對重力潮汐影響的計算公式，彌補了Molodenskiy （1980）理論的不足，并計算了半日潮重力潮汐因子的全球分布，為三維地球模型的地震變形研究提供了參考.之后，就三維地球模型的地震變形問題，將實際三維不均勻地球分解成球對稱地球模型和對應的橫向不均勻增量，分別進行計算得到球對稱解和三維響應，之后疊加得到最終變形（Fu，Sun，2007，2008，2009；Fuet al，2010）.球對稱解可以直接利用上述球對稱地球模型位錯理論（Sun，1992）計算得到.三維響應即地球的橫向不均勻結構對同震物理場變化的影響可以分為震源的響應和地球橫向不均勻結構的響應，可分別由震源函數(shù)的擾動及平衡方程式的變分來求解.經過理論推導，給出了六個特殊點源位錯引起的位移、重力變化等計算公式（一個垂直走滑位錯，兩個相互垂直的傾滑位錯，三個引張位錯）.對這些公式進行線性組合即可計算任意位置、任意類型位錯產生的同震變化.依據(jù)36階P波速度模型，F(xiàn)u和Sun （2008，2009）利用巖石試驗經驗關系式推導出三維S波速度模型和密度模型，并計算出三種典型類型的點源位錯產生的同震重力變化，其結果顯示三維響應與位錯類型、震源深度均相關，其最大響應約占球對稱解的0.5%，且S波速度模型的影響最大.數(shù)值結果同時表明：三維響應中震源的響應與地球橫向不均勻結構的響應處于同一量級，地球橫向不均勻結構對同震位移的貢獻達到球對稱解的1%—2% （Fuet al，2010；付廣裕，孫文科，2012a）.

上述研究成果得到了國內外同行的普遍認可.發(fā)表在Science上的Ito和Simons （2011）一文將Fu和Sun （2007）的成果視為潮汐理論研究領域的重要進展加以介紹.國際大地測量聯(lián)合會2015年度的Bomford獎獲得者Yoshiyuki Tanaka博士在多篇論文中引用上述研究（Tanakaet al，2006，2007，2009），將其視為位錯理論研究領域的前沿進展加以介紹.在孫文科教授的專著 《地震位錯理論》 序言中，許厚澤院士用一句話將上述研究總結如下：“······利用變分方法研究了極為困難的三維地球模型的同震變形問題” .這均說明三維不均勻地球模型的地震位錯理論雖然難度很大，但是它在實際應用中具有重要意義和價值.

1.3 黏彈地球模型的地震位錯理論

地球介質除具有彈性性質之外，其在較長時間尺度上還具有顯著的流變特性（Takeuchi，Hasegawa，1965；Anderson，O’Connell，1967；汪漢勝等，1997；Peltier，2021）；地震變形除了呈現(xiàn)明顯的同震變形外，還表現(xiàn)出顯著的震后變形（Nur，Mavko，1974；Freed，Bürgmann，2004；Wang，2007；Chenet al，2011）.大地震的震后變形已經可以被現(xiàn)代大地測量技術清晰地觀測到，例如，GNSS、InSAR和GRACE均可檢測到震后信號（Panetet al，2007；Ryderet al，2007；Wanget al，2012；劉泰等，2017；Cambiotti，2020）.為了解釋震后變形觀測數(shù)據(jù)，需要建立基于黏彈性地球模型的地震位錯理論.

為此，很多學者針對黏彈性地球模型加以研究，提出了相應的計算方法，例如簡正模疊加、回路積分和Post-Widder等方法（Pollitz，1997；Wang，1999；Tanakaet al，2006，2007；Meliniet al，2008）.然而，黏彈地球模型的地震位錯理論的發(fā)展具有一定的挑戰(zhàn)性，對于復雜的黏彈性結構地球模型，始終存在數(shù)值計算困難.例如：簡正模方法無法處理地球的徑向連續(xù)結構或介質的可壓縮性；回路積分方法需要針對特定黏彈性模型，通過數(shù)值搜索方法確定積分路徑；Post-Widder的實現(xiàn)需要擴展精度函數(shù)庫.總之，簡正模分布復雜、積分核數(shù)值震蕩、收斂慢、計算量大等問題均未得到完美解決（唐河，孫文科，2021）.為此，唐河和孫文科基于上述彈性位錯理論的基本思想，發(fā)展和完善了基于黏彈地球模型的地震位錯理論（Tang，Sun，2019；Tanget al，2020a，b）.

黏彈性變形理論的核心是在復數(shù)域計算復勒夫數(shù)，并進行逆拉普拉斯（Laplace）變換以得到時域勒夫數(shù).首先將黏彈性地震變形方程組進行拉普拉斯變換至復數(shù)域，轉換為拉普拉斯域內的等效彈性問題，從而可以利用上述彈性位錯理論的處理方案加以解決，得到復域的地震位錯勒夫數(shù)和格林函數(shù).該步驟所使用的計算方法已在彈性理論中得到充分驗證，可以確保計算的準確性.之后，在將復域解變換回時間域解時，需要處理逆拉普拉斯數(shù)值積分，但積分核的震蕩特性造成了嚴重的數(shù)值積分困難，極具挑戰(zhàn)性.為此，我們對逆拉普拉斯積分核作分式函數(shù)近似和級數(shù)展開（Valsa，Bran?ik，1998；Tang，Sun，2019；Tanget al，2020a，b），得到一個交錯級數(shù)，從而使得時域勒夫數(shù)的計算表達為沿虛軸采樣的復勒夫數(shù)之和.本方法采用的逆拉普拉斯積分方法也已在電氣工程等多個領域得到充分驗證，具有很高的計算精度.這樣，我們構建了一種新的計算黏彈性地震變形的虛軸積分方法，這是黏彈地震變形理論的最新方法.該方法對于任意線性黏彈性地球模型和任意力源類型均適用，且具有一致的計算精度，其計算方法實現(xiàn)簡單、收斂快，不需要擴展精度函數(shù)庫.因此，該方法非常適于黏彈性結構的反演研究.此外，本團隊還發(fā)展了黏彈性均質球模型的震后變形解析解.例如，Tang和Sun （2018a，b）針對有自重和無自重兩種可壓縮黏彈均質地球模型，基于對應性原理和解析逆拉普拉斯變換，首次得到了時間域內位錯勒夫數(shù)和格林函數(shù)的解析形式.解析的地震變形格林函數(shù)闡明了介質參數(shù)與變形物理場之間明確的函數(shù)關系，同時也適用于近場地震變形的理論計算.上述理論的計算程序已發(fā)布在本團隊開發(fā)的“地震變形計算平臺”（http://124.207.150.85:8085/和http://10.16.24.41:8085/），成為計算震后變形的核心方法，適用于解釋大地測量觀測數(shù)據(jù)、理解震后變形機理、反演地球內部黏滯結構等科學問題研究.

2 球形地球模型地震位錯理論的應用

上述球形地球模型地震位錯理論為解決地震變形的相關問題提供了可靠的理論工具.通過球形地球模型地震位錯理論，既可以根據(jù)震源參數(shù)計算地震變形，也可以根據(jù)地表變形反演震源參數(shù)和地球介質結構.我們提出的球形地球模型地震位錯理論考慮了地球的分層、曲率效應、黏彈性結構、三維非均勻等，可以在全球地球動力學變化、地球內部黏彈性結構、斷層反演等方面得到廣泛應用，為深化地震周期過程的認識和地球動力學變化研究提供了有力支持.特別是，由于考慮了地球的球形形狀，新地震位錯理論具有研究地震全球動力學變化的獨特潛力，而傳統(tǒng)半無限空間理論無法做到.另一方面，現(xiàn)代大地測量觀測技術提供的全球性的地震周期變形數(shù)據(jù)，也需要在球面上進行精細的建模和解釋，以便保持模型的一致性.上述球形地球模型地震位錯理論正好可以滿足現(xiàn)代大地測量學和地震學發(fā)展的需求，為地震周期性循環(huán)過程的研究提供理論基礎.

本團隊在發(fā)展理論本身的同時，也就實際的地震變形問題，特別是特大地震事件，進行了針對性的理論擴展和應用研究.例如，針對地震造成的地球質心、體積、自轉和勢能變化等相關動力學變化問題，我們給出相應的計算方法，并根據(jù)實際的斷層模型給出其定量結果.此外，還針對GNSS和GRACE這兩種非常重要的現(xiàn)代大地測量觀測技術，發(fā)展了利用遠、近場GNSS數(shù)據(jù)約束斷層反演的新方法，提出了利用GRACE震后重力變化反演區(qū)域黏彈性結構的新途徑.研究結果表明：遠場位移可有效地約束斷層反演，綜合震后位移以及重力變化可以確定黏彈性參數(shù)等.總之，地震位錯理論應用研究可以大體歸納為以下幾點.

2.1 地震引起的地球動力學變化

地震造成的地球內部質量重新分布不僅會引起地表位移和重力等物理場變化，而且會產生全球動力學變化，包括地心移動、體積變化、自轉變化和勢能變化等（Anderson，1974；Dahlen，1977；Chao，Gross，1987；Soldati，Spada，1999；Niet al，2005）.這些動力學變化對于理解地球內部物質循環(huán)、各圈層相互作用及其時空演化具有重要意義.由于本團隊的地震位錯理論是基于球形地球模型而建立，因此該理論具備研究全球動力學變化相關問題的優(yōu)勢.

基于上述球形地球模型位錯理論和相應的基本物理定律，本團隊發(fā)展了同震地心、地球體積、自轉和勢能等動力學參數(shù)變化的計算方法（Zhouet al，2013，2014a，2015，2016；Sun，Dong，2014；Xu，Sun，2014；Xuet al，2014，2016；Xu，Chao，2015，2017，2019；Xu，2021）.我們定量分析了幾次大地震對地球極移和日長變化的影響，以及對地球參考框架中的質心位移和坐標軸指向變化的影響（Zhouet al，2013，2014a，2015，2016；Xu，Chao，2015，2019）.首次將地震作為部分物理激發(fā)源，解釋現(xiàn)代大地測量觀測的地球膨脹現(xiàn)象，并聯(lián)合全球板塊運動模型給出了不同時間尺度下的地球膨脹速率，確定了地震在板塊運動中的角色（Xuet al，2016）；修正了計算同震日長變化的傳統(tǒng)公式，并指出地震造成的地球轉動慣量變化的張量跡不為零、不能被省略，并且提出了相應的數(shù)值計算方法（Zhouet al，2014a）；估計了全球大地震產生的地球自轉累積變化，發(fā)現(xiàn)地震對地球自轉軸長期漂移具有顯著影響，是不可忽略的，并基于此提出了地球動力學參數(shù)變化新模型（Xu，Chao，2019）.

由于傳統(tǒng)的地震學方法無法有效地估計地震產生的勢能變化，本團隊還提出了同震地球旋轉動能和重力勢能的計算方法.該方法不但適用于剪切型地震，而且適用于拉張型地震，為有效地研究同震重力勢能變化與構造對應關系提供了理論基礎（周江存等，2017；Xu，Chao，2017；Xu，2021）.據(jù)此，我們還分析了不同類型地震所產生的地球重力勢能變化特征，結果表明地震產生的重力勢能變化在地球內部的各個深度均有分布（周江存等，2017；Xu，Chao，2017）.Xu和Chao （2017）估計了全球歷史地震產生的凈重力勢能以及對各圈層的影響，發(fā)現(xiàn)同震重力勢能能流密度變化率約為全球平均大地熱流的15%；并提出地震釋放的重力勢能可能作為區(qū)域熱異常物理成因的假設，對地幔熱機和地球長期演化研究具有啟示作用.

2.2 斷層滑動和介質結構的反演

地震位錯理論不僅可以用于解釋全球地震變形和地球動力學變化，還可以用于反演斷層滑動、約束震源參數(shù)和地下介質結構（Yamasaki，Houseman，2012；Zhouet al，2014b）.利用大地測量和地球物理學觀測數(shù)據(jù)對斷層滑動分布、地下介質結構進行反演研究已逐漸成為一項常規(guī)性工作（Yabuki，Matsu’ura，1992；Reilingeret al，2000；Beresnev，2003；Ide，2007；Sun，Hartzell，2014；Diaoet al，2019）.然而，前人的反演通常是基于均勻或層狀半無限空間模型計算的格林函數(shù)來進行.由于地球模型的過分簡化必然會把地球模型的誤差通過格林函數(shù)傳遞到反演結果中，從而影響對震源或地下結構的正確約束（Masterlark，2003；Williams，Wallace，2015；Gómezet al，2017；Marchandonet al，2021），因此，本團隊使用接近于真實地球的球形地球模型來計算地震變形格林函數(shù)，并以數(shù)學上更為嚴密的和客觀的馬爾科夫鏈-蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo）算法來確定正則化因子，提出了一套基于球形地球位錯理論的斷層滑動模型反演方法（Zhouet al，2014b，2018；周新，2017）.利用上述反演方法和應用程序，我們研究了2004年蘇門答臘MW9.3和2011年日本東北MW9.0等地震的同震-震后位移、空間/地面重力變化、斷層滑動分布和震后慢滑動等地震變形問題（Zhouet al，2014b，2018；劉泰等，2017，2019）以及青藏高原動力學變化問題（周新等，2018）.

地震位錯勒夫數(shù)和格林函數(shù)描述了地球介質對地震斷層滑動的物理響應，反映了地下三維介質的結構信息，由大地測量觀測數(shù)據(jù)反演的地震位錯勒夫數(shù)和格林函數(shù)，可以體現(xiàn)研究區(qū)域的三維構造特征.本團隊還提出了利用地震變形觀測數(shù)據(jù)反演位錯勒夫數(shù)和格林函數(shù)的方法，為約束區(qū)域三維結構提供了新思路.Sun等（2006b）提出了利用GRACE觀測數(shù)據(jù)反演地震引力位變化勒夫數(shù)的基本思想；楊君妍等進一步發(fā)展完善了該反演方法，并以2011年日本東北MW9.0地震為例，利用GRACE和GNSS觀測數(shù)據(jù)，實際反演了體現(xiàn)局部構造特征的地震位錯勒夫數(shù)和格林函數(shù)，證實了該理論方法的可行性（Yanget al，2015；Yang，Sun，2020；楊君妍，孫文科，2020）.該方法可以用來計算地震多發(fā)地區(qū)的地震位錯勒夫數(shù)和格林函數(shù)，用于準確計算該區(qū)域的理論地震變形或反演地球局部構造.

應用地震位錯理論還可以反演地下的黏彈性參數(shù).黏滯結構是地球最基本物理參數(shù)之一，是理解板塊運動、俯沖帶應力狀態(tài)、冰后均衡調整（glacial isostatic adjustment，縮寫為GIA）等科學問題的關鍵因素，然而如何精確地確定黏滯參數(shù)仍然是地球物理學特別是地球動力學亟需解決的科學問題（Cathles，1975；Weertman，Weertman，1975；Forteet al，1991；Fang，Hager，1996；Cornelio，Violay，2020；Arguset al，2021）.為此，王武星和張國慶等利用GRACE觀測數(shù)據(jù)以及上述地震位錯理論，反演了2004年蘇門答臘MW9.3大地震震源區(qū)的黏滯參數(shù)，揭示了發(fā)震斷層上盤與下盤黏滯參數(shù)的橫向差異（Wanget al，2011；張國慶等，2015）.針對2011年日本MW9.0地震產生的震后變形，劉泰等（2017）提出了基于不同時間尺度的震后變形來分離斷層余滑和黏滯變形的方法，其結果表明：可以以震后短期觀測數(shù)據(jù)來反演斷層余滑分布，以長期觀測數(shù)據(jù)約束黏滯參數(shù)；該地震斷層余滑兩年后基本消失，四年后地幔黏滯性松弛效應超過斷層余滑.該成果加深了對震后余滑時空分布和地幔黏滯性結構橫向特征的認識.此外，梁明等（2018）還提出基于GNSS觀測數(shù)據(jù)初步估算區(qū)域整體黏滯性結構，再利用GRACE觀測數(shù)據(jù)修正深部黏滯系數(shù)，然后綜合利用這兩種觀測數(shù)據(jù)調整黏滯系數(shù)，最終確定研究區(qū)域黏滯性結構的新方法.另外，陳飛等（2020）的研究結果也顯示遠場震后變形觀測數(shù)據(jù)對地幔深部黏滯結構比較敏感，因此實際震后變形模擬時需考慮一個隨深度變化的黏滯性模型.

2.3 空間觀測技術的地震變形應用

重力衛(wèi)星GRACE是現(xiàn)代大地測量主要技術之一，在地球科學中已經得到了廣泛應用（Adam，2002；Tapleyet al，2019；張嵐，孫文科，2022）.然而，GRACE能否檢測到地震產生的重力變化，以及能否用來研究重力垂線偏差等是科研人員感興趣但尚未解答的科學問題.另一方面，大地震通常發(fā)生在海陸俯沖帶上，海域一般缺乏有效的地表變形觀測，這使得斷層滑動分布的反演變得非常困難.雖然GRACE具有觀測包括海域在內的全球地震重力變化的潛力，但是由于缺少相關的理論支持，GRACE觀測數(shù)據(jù)的應用頗為受限.

為此，Sun和Okubo （2004）最早對GRACE的地震變形檢測能力進行了估計和預測.通過對地震位錯勒夫數(shù)的球諧譜分析，他們發(fā)現(xiàn)GRACE可以檢測出M＞9.0剪切型地震或M＞7.5張裂型地震的同震重力變化，該結論被隨后發(fā)生的2004年蘇門答臘地震所證實（Hanet al，2006）.本項研究成果首次闡明了GRACE對大地震的觀測能力和范圍，為重力衛(wèi)星項目的科學規(guī)劃提供了理論依據(jù).之后，徐長儀等利用該理論和GRACE數(shù)據(jù)，成功地觀測到2013年鄂霍次克海超深源地震MW8.3產生的同震重力變化，為進一步研究超深源地震的震源機制和變形特征提供了大地測量學途徑（Xuet al，2017）.

我們發(fā)展了計算同震垂線偏差的新方法，為利用GRACE觀測數(shù)據(jù)研究海域大地震變形問題提供了新途徑.Sun和Zhou （2012）在上述球形地球模型地震位錯理論的基礎上，進一步發(fā)展了計算同震垂線偏差的新方法，使得利用GRACE觀測數(shù)據(jù)研究海域地震變形問題極為方便.2011年日本東北大地震的研究結果表明，GRACE完全可以檢測到大地震產生的垂線偏差變化（Sun，Zhou，2012），并且該變化對斷層滑動模型更為敏感，為利用衛(wèi)星重力觀測數(shù)據(jù)研究地震斷層滑動分布提供了新方法.本研究拓展了GRACE衛(wèi)星數(shù)據(jù)的應用范圍.

應用本團隊的地震位錯理論可以合理地解釋全球地震變形觀測數(shù)據(jù)如GNSS等.GNSS也是現(xiàn)代大地測量的主要技術之一，可以檢測出接近全球范圍內的同震和震后變形（Abidinet al，2009；Vernant，2015；Gautamet al，2020）.Fu和Sun （2006）基于上述地震位錯理論，發(fā)現(xiàn)2004年蘇門答臘-安達曼地震在6 000 km以外可以產生1 mm的同震水平位移，并可以被GPS觀測到.通過理論計算和實際震例研究，王武星等發(fā)現(xiàn)中國大陸遠場GPS同震位移場對環(huán)太平洋俯沖型地震震源機制具有約束能力（Wanget al，2014）.Wang等（2014）利用中國地殼運動觀測網(wǎng)的GPS資料提取了2011年日本MW9.0地震引起的遠場同震位移，并與理論同震位移進行了比較，其結果表明，近場位移可以更好地約束斷層的幾何形態(tài)，而遠場GPS位移場可以約束斷層滑動模型的地震矩.該研究結果擴展了遠場GPS觀測數(shù)據(jù)在地震變形研究中的應用潛力（Wanget al，2014）.此外，周新等（2018）以主喜馬拉雅逆沖斷層為例，模擬了同震和震間過程產生的大地水準面、重力和重力梯度變化，其結果顯示地表的同震重力變化呈南北兩極分布，足以被陸地重力測量所檢測到.

3 討論與結論

本文提綱挈領地介紹了本團隊在球形地球模型的地震位錯理論及其應用方面的科學貢獻.該理論體系同時考慮了地球介質的自重效應、可壓縮性、黏彈性、徑向分層結構等因素，可以準確地模擬地震產生的位移、重力、應變、大地水準面、庫侖應力變化、地球極移、勢能變化等物理量，可歸納為兩個方面：① 基于分層彈性球形地球、三維不均勻彈性地球模型、分層黏彈性地球模型的位錯理論；② 球形地球模型位錯理論在研究地震引起的地球動力學變化、反演斷層滑動和地下介質結構、解釋空間大地測量技術等方面的科學應用.

該理論體系建立了地震震源和變形場之間的理論聯(lián)系，為研究震間變形、同震破裂和震后變形等提供了理論工具.同時，通過該理論的實際應用，解釋了多個大地震的同震-震后變形數(shù)據(jù)，反演了斷層滑動模型和地下黏彈性參數(shù)，深化了對地震循環(huán)過程的認識，凸顯了球形位錯理論在地震學和大地測量學研究中的理論支撐作用和廣泛應用前景.因此，該理論對于推進地震基礎理論進步、提升防震減災科技支撐能力、推動大地震預測預報、服務我國防震減災工作等具有重要意義.

限于本文討論的范圍，對于分層半無限空間模型的位錯理論（如，Wanget al，2006）以及有限元類地震變形數(shù)值計算理論和方法（如，林曉光，孫文科，2014；Chenget al，2019）均未進行更多介紹，感興趣的讀者請參考其它文獻.就數(shù)值類計算方法而言，它們可以針對更復雜的三維模型給出同震和震后變形的計算結果，但計算過程一般需要大型機器，可以預先計算一些三維模型的地震變形格林函數(shù)庫，為一般用戶進行地震變形觀測數(shù)據(jù)解釋以及斷層和地下結構反演提供基礎數(shù)據(jù).

位錯理論發(fā)展以地球幾何模型的逐步完善為主線，目前以一維規(guī)則分層模型和基于微擾方法的三維模型為主.本文所介紹的三維不均勻彈性地球模型的位錯理論也是基于微擾方法建立，尚不能考慮大幅度的橫向非均勻性效應.我們也正在思考位錯理論中包含地球的橢球效應、地形效應、內部介面起伏，甚至是復雜的橫向非均勻性效應.在一維地震變形理論基礎上，借鑒和拓展固體潮理論中的相關方法，應當可以直接考慮橢球效應、地形和內部界面的起伏，并求解地震變形微分方程組、建立相關理論和方法.而針對復雜的橫向非均勻性效應，需要從數(shù)學上尋求其它新的方法，突破微擾方法的限制，才能基于接近于真實三維地球模型建立相關理論.此外，針對三維復雜地球模型，如何有效結合解析計算和數(shù)值計算的優(yōu)勢，在數(shù)值計算中充分利用部分解析計算，降低三維模型的計算時長，提出一種“混合模式”的計算理論和方法，也是一個值得探討的問題.總之，筆者認為基于更精密的三維地球模型的位錯理論和相關應用是本理論的前進方向，準靜態(tài)位錯理論將繼續(xù)推進地震周期過程、地球內部介質結構和地球內部動力學過程等重要科學問題的深入研究.

感謝審稿專家提出建設性的修改意見.