孫 帆

（華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510641）

0 引言

混凝土本構(gòu)研究在混凝土眾多研究中屬于基礎(chǔ)性研究，其揭示了混凝土的破壞本質(zhì)和機(jī)理，從早期線彈性胡克定律，到后來塑性力學(xué)的發(fā)展，再后來斷裂力學(xué)以及損傷力學(xué)的不斷壯大，這是不斷揭示混凝土本質(zhì)屬性的過程。

就混凝土彈塑性損傷本構(gòu)的發(fā)展來看，在此之前，大多學(xué)者研究了理想彈塑性本構(gòu)以及彈性損傷本構(gòu)，雖考慮了混凝土的塑性變形，但卻未考慮損傷的發(fā)展。而彈性損傷本構(gòu)則考慮了損傷，卻也只限于彈性階段。事實上，混凝土作為一個準(zhǔn)脆性且非均勻材料，內(nèi)部有著各種缺陷，在其進(jìn)入塑性階段必然也伴隨著內(nèi)部損傷的發(fā)展。同樣的，損傷的發(fā)展必然也影響著混凝土的塑性變形，二者是相互耦合的關(guān)系。

本文在介紹混凝土彈塑性損傷理論發(fā)展態(tài)勢的基礎(chǔ)上，對近年來彈塑性損傷本構(gòu)的理論和數(shù)值算法方面的發(fā)展進(jìn)行了分析。

1 混凝土彈塑性損傷理論

混凝土彈塑性損傷理論的形成主要可以從以下兩個角度分析：損傷變量的選取以及本構(gòu)的演化規(guī)律。

損傷變量的選取經(jīng)歷了標(biāo)量到雙標(biāo)量，再到張量的發(fā)展歷程。由于混凝土的單邊效應(yīng)，為了更好地描述混凝土在受拉和受壓下的不同行為，學(xué)者們將損傷變量進(jìn)行分解，采用雙標(biāo)量。當(dāng)混凝土出現(xiàn)裂縫或是要更加精確地描述其力學(xué)行為，則要考慮各向異性，那么損傷變量則表示為張量形式。張量的引進(jìn)必然也使得問題分析更加地復(fù)雜化，實際的應(yīng)用性也不強(qiáng)，故多標(biāo)量形式的損傷變量在彈塑性損傷本構(gòu)領(lǐng)域的發(fā)展仍然是最為經(jīng)典的。

對于彈塑性損傷本構(gòu)的演化規(guī)律，混凝土的卸載過程不僅包含剛度的退化，還會產(chǎn)生不可恢復(fù)的塑性變形，故同時考慮塑性變量和損傷變量是不可避免的。Mazars等[1]最早提出應(yīng)力張量分解的思想，認(rèn)為材料的受拉損傷只由拉應(yīng)力所引起，而受壓損傷只由壓應(yīng)力引起，盡管他們只考慮了彈性損傷，但這一損傷變量分解的思想?yún)s成為了彈塑性損傷理論史上的一座里程碑。Simo[2]等開發(fā)了采用不可逆熱力學(xué)和內(nèi)部狀態(tài)變量的連續(xù)彈塑性損傷模型，在應(yīng)力空間內(nèi)選擇余能為能量勢，奠定了損傷理論的熱力學(xué)基礎(chǔ)。Faria等[3]在有效應(yīng)力空間對應(yīng)力張量進(jìn)行正負(fù)分解，并利用有效應(yīng)力定義了Helmholtz自由能，提出了雙標(biāo)量的彈塑性損傷本構(gòu)。Resende[4]提出拉剪損傷本構(gòu)模型，他認(rèn)為材料的受拉損傷是拉伸損傷機(jī)制引起的，受壓損傷是剪切損傷機(jī)制所造成的。

2 經(jīng)典雙標(biāo)量彈塑性損傷本構(gòu)模型

針對混凝土的非線性行為，更準(zhǔn)確的描述在于如何更好地描述出混凝土的塑性以及損傷。這里介紹一種彈塑性損傷本構(gòu)模型，該本構(gòu)中采用了拉剪損傷機(jī)制，采用拉伸損傷變量和剪切損傷變量對混凝土的劣化進(jìn)行描述，并且對應(yīng)力張量在有效應(yīng)力空間進(jìn)行了正負(fù)分解[5]。

2.1 損傷機(jī)理以及應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)

在有效應(yīng)力空間中定義無損條件下的有效應(yīng)力，其服從經(jīng)典的彈塑性模型，由應(yīng)變等效原理，可知：

式中：

C0——混凝土的初始剛度，是個四階張量；

εe、εp——混凝土的彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變。

其關(guān)系可表示為：ε = εe+ εp。再對有效應(yīng)力張量進(jìn)行正負(fù)分解：

式中：

p+、p-——均為四階對稱張量，分別表示為σˉ的正負(fù)投影張量。

相應(yīng)的便可得知彈性Helmholtz自由能可以表示為

式中：

通過以上的彈性Helmholtz自由能定義，同樣可類比定義塑性的Helmholtz自由能，一般認(rèn)為二者是不耦合的。根據(jù)熱力學(xué)第二定律，材料的損傷過程和塑性流動過程都是不可逆熱力學(xué)過程，因此等溫純力學(xué)過程必須滿足熱力學(xué)不可逆條件，即能量耗散不等式：

式中：

D——四階對稱張量。

不難看出，通過不可逆熱力學(xué)推導(dǎo)出的應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)公式與損傷力學(xué)基礎(chǔ)理論的在有效應(yīng)力空間的推導(dǎo)結(jié)果是一致的。

2.2 塑性變形

首先在有效應(yīng)力空間給出了屈服準(zhǔn)則、非相關(guān)流動準(zhǔn)則以及硬化法則，如下式：

式中：

F——塑性屈服函數(shù)；

FP——塑性勢函數(shù)；

κ——硬化參數(shù)向量；

λ?P——塑性流動因子，表示塑性流動的大小，為非負(fù)標(biāo)量；

H——硬化函數(shù)向量。

上式準(zhǔn)則還需滿足加卸載規(guī)則即Kuhn-Tucker條件的限制，即：

根據(jù)一致性條件，即可得出λ?P的具體表達(dá)式。對于塑性屈服函數(shù)F以及塑性勢函數(shù)FP，采用Lee等[6]給出的模型表達(dá)式，分別為：

式中：

α——反映雙軸受力與單軸受力的關(guān)系；

Iˉ1和Jˉ2——分別表示有效應(yīng)力張量的第一不變量和第二不變偏量；

c和β——分別是硬化參數(shù)向量κ的函數(shù)；

σˉmax——σˉ的最大有效主應(yīng)力。

然而對于硬化向量函數(shù)H的表示，可以將硬化參量向量κ分解為單軸受拉以及單軸受壓應(yīng)力狀態(tài)下的累積塑性變形，從而確定其演化法則，并推出硬化向量函數(shù)H的表達(dá)式，這里不再贅述。

2.3 損傷準(zhǔn)則及演化法則

類比彈性Helmholtz 自由能進(jìn)而可得到塑性Helmholtz自由能的表達(dá)式，二者均考慮了拉剪損傷機(jī)制的不同而采用正負(fù)分解形式以及無損的初始自由能形式。但值得注意的是，無損的塑性Helmholtz自由能與無損的彈性Helmholtz自由能表達(dá)上有所區(qū)別，主要由于材料的塑性階段為非線性階段，故應(yīng)變能需要用積分的形式來表示，即：

考慮到試驗中受拉狀態(tài)下混凝土表現(xiàn)出明顯的脆性，相比于受壓時的塑性變形來說，受拉時的塑性變形可以忽略。因此，為了模型的簡潔且便于計算，令：

其中，材料的Helmholtz自由能的正負(fù)分量又可以表示為：

式中：

b0——材料參數(shù)。

為簡化計算，受拉損傷能釋放率和受剪損傷能釋放率等效地表述為：

根據(jù)熱力學(xué)第二定律的能量耗散不等式可以得出Y≥0，可認(rèn)為當(dāng)損傷能釋放率達(dá)到一定閾值時，材料開始進(jìn)入損傷階段，由此給出損傷準(zhǔn)則：

式中：

g±(x)——變量x的任意遞增的標(biāo)量函數(shù)；

r±——損傷能釋放率的閾值，其控制著損傷面的發(fā)展，也指歷史最大損傷能釋放率。

令G=0，便可得到損傷面，根據(jù)損傷的正交流動的概念，從而可得到損傷變量的演化法則，即：

上述式子還需滿足加卸載規(guī)則，即Kuhn-Tucker條件的限制：

當(dāng)處于損傷加載時，G±= 0，再由一致性條件G?±= 0可以求出λ?d±，得：

進(jìn)一步可得：

因此，只要給出損傷能釋放率的函數(shù)g±(r±)，就能得出損傷變量的演化法則的具體形式。然而這又是回到了損傷力學(xué)的的核心問題，也就是損傷變量如何演化。Faria等[3]對此做出了大量研究，并給出了損傷變量d±與損傷能釋放率閾值r±之間的關(guān)系式，再由實驗確定了參數(shù)。不難看出該模型損傷準(zhǔn)則以及損傷變量演化法則的確立受到了塑性力學(xué)理論的啟發(fā)。類比塑性力學(xué)的理論，塑性屈服函數(shù)以及塑性勢函數(shù)即對應(yīng)損傷本構(gòu)中的損傷準(zhǔn)則以及損傷演化法則，由于損傷變量采用正交流動法則，故不引用勢函數(shù)。

3 彈塑性損傷本構(gòu)的發(fā)展

理論上的創(chuàng)新完善主要由于復(fù)雜的工程條件以及復(fù)雜的加載方式的需要，例如耦合了凍融循環(huán)、高溫作用這些物理場。簡單運用經(jīng)典本構(gòu)模型必然不能反映材料的真實情況。又或是需要反映混凝土的一些特殊情況下的特性，諸如率敏感性以及各向異性等，就需要更加復(fù)雜和高級的本構(gòu)模型。

在實際工程中，反復(fù)荷載加載十分常見，例如地震作用。這類動力作用使得混凝土表現(xiàn)出與靜力作用下不同的特性，主要體現(xiàn)在率敏感性，具體表現(xiàn)為其動力作用下的強(qiáng)度和剛度受到應(yīng)變率的影響。吳建營等[8]受到塑性流動法則中對塑性流動因子進(jìn)行黏塑性規(guī)則化的啟發(fā)，從而對損傷能釋放率閾值的Perzyna黏性規(guī)則化，將混凝土靜力彈塑性損傷本構(gòu)模型進(jìn)行了動力推廣，并提出統(tǒng)一的一類基于能量的彈塑性損傷本構(gòu)模型。

Voyiadjis等[9]在熱力學(xué)一致的彈塑性損傷理論的框架內(nèi)提出了一種混凝土材料模型。采用兩個各向異性損傷張量和兩個損傷判據(jù)來描述在拉伸和壓縮載荷下混凝土力學(xué)性能的顯著下降?？倯?yīng)力張量被分解為拉伸和壓縮分量，以適應(yīng)對上述破壞張量的需求。在這項工作中提出的塑性屈服準(zhǔn)則解釋了應(yīng)力張量的頻譜分解，并允許使用多個硬化規(guī)則。

李杰等[10]基于對混凝土構(gòu)成性質(zhì)的隨機(jī)性與受力行為非線性的認(rèn)識，對混凝土本構(gòu)關(guān)系與結(jié)構(gòu)非線性分析方法進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，形成了混凝土隨機(jī)損傷力學(xué)的理論體系。對于細(xì)、微觀層次損傷的概率性刻畫，不僅可以解釋損傷賴以產(chǎn)生和發(fā)展的物理機(jī)制，也可以建立損傷演化從細(xì)觀到宏觀的橋梁。

4 結(jié)束語

縱觀彈塑性損傷本構(gòu)的發(fā)展史，從開始的彈性損傷，逐漸不能滿足混凝土工程實際應(yīng)用的要求，慢慢發(fā)展到塑性損傷，到后來隨著實際工程應(yīng)用的復(fù)雜性，不斷對基本理論進(jìn)行創(chuàng)新，考慮多物理場的耦合，考慮動力效應(yīng)等。再到后來從細(xì)觀角度研究其本構(gòu)，加入了隨機(jī)性，或許在不久的將來，會在粒子的角度來研究混凝土本構(gòu)?？梢?，混凝土本構(gòu)研究作為一個基礎(chǔ)研究領(lǐng)域，隨著各學(xué)科的不斷發(fā)展融合，必然會使混凝土本構(gòu)研究與時俱進(jìn)，更為精細(xì)化。