吳仍來,余亞斌,肖世發(fā),全軍

(1惠州學院電子信息與電氣工程學院,廣東 惠州 516007;2湖南大學物理與微電子科學學院,湖南 長沙 410082;3嶺南師范學院物理科學與技術(shù)學院,廣東 湛江 524048)

0 引言

等離激元因其獨特的場增強和突破衍射極限的特性在光信息傳輸和采集、納米電路構(gòu)造和設(shè)計、單分子信號檢測和光譜學、量子通信和計算等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值[1?5]。目前,低維納米光電器件中的等離激元引起了較多關(guān)注,其能充分利用低維材料比表面積大、光吸收充分、能耗低等優(yōu)良特性,能支持更長距離的等離激元光波導,并獲得更低輻射損耗、更長壽命的等離激元[2,6,7]。

在低維體系中,二維模式的等離激元因其無能隙、易激發(fā)的特性,會影響到準二維結(jié)構(gòu)的電導、熱導以及光吸收等特性[8?16]。早期文獻和固體理論書籍中較多地給出了準二維體系中純二維等離激元色散關(guān)系的解析解[7?12],但這些研究中大部分采用了嚴格的約束條件:電子的運動被嚴格限制在平面層方向,在垂直平面方向上幾乎沒有運動。因此這類研究不能有效反應(yīng)原子層的厚度對等離激元的影響。為了探討準二維體系的厚度對等離激元的影響,文獻[16]測量了極低密度下33 nm厚的準二維GaAs體系等離激元的色散關(guān)系,文獻[17-19]通過理論計算解釋了文獻[16]的實驗結(jié)果,考慮了厚度對等離激元的影響。但這些求解過程采用了低密度條件,對電子密度比較大的體系是否適用尚未可知,同時文中沒有給出波矢比較大時的結(jié)果,也沒有給出非近似下的精確結(jié)果。為了進一步加強對該問題的理解,本文利用自由電子氣體模型求解了單層原子體系等離激元色散關(guān)系的解析解,分析了單層原子體系的厚度對等離激元色散關(guān)系的影響,并給出原子層厚度對等離激元頻率的一階修正。本文結(jié)果對電子數(shù)密度比較大的情形同樣適用,可作為文獻[17-19]結(jié)果的一種補充。

1 模型及方法

圖1給出單層原子體系的模型圖,該體系在x-y平面上的面積為S,原子層的厚度為d。令a=d/2,a表示豎直方向上電子被束縛在離原子距離為a的邊界范圍內(nèi)。

圖1 單層原子體系的模型圖Fig.1 Model of monolayer-atom system

設(shè)r和k分別為電子在x-y平面上的位置矢量和波矢,z和kz分別為電子在豎直方向上的坐標和波矢。考慮表面積S足夠大,在水平方向上電子的波函數(shù)為平面波,而豎直方向上電子處在無限深勢阱中,則本征波函數(shù)可寫為

式中

式中:kz=nπ/(2a),n為量子數(shù)。

根據(jù)準二維體系滿足的線性響應(yīng)理論,在外部電勢Vex(z,q,ω)的作用下,原子層內(nèi)部的電荷密度響應(yīng)為[19,20]

式中:q為波矢,外部電勢使電子的波矢從k變到k+q,q代表外部電勢給電子帶來的動量增量;ω代表電勢的驅(qū)動頻率;V(z′,q,ω)=Vex(z′,q,ω)+Vin(z′,q,ω),含外加電勢和內(nèi)部誘導電勢兩部分,其中Vin(z′,q,ω)是內(nèi)部電荷的庫侖作用導致的內(nèi)部電勢;Π(z,z′,q,ω)為林哈德函數(shù),可表示為

式中前面的因子2表示忽略電子自旋的影響,同一個量子態(tài)容納兩個電子;Ek是電子在x-y平面上的本征能量;Ekz是電子在z方向的本征能量;f(Ek+Ekz)為費米函數(shù);由于電子只處在第一布里淵區(qū),kz==π/(2a);對于自由電子氣體,根據(jù)本征能量和波矢的關(guān)系有Ek=?2k2/(2me),Ek′z=Ekz=?2kz2/(2me),me為電子質(zhì)量,則

進一步,根據(jù)電磁學理論中的高斯定理,體系內(nèi)部誘導電勢滿足泊松方程

式中ε0是真空中的電介質(zhì)常數(shù),?2r為水平面方向上的拉普拉斯算符。根據(jù)內(nèi)部電勢和電荷的傅里葉變換有

將(7)、(8)式代入(6)式,可得

將(5)式代入(10)式可得非齊次方程

式中左邊括號部分為一維拉普拉斯算符,對應(yīng)的格林函數(shù)為[21]

將格林函數(shù)代入(11)式可得

將(5)式代入(13)式,可得

式中

令

在方程(14)的左右兩邊同時乘以sin2(kzz)再對z積分,可得其等價方程

令

則(17)式可簡化為

由于等離激元是體系的固有性質(zhì),與外加電場無關(guān),可令Vex(q,ω)=0,則(19)式簡化為

此式即為電勢在波矢空間的集體振蕩的本征方程。方程(20)中Vin(q,ω)的系數(shù)為復(fù)數(shù),當

時,Vin(q,ω)有極大值,此時電荷發(fā)生集體振蕩,由(21)式解出來的集體振動頻率即為等離激元頻率。

2 等離激元的色散關(guān)系求解與討論

利用(21)式,只要求得ν(q)和F(ω,q)即能得出等離激元的色散關(guān)系。(15)式中F(ω,q)經(jīng)積分運算可得

式中:kF為費米波矢,其與總電子數(shù)Ne的關(guān)系為

對(23)式積分,可得

整理后可得

式中nS為電子數(shù)面密度,與總電子數(shù)的關(guān)系滿足Ne=nSS。(25)式代入(22)式得

(18)式中的ν(q)經(jīng)積分后可得

考慮無阻尼情況η=0,將(26)、(27)式代入(21)式,可得單層原子體系等離激元色散關(guān)系的精確解

由于求解過程沒有進行任何的低密度近似和長波近似,(28)式的結(jié)果適用于高電子密度下的短波情形。

基于(28)式開根號算出的結(jié)果,圖2給出不同厚度單層原子體系等離激元的色散曲線,并與純二維體系等離激元的色散曲線進行比較,其中最上面那條曲線對應(yīng)純二維體系,其他曲線由上往下依次對應(yīng)a=0.05,0.15,0.25,0.35,0.45,0.55 nm的單層原子體系。純二維體系的等離激元能量由文獻[8,12]中高斯制下的表達式給出,變換到國際標準單位則為,其中ω0表示純二維等離激元頻率。計算中取nS=1.63×1019/m2,該電子密度是文獻[16-19]中電子密度的105倍以上,屬于高密度情形,同時波矢取值包括了長波和短波范圍。

圖2 單層原子和純二維體系等離激元的色散關(guān)系Fig.2 Plasmon dispersion of monolayer-atom system and pure 2D system

由圖2可知,單層原子體系的等離激元色散曲線相比純二維的更低,原子層厚度對等離激元的能量會產(chǎn)生負的修正。原子層越薄,等離激元的能量越趨近純二維等離激元能量;原子層越厚,等離激元的能量越小,越偏離純二維等離激元的能量。產(chǎn)生該結(jié)果的原因如下:面電子數(shù)密度不變的情況下,由(25)式可知費米波矢和費米能級會隨著原子層變厚而減小,電子在費米能級附近集體激發(fā)所需要的能量變低,等離激元的能量會減小。上述結(jié)果與文獻[16～19]中準二維GaAs量子阱的實驗和理論結(jié)果類似,說明本研究得出的結(jié)果在低密度情況下同樣適用。同時圖2將短波情形也考慮進去,可看出隨q增大,等離激元能量隨原子層的變厚下降得更明顯,長波下q很小時,原子層的厚度對等離激元能量的影響很小。

進一步給出長波近似下,qa?1時等離激元色散關(guān)系的近似解。(27)式中ν(q)作近似≈1?2qa+2q2a2,π2/a2+q2≈π2/a2,可得

(29)式代入(28)式,等離激元的能量忽略比q更高次冪的項,可得色散關(guān)系的近似表達式

3 結(jié)論

研究了單層原子體系中等離激元的色散關(guān)系,得出單層原子體系的等離激元色散曲線相比純二維的更低,且隨原子層變厚,費米能級變低,導致等離激元能量減小;同時,隨波矢增大,原子層的厚度對等離激元頻率的相對修正也增大。在長波近似下,還給出了單層原子體系等離激元色散關(guān)系的一階近似,可清晰表明等離激元頻率隨原子層的厚度和波矢的變化關(guān)系。本研究中等離激元的色散關(guān)系可用于解釋單層準二維電子系統(tǒng)(如GaAs、單層金屬原子體系)中,原子層的厚度對等離激元的影響,對單層石墨烯、硅烯的等離激元也具有定性的指導意義。