孟祥國吳孟艷孫程美

(聊城大學 物理科學與信息工程學院，山東省光通信科學與技術重點實驗室，山東 聊城 252059)

0 引言

作為一類常用的特殊多項式，埃爾米特多項式在數學和物理上都扮演著重要角色，這是由于它具有正交性、完備性等一系列有意義的基本性質，并涉及一些重要的關系式，如產生函數、多項式乘積、遞推關系和微分關系等。

單變量埃爾米特多項式Hn(x)可由它的產生函數來定義[1]，即

或者

多項式Hn(x)不僅能幫助求解量子諧振子的本征態(tài)和分數階傅里葉變換的本征函數[2]，還也可以方便導出算符Fredholm 方程的解析解，以及處理耦合諧振子系統(tǒng)和推廣角動量系統(tǒng)的本征值問題[3-5]。對于雙變量情況，埃爾米特多項式Hn，m(x，y)定義為[6]

其偏微分表示和冪級數展開式分別為

物理上，Hn，m(x，y)可作為受迫諧振子動力學中粒子數態(tài)的躍遷振幅和二維復分數傅里葉變換的本征函數[2，7]，同時也能為研究Bargmann變換、量子糾纏現(xiàn)象和二次指數介質中的Talbot效應提供幫助[8]。此外，單雙變量的埃爾米特多項式也經常被應用于導出一些新的漸近公式，玻色算符恒等式以及制備一些能作為關鍵量子信息源的新非高斯糾纏態(tài)[9-11]。因此，有關單雙變量的埃爾米特多項式的理論研究受到極大關注。目前，人們陸續(xù)提出了一系列變形的埃爾米特多項式，如退化埃爾米特多項式、全純埃爾米特多項式和q變形埃爾米特多項式[12-14]，并廣泛應用于概率論、圖論、數論以及數學物理的其他領域。

類似于雙變量埃爾米特多項式的定義與其產生函數的關系，本文基于普通的單雙變量埃爾米特多項式及其微分關系式，導出兩個新的多變量特殊多項式，給出它們的產生函數以及一些新的微分恒等式，并詳細討論它們在計算多光子增加單雙模壓縮態(tài)的歸一化因子和維格納函數中的具體應用。

1 新的多變量特殊多項式

1.1 三變量特殊多項式

假定指數函數exp(－s2－τ2＋?sτ＋sx＋τy) 為新的特殊多項式Fn，m(x，y；?) 的產生函數，類似于式(4)，有

根據單變量埃爾米特多項式Hn(x)的定義式(1)，則

進一步，利用微分恒等式H′m(x)＝2mHm－1(x)，則式(6)變?yōu)?/p>

可見，F(xiàn)n，m(x，y；?) 為一個新的三變量特殊多項式，其級數展開式為兩個單變量埃爾米特多項式之積的疊加形式，且其產生函數為

特殊地，當?＝0時，多項式Fn，m(x，y；?) 變?yōu)閮蓚€單變量埃爾米特多項式之積，即進而，利用微分恒等式

可導出多項式Fn，m(x，y；?) 關于變量x，y的一階偏微分方程

進而，關于多項式Fn，m(x，y；?) 的高階偏微分方程為

它在形式上類似于普通的雙變量埃爾米特多項式Hn，m(x，y) 的高階偏微分方程。

1.2 六變量特殊多項式

同樣，假定指數函數exp(－sτ－s′τ′＋vss′＋υττ′＋xs＋x′s′＋yτ＋y′τ′) 為新的特殊多項式Gn，m，l，k(x，y，x′，y′；v，υ) 的產生函數，類似于式(4)，有

根據式(4)中雙變量埃爾米特多項式Hn，m x，y() 的定義，可得到

進一步，利用關于雙變量埃爾米特多項式Hn，m x，y() 的微分恒等式

式(13)自然被改寫為

同樣可見，Gn，m，l，k(x，y，x′，y′；v，υ) 為一個新的六變量特殊多項式，其級數展開式為兩個雙變量埃爾米特多項式之積的疊加形式，且其產生函數為

類似地，利用埃爾米特多項式Hn，m x，y() 的微分關系式(14)，得到特殊多項式Gn，m，l，k(x，y，x′，y′；v，υ)關于變量x，y，x′和y′的高階偏微分方程，即

2 多變量特殊多項式的具體應用

2.1 歸一化

量子態(tài)的歸一化是量子光學中非常重要的一個問題。對于量子態(tài)的實驗制備，歸一化因子用來刻畫態(tài)的成功制備概率，并能進一步幫助探查該量子態(tài)的基本性質和物理應用。

理論上，當把產生算符a?(即單光子增加操作)重復作用到壓縮真空態(tài)時，可實現(xiàn)多光子增加壓縮真空態(tài)a?mS(r)|0〉 。實驗上，利用弱耦合條件下的非簡并光學參量下轉換(parametric down-conversion，PDC)過程可實現(xiàn)單光子增加操作[15]。在目前實驗條件，在單光子增加操作次數m較少的情況下，多光子增加壓縮態(tài)有可能實現(xiàn)制備。態(tài)的歸一化因子為

可有

通過與多項式Fn，m(x，y；?) 的產生函數比較，可知

特殊地，當m ＝0 時，F(xiàn)0，0(0，0；－2 tanh－1r)＝1，這樣D0＝1，如同期望的一樣；而當m ＝1 時，F(xiàn)1，1(0，0；－2 tanh－1r)＝－2 tanh－1r，故D1＝sinh2r，這恰好為態(tài)的歸一化因子。

進一步，根據六變量特殊多項式G n，m，l，k(x，y，x′，y′；v，υ) 的定義，則歸一化因子D n，m簡化為

當n＝m＝0時，G n，m，n，m(0，0，0，0；－tanh－1r，－tanh－1r)＝1，D0，0＝1，對應于壓縮態(tài)的歸一化因子。

2.2 維格納函數

維格納函數是一種非常有用的工具，它能從相空間的角度全面深入地描述非經典態(tài)。利用多變量特殊多項式及其產生函數，能簡化處理一些量子態(tài)的維格納函數，并為分析它們的非經典性質提供方便。一般來說，量子態(tài)ρ的維格納函數定義為W(α)＝trρ[ Δ(α)] ，式中

為單模維格納函數的相干態(tài)表示[17，18]，為單模相干態(tài)[19]。因此，利用式(25)，可把態(tài)的維格納函數表示為

進一步，利用數學積分公式(19)，可有

再利用特殊多項式Fn，m(x，y；?) 的定義式，可得到

重復使用數學積分公式(19)和六變量特殊多項式的定義式(12)，可得到

式中

特殊地，當n＝m ＝0時，式(33)退化為雙模壓縮態(tài)的維格納函數，即

3 結論

綜上，本文充分利用普通的單雙變量埃爾米特多項式的定義式及其微分關系式，推導出了兩個新的多變量特殊多項式，即三變量特殊多項式和六變量特殊多項式，并給出了它們的產生函數以及一些新的微分恒等式。作為這兩個新的特殊多項式的應用，解析推導出了多光子增加單雙模壓縮態(tài)的歸一化因子和維格納函數，發(fā)現(xiàn)它們恰好都與新的多變量特殊多項式有關，從而避免了繁瑣的高階偏微分運算。