沈宇凱夏建偉

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

近些年來，Takagi-Sugeno(T-S)模糊系統(tǒng)受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注與研究，因其在描述復(fù)雜非線性系統(tǒng)問題時(shí)成效顯著。T-S模糊模型以線性子系統(tǒng)加權(quán)和的形式將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為理論相對(duì)完備的線性系統(tǒng)，借已有分析方法與控制技術(shù)之利刃解決現(xiàn)有問題。迄今為止，人們圍繞T-S模糊系統(tǒng)進(jìn)行的研究，正枝繁葉茂且碩果累累，如自適應(yīng)控制[1]、保成本控制[2]、狀態(tài)估計(jì)問題[3]等。T-S模糊模型也已在許多動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中得到應(yīng)用，如網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、交換系統(tǒng)、隨機(jī)系統(tǒng)等[4-6]。因此，植根于模糊系統(tǒng)的研究仍生機(jī)蓬勃，許多問題仍亟待解決。

同時(shí)，隨著數(shù)字技術(shù)的快速發(fā)展，采樣控制的研究也得到高度重視。該控制方法只需利用系統(tǒng)狀態(tài)的瞬時(shí)采樣信息，因而極大減少了信息傳輸，故在能保證系統(tǒng)更好性能的同時(shí)能降低系統(tǒng)運(yùn)行成本。采樣控制給我們的生活帶來了諸多便利，相關(guān)的研究方法也紛至沓來，如輸入延遲方法[7]、離散時(shí)間系統(tǒng)方法[8]及閉環(huán)函數(shù)方法[9]等。在實(shí)際控制中，周期采樣雖簡(jiǎn)單可行，但是諸如外部環(huán)境的變化會(huì)影響周期采樣過程，非周期采樣的實(shí)現(xiàn)就顯得尤為重要。在事件觸發(fā)和網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中，由于傳輸信道中可能會(huì)出現(xiàn)丟包、擁塞等情況，或是為了降低信道使用率及通信成本，僅以不滿足給定閾值的觸發(fā)狀態(tài)作為控制器輸入時(shí)，均將使得傳輸給控制器的輸入無法進(jìn)行周期性采樣。以實(shí)際應(yīng)用角度看來，當(dāng)系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡比較平坦時(shí)，可以采用與狀態(tài)軌跡劇烈抖動(dòng)時(shí)不同的采樣頻率，即選擇較大的采樣周期更為合理。因此，非周期采樣是一種比周期采樣更普遍、更實(shí)用的反饋形式，對(duì)其研究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。在周期及非周期采樣控制中，如何有效增大采樣周期是其重中之重，這方面的研究也有一些比較有意義的結(jié)果，例如，ZENG 等人[10]通過構(gòu)造充分利用系統(tǒng)信息的李雅普諾夫函數(shù)、改進(jìn)積分不等式，有效地增大了系統(tǒng)采樣周期；WU 等人[11]通過李雅普諾夫方法，設(shè)計(jì)了期望的采樣狀態(tài)反饋控制器，有效地提升了系統(tǒng)性能。

另外，為了在保證系統(tǒng)性能前提下實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定，學(xué)者們研究了H2控制、H∞控制等多種方法來合成控制器。特別是H∞控制，能有效地抑制系統(tǒng)擾動(dòng)，它已在各種實(shí)際系統(tǒng)中進(jìn)行了研究，如電動(dòng)地面車輛、電動(dòng)列車的異步電動(dòng)機(jī)控制問題[11-15]。基于上述分析，便啟發(fā)了我們本文的研究。

本文基于非周期采樣控制，研究了T-S模糊系統(tǒng)的H∞性能分析問題。創(chuàng)新之處在于:(1)構(gòu)造了一個(gè)由雙邊閉環(huán)函數(shù)組成的李雅普諾夫泛函，該泛函能充分利用系統(tǒng)信息，極大地?cái)U(kuò)大了采樣周期，降低了主要結(jié)果的保守性；(2)在穩(wěn)定性條件基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了相關(guān)控制器，使系統(tǒng)在滿足H∞性能條件下，能使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。

1 系統(tǒng)描述

考慮具有連續(xù)時(shí)間的T-S模糊系統(tǒng)，IF-THEN 規(guī)則描述如下

(1)規(guī)則i:IFφ1(t)isζi1 ，φ2(t)isζi2 ，…，φp(t)isζip，THEN

式中i∈R＝{1，2，…，r}，r是IF-THEN 規(guī)則的數(shù)量，φ1(t)，φ2(t)，…，φp(t)是前提變量，ζi1，ζi2，…，ζip是模糊集合。x(t)為系統(tǒng)狀態(tài)，u(t)為控制輸入，w(t)是在L2[0 ，＋∞) 上的干擾輸入，z(t)∈R s是控制輸出。

基于模糊推理方法，系統(tǒng)(1)可重構(gòu)為

式中φ(t)＝[φ1(t)，φ2(t)，… ，φp(t)]，并且

ζiκ(φκ(t)) 是φκ(t)在ζiκ(κ＝1，2，…，p) 上的隸屬度。我們可以知道，對(duì)于所有的t，，并且。然后，將得到的模糊系統(tǒng)模型作為該形式局部模型的加權(quán)平均值進(jìn)行推導(dǎo)，我們有

(2)規(guī)則j:IFφ1(t)isζj1 ，φ2(t)isζj2 ，…，φp(t)isζjp，THENu(t)＝K j x t k( ) ，j＝1，2，…，r?；谀：评矸椒?，上式可重構(gòu)為u(t)＝K(t)x t(k) ，其中

將上述控制器代入(3)可得閉環(huán)系統(tǒng)

定義在零初始條件下，存在滿足每一個(gè)非零向量w(t)∈L2[0 ，∞) 的控制律，系統(tǒng)(4)在H∞范數(shù)γ＞0有界條件下是穩(wěn)定的，其控制輸出滿足以下不等式

2 主要結(jié)果

在這一部分中，我們將獲得解決上一節(jié)所描述的問題的一個(gè)充分條件?，F(xiàn)在，我們考慮以下系統(tǒng)

當(dāng)控制器為常數(shù)時(shí)，給出下列穩(wěn)定性條件。

定理1系統(tǒng)(5)是穩(wěn)定的，若存在矩陣P＞0，H1＝HT1，H2，H3＝HT3，H4及具有相應(yīng)維數(shù)的任意矩陣G1，G2，G3，對(duì)于任意的h k∈[h m，h M] 滿足下列線性矩陣不等式

證明讓我們考慮以下李雅普諾夫函數(shù)

對(duì)上述李雅普諾夫函數(shù)(7)沿著方程組(5)的解求導(dǎo)得到

另一方面，根據(jù)系統(tǒng)(5)，對(duì)相應(yīng)維數(shù)的任意矩陣G1，G2和G3，滿足以下零等式

將(8)式的右端加到˙V(t)上去，對(duì)于t∈[t k，t k＋1)，我們得到

利用公式(6)，我們得到˙V(t)＜0。

因此，由穩(wěn)定性定義可知，系統(tǒng)(5)是穩(wěn)定的。

注1值得指出的是，我們?cè)谶@里構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)V(t)由雙邊閉環(huán)函數(shù)組成。該函數(shù)充分考慮了區(qū)間[x(t k)x(t)] 和[x(t)x(t k＋1)] 上信息。注意V q(t k)＝V q(t k＋1)＝0，q＝2，3，因此V q(t)滿足閉環(huán)函數(shù)條件。然而文獻(xiàn)[15]中所構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)僅包含了信息，不包含信息，而我們構(gòu)造的函數(shù)V(t)將兩者都包含在內(nèi)。因此，本文推導(dǎo)的結(jié)果具有較小保守性。

基于定理1，我們可以得到系統(tǒng)(4)在H∞范數(shù)有界條件下的穩(wěn)定性定理。

定理2對(duì)于一個(gè)給定正標(biāo)量γ，系統(tǒng)(4)在H∞范數(shù)有界條件下是穩(wěn)定的，若存在矩陣P＞0，H1＝HT1，H2，H3＝HT3，H4及具有相應(yīng)維數(shù)的任意矩陣G1，G2，G3，對(duì)于任意的h k∈h m，h M[ ] 滿足下列線性矩陣不等式

證明根據(jù)定理1，當(dāng)w(t)＝0時(shí)，系統(tǒng)(4)是穩(wěn)定的。接下來，我們將證明系統(tǒng)(4)在H∞范數(shù)有界條件下是穩(wěn)定的。定義

類似于定理1的證明過程，對(duì)任意t∈[t k，t k＋1)，我們可以得到

根據(jù)舒爾補(bǔ)引理，由式(9)，我們有

因此，對(duì)于任意τ≥0，存在一個(gè)整數(shù)α≥0滿足tα≤τ≤tα＋1。我們可以由式(10)和式(11)得到

根據(jù)定理1的證明，可以得到V(t k)＝V(t－k)。故，對(duì)于零初始條件，我們有

所以，根據(jù)定義可以看出，系統(tǒng)(4)在H∞范數(shù)有界條件下穩(wěn)定。

基于定理2，下面給出相應(yīng)狀態(tài)反饋采樣控制器。

定理3對(duì)于一個(gè)給定正標(biāo)量γ，系統(tǒng)(4)在H∞范數(shù)有界條件下是穩(wěn)定的，若存在矩陣及具有相應(yīng)維數(shù)的任意矩陣，對(duì)于任意的h k∈[h m，h M] 滿足下列線性矩陣不等式

在這種情況下，給出以下所需控制器增益

在式(9)的左邊和右邊分別乘以Γ和ΓT，我們可以得到式(12)。

3 仿真算例

在這一節(jié)中，我們提供了一個(gè)例子來證明本文所提出方法的有效性。

例1讓我們考慮以下卡車-拖車模型

式中x1(t)表示卡車和拖車之間的角度差，x2(t)表示拖車的角度，x3(t)表示拖車尾部的垂直位置，w1(t)和w2(t)表示干擾輸入，模型參數(shù)

并且h2(Θ(t))＝1－h(huán)1(Θ(t))，其中10－2/π。

上述非線性系統(tǒng)的T-S模糊模型描述如

式中

控制器輸出z(t)選擇如下參數(shù)

首先，考慮采樣周期不確定的情況?；诙ɡ?在ε1＝ε2＝0.5且h m ＝0時(shí)，表1給出了H∞性能γmin對(duì)不同采樣周期的上界。

表1 當(dāng)h m ＝0時(shí),不同h M 所對(duì)應(yīng)的性能指數(shù)γmin

接下來分析確定采樣周期的情況，即h m ＝h M ＝h。

從表2中我們可以看出，當(dāng)采樣周期增大時(shí)，所對(duì)應(yīng)的H∞性能指數(shù)也是隨之增大的。換句話說，我們可以通過增加采樣頻次來提升系統(tǒng)的H∞性能。另外，我們選取γmin＝1.8，采樣周期h m ＝0.1，h M ＝0.3時(shí)，求解定理3 我們可以得到如下控制器K1＝[7.6241－8.2589 1.3543]，K2＝[7.6128－8.0863 1.3863]。

表2 不同h 值所對(duì)應(yīng)的性能指數(shù)γmin

基于上述控制器，選取系統(tǒng)的初始值x0＝[－0.5π －0.75π －6] ，我們可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)如圖1所示，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)如圖2所示。

圖1 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

圖2 系統(tǒng)的輸出響應(yīng)

從圖1，圖2我們可以看出，我們的方法行之有效。

例2考慮如下有兩個(gè)模糊規(guī)則的系統(tǒng)[15]，參數(shù)如下

基于定理3，在不考慮時(shí)滯的情況下，我們可以得到當(dāng)最大采樣周期h M ＝0.30時(shí)，H∞性能指標(biāo)γmin＝0.4160，而文獻(xiàn)[15]中得到的H∞性能指標(biāo)γmin＝0.9947；當(dāng)我們?nèi)∞性能指標(biāo)γmin＝0.9947時(shí)，可得到最大采樣周期h M ＝0.481，這比文獻(xiàn)[14]中得到的結(jié)果提升60.33%。由此可見，本文得到的結(jié)果保守性更小。

4 結(jié)論

針對(duì)一類帶有外部干擾的T-S模糊系統(tǒng)，本文構(gòu)造了一種新的李雅普諾夫泛函，該泛函充分利用了系統(tǒng)信息，有效降低了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的保守性。基于此泛函，本文提出了T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，并設(shè)計(jì)了相關(guān)控制器，保證了系統(tǒng)在滿足H∞性能條件下的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。同時(shí)，仿真算例也說明了該方法的有效性。