劉云翔，肖 巖

(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，上海 201418)

1 引言

新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)自2019年年末發(fā)現(xiàn)以來(lái)，已經(jīng)奪去了無(wú)數(shù)人的生命，并產(chǎn)生了巨大的負(fù)面經(jīng)濟(jì)影響。疫情期間，構(gòu)建出一個(gè)科學(xué)的傳播預(yù)測(cè)模型對(duì)疫情的防控和政府的統(tǒng)籌是非常重要的[1-3]。

傳染病預(yù)測(cè)模型的研究和分析對(duì)理解疾病傳播機(jī)制發(fā)揮著重要作用。疫情發(fā)生以來(lái)，眾多研究人員集中他們的專(zhuān)業(yè)知識(shí)來(lái)開(kāi)發(fā)預(yù)測(cè)模型，利用共享的數(shù)據(jù)來(lái)分析疫情的流行情況[4，5]。目前預(yù)測(cè)模型主要集中在傳染病動(dòng)力學(xué)及機(jī)器學(xué)習(xí)等人工智能預(yù)測(cè)模型。動(dòng)力學(xué)模型通過(guò)分析傳播過(guò)程中的相互作用來(lái)確定數(shù)學(xué)公式[6]。汪劍眉[7]等通過(guò)改進(jìn)經(jīng)典的傳染病模型SIR，優(yōu)化了模型的初始參數(shù)、提高了模型精度。改進(jìn)后的模型分析了干預(yù)成效，為后續(xù)的防控策略提供了參考意見(jiàn)。范如國(guó)[8]等在SEIR模型的基礎(chǔ)上使用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論對(duì)不同狀態(tài)下的模型參數(shù)進(jìn)行了仿真分析，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)3種不同情形下的新型冠狀病毒疫情進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析并給出了防控建議。人工智能模型利用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練。洪彬[9]等在傳統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上，使用長(zhǎng)短期記憶人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建混合模型提高了疫情預(yù)測(cè)模型的精度，在波動(dòng)的疫情數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)干擾因素。

隨著人們對(duì)新型冠狀病毒肺炎的認(rèn)知的逐步提高和外界因素的干預(yù)，傳染病動(dòng)力學(xué)模型需要不斷更新模型參數(shù)，很難形成一個(gè)具有其方程的確定模型。在實(shí)際應(yīng)用中傳染病動(dòng)力學(xué)模型對(duì)預(yù)設(shè)參數(shù)要求較高且通常求解較為困難，當(dāng)疫情發(fā)生變化時(shí)不能及時(shí)更新模型參數(shù)，影響了預(yù)測(cè)效果。傳染病數(shù)據(jù)與普通統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不同，感染者會(huì)將傳染病傳染給其他個(gè)體，因而存在極高的相關(guān)性，使得大量基于獨(dú)立性假設(shè)的人工智能預(yù)測(cè)模型精度降低。此外人工智人工智能預(yù)測(cè)模型對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的數(shù)量和質(zhì)量要求較高且容易陷入過(guò)擬合。疫情發(fā)展是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，外界的干預(yù)甚至?xí)霈F(xiàn)重大變化。目前，傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型，泛化能力差，受其它因素如防控措施、疫苗等外界因素影響大，不能很好的應(yīng)用在動(dòng)態(tài)變化的新型冠狀病毒肺炎疫情的預(yù)測(cè)中。本文充分考慮到各種外界干預(yù)對(duì)疫情的影響，提出引入混沌理論進(jìn)行研究，從整體、變化的角度來(lái)分析和預(yù)測(cè)疫情的發(fā)展，將新型冠狀病毒肺炎疫情傳播預(yù)測(cè)看作一個(gè)長(zhǎng)期且動(dòng)態(tài)變化受多種因素共同影響的時(shí)間序列預(yù)測(cè)問(wèn)題。通過(guò)相空間重構(gòu)技術(shù)，在重構(gòu)的相空間利用支持向量回歸推知整個(gè)系統(tǒng)的變化，從而提高模型在外界干預(yù)情況下的預(yù)測(cè)精度?；诖?，本文提出一種使用混沌理論(chaos theory)結(jié)合支持向量回歸(support vector regression，SVR)的新型冠狀病毒肺炎的傳播預(yù)測(cè)模型(CHAOS-SVR)，實(shí)現(xiàn)對(duì)動(dòng)態(tài)變化的疫情發(fā)展趨勢(shì)更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)，并且為新型冠狀病毒肺炎傳播預(yù)測(cè)模型提供一種全新的思路。

2 CHAOS-SVR預(yù)測(cè)模型

大量研究表明，傳染病的傳播是一種混沌現(xiàn)象[10]?；煦缡且环N無(wú)序的，非周期的現(xiàn)象。混沌不是非線(xiàn)性系統(tǒng)簡(jiǎn)單的無(wú)序,本質(zhì)是確定的，因此存在短期預(yù)測(cè)的可行性[11，12]。新型冠狀病毒肺炎具有非常復(fù)雜的傳播過(guò)程，該傳染病具有混沌和振蕩的特性[13]?？梢允褂没煦缋碚撨M(jìn)行研究。

2.1 疫情數(shù)據(jù)處理

本文使用國(guó)家健康衛(wèi)生委員會(huì)公布的數(shù)據(jù)，建立每日新增確診人數(shù)的時(shí)間序列。實(shí)驗(yàn)選取新疆2020年7月16日到8月16的疫情數(shù)據(jù)。選取的新疆疫情從一開(kāi)始就受到國(guó)家的高度關(guān)注，有關(guān)人員迅速被隔離并及時(shí)治療。因此，該疫情傳播過(guò)程更加復(fù)雜，外界干預(yù)和不確定的因素更大。因此選取這次疫情中的數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)以2020年7月16日作為統(tǒng)計(jì)的第一天，以一天為時(shí)間尺度構(gòu)建每日新增確診人數(shù)時(shí)間序列。新增確診人數(shù)的原始時(shí)間序列為ti：i=1，2，…，n,i表示天數(shù)，n表示時(shí)間序列總長(zhǎng)度，ti代表第i天新增確診人數(shù)。

2.2 相空間重構(gòu)

為了定量地估計(jì)系統(tǒng)的復(fù)雜性，并估計(jì)觀(guān)察到的動(dòng)態(tài)行為，需要進(jìn)行相空間重建。從一維時(shí)間序列中，可以利用嵌入定理構(gòu)造一個(gè)相空間。設(shè)時(shí)間序列為{ti：i=1，2，…，n}，時(shí)間序列總長(zhǎng)度為n，以延遲時(shí)間τ為間隔，構(gòu)成一個(gè)m維的向量。其中m=n-(d-1)τ。重構(gòu)的相空間中的狀態(tài)向量可表示為：

xi=(ti，ti+τ，ti+2τ，…，ti+(d-1)τ)T

(1)

其中:xi是一個(gè)m維矢量，i=1，2，…，m，代表重構(gòu)相空間的狀態(tài)序列，d表示嵌入維度。τ是延遲時(shí)間。對(duì)于一個(gè)m維時(shí)間序列，重構(gòu)成的相空間可表示為：

(2)

其中X是d×m的矩陣。d表示嵌入維度。τ是延遲時(shí)間。對(duì)于實(shí)驗(yàn)中延遲時(shí)間τ需要進(jìn)行合理的選取，不能隨意假設(shè)。如果延遲時(shí)間τ選取的過(guò)大，會(huì)導(dǎo)致疫情數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性很小，如果延遲時(shí)間τ選取過(guò)小，會(huì)導(dǎo)致疫情數(shù)據(jù)相關(guān)性較強(qiáng)，淹沒(méi)其中的隱藏的信息。過(guò)大過(guò)小的延遲時(shí)間都會(huì)造成信息丟失。本文使用自相關(guān)法來(lái)估計(jì)疫情數(shù)據(jù)的延遲時(shí)間τ。自相關(guān)函數(shù)可表示為

(3)

其中τ是延遲時(shí)間，R(τ)表示自相關(guān)函數(shù)，揭示了相鄰兩個(gè)時(shí)刻的相互關(guān)聯(lián)程度。嵌入維度d的選取決定了實(shí)驗(yàn)的成敗。為了獲得更準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)效果，本文使用虛假最近鄰法計(jì)算每日新增確診人數(shù)時(shí)間序列的嵌入維度d。吸引子上的軌跡點(diǎn)在相空間中有鄰點(diǎn)。這些鄰居的行為為了解鄰居的演化提供了有價(jià)值的信息，以便產(chǎn)生預(yù)測(cè)方程。另一方面，根據(jù)相空間中的鄰居的行為能夠開(kāi)發(fā)一個(gè)簡(jiǎn)單但有效的算法來(lái)確定最優(yōu)的嵌入維數(shù)。

在d維相空間中，狀態(tài)點(diǎn)xi=(ti，ti+τ，…，ti+(d-1)τ)T，i=1，2，…，n-dτ，和xj=(tj，tj+τ，…，tj+(d-1)τ)2,j∈{1，2，…，n-dτ}之間的歐式距離的平方可以表示為：

Rd，i=‖xi-xj‖2

(4)

其中Rd，i代表相鄰狀態(tài)點(diǎn)之間的歐式距離，不斷增大d的值，從最小值開(kāi)始計(jì)算，存在比值Sd。

(5)

其中Sd表示嵌入維度增加后到偽最近鄰點(diǎn)的比值，當(dāng)小于百分之五或者不再減少可認(rèn)為此時(shí)的嵌入維度就是最合適的嵌入維度。

2.3 建立CHAOS-SVR預(yù)測(cè)模型

完成相空間重構(gòu)后，可以根據(jù)重構(gòu)后的軌跡推導(dǎo)整個(gè)系統(tǒng)的變化。可以有效避免復(fù)雜系統(tǒng)中未知因素的影響。重構(gòu)的相空間中，相鄰時(shí)間依然存在非線(xiàn)性映射關(guān)系，實(shí)驗(yàn)得到重構(gòu)相空間中的狀態(tài)序列{xi：i=1，2，…，m}，存在單步演化規(guī)律為

Xi+1=F(xi)

(6)

可改寫(xiě)為

(ti+1，ti+1+τ，ti+1+2τ，…，ti+1+(d-1)τ)T

=F((ti，ti+τ，ti+2τ，…，ti+(d-1)τ)T)

(7)

F(xi)代表非線(xiàn)性映射函數(shù)，使用SVR可以很快的學(xué)習(xí)這個(gè)非線(xiàn)性映射。對(duì)于給定的訓(xùn)練樣本Dtrn={(xi，yi)：i=1，2，…，m}，目標(biāo)得到一個(gè)非線(xiàn)性映射，這就是實(shí)驗(yàn)建立的CHAOS-SVR單步預(yù)測(cè)模型

f(x)=wTx+b

(8)

通過(guò)最小化目標(biāo)函數(shù)來(lái)優(yōu)化問(wèn)題，原目標(biāo)函數(shù)可表示為：

(9)

約束條件為：

(10)

(11)

ti+1+(d-1)τ=f(xi)=f((ti，ti+τ，ti+2τ，…，ti+(d-1)τ)T)

(12)

其中f(x)代表相空間中存在非線(xiàn)性映射，SVR模型需要從訓(xùn)練集中學(xué)習(xí)得到最優(yōu)的f(x)。對(duì)于時(shí)間序列{ti：i=1，2，…，n}，n為訓(xùn)練集中樣本個(gè)數(shù)。設(shè)置L為待預(yù)測(cè)天數(shù)，CHAOS-SVR模型多步預(yù)測(cè)算法為

輸入：疫情時(shí)間序列={ti：i=1，2，…，n}

待預(yù)測(cè)天數(shù)L

算法流程為：

1) 對(duì)輸入的疫情時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)

2) 根據(jù)相空間重構(gòu)結(jié)果，建立CHAOS-SVR單步預(yù)測(cè)模型G：

4) end for

圖1 CHAOS-SVR預(yù)測(cè)模型流程圖

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境和對(duì)比實(shí)驗(yàn)

本文所用的編譯環(huán)境Windows 10 下的python 3.7版本和MATLAB 2014版本。為了更好地比較干預(yù)狀態(tài)下預(yù)測(cè)模型的精度。本實(shí)驗(yàn)設(shè)置2組對(duì)比實(shí)驗(yàn)并進(jìn)行結(jié)果分析，考慮到疫情發(fā)展趨勢(shì)在干預(yù)狀態(tài)下變化大、數(shù)據(jù)量小，預(yù)測(cè)模型變得更復(fù)雜，傳統(tǒng)基于數(shù)據(jù)的主流預(yù)測(cè)模型會(huì)淹沒(méi)少數(shù)數(shù)據(jù)，人工智能預(yù)測(cè)模型和傳染病動(dòng)力學(xué)模型分別選擇預(yù)測(cè)效果較好的曲線(xiàn)擬合預(yù)測(cè)模型和SEIR模型。設(shè)置兩個(gè)規(guī)模大小不同的數(shù)據(jù)集：Set＿15、Set＿20。其中Set＿15 為前15天數(shù)據(jù)為訓(xùn)練集，Set＿20 劃分規(guī)則同理。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為避免陷入過(guò)擬合，曲線(xiàn)擬合預(yù)測(cè)模型擬合函數(shù)使用3次多項(xiàng)式。圖2至圖5給出的是不同大小訓(xùn)練集下曲線(xiàn)擬合預(yù)測(cè)模型和CHAOS-SVR預(yù)測(cè)模型的仿真結(jié)果。

圖2 基于曲線(xiàn)擬合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果(訓(xùn)練集為Set＿15)

圖3 基于曲線(xiàn)擬合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果(訓(xùn)練集為Set＿20)

圖4 CHAOS-SVR預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果(訓(xùn)練集為Set＿15)

圖5 CHAOS-SVR預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果(訓(xùn)練集為Set＿20)

由圖2和圖3可看出，曲線(xiàn)擬合預(yù)測(cè)模型能迅速擬合數(shù)據(jù)，但不能精準(zhǔn)預(yù)測(cè)外界干預(yù)狀態(tài)下疫情的新增確診人數(shù)和走勢(shì)。這是因?yàn)榍€(xiàn)擬合預(yù)測(cè)模型只是單純對(duì)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)的擬合。當(dāng)疫情發(fā)生重大變化時(shí)，曲線(xiàn)擬合預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)精度迅速下降，容易陷入過(guò)擬合，甚至出現(xiàn)相反的預(yù)測(cè)趨勢(shì)。曲線(xiàn)擬合預(yù)測(cè)模型與實(shí)際誤差大與數(shù)據(jù)集中疫情受到外界干預(yù)發(fā)生重大變化有關(guān)，曲線(xiàn)擬合預(yù)測(cè)模型陷入對(duì)歷史疫情數(shù)據(jù)趨勢(shì)的過(guò)擬合，沒(méi)有充分考慮到外界因素的影響。由圖4和圖5可以觀(guān)察到本文提出的CHAOS-SVR預(yù)測(cè)模型，在訓(xùn)練集分別為15天和20天的情況下曲線(xiàn)走勢(shì)都與真實(shí)情況大致相同，數(shù)值也更接近，這與CHAOS-SVR預(yù)測(cè)模型充分考慮到干預(yù)狀態(tài)下多種因素的共同影響，以整體、連續(xù)的眼光看待疫情的發(fā)展有關(guān)。

動(dòng)力學(xué)預(yù)測(cè)模型SEIR模型和CHAOS-SVR預(yù)測(cè)模型對(duì)比結(jié)果如圖6至圖7。

圖7 SIR模型和CHAOS-SVR模型對(duì)比結(jié)果(訓(xùn)練集為Set＿15)

圖8 SIR模型和CHAOS-SVR模型對(duì)比結(jié)果(訓(xùn)練集為Set＿20)

由圖6和圖7可以看出，在外界干預(yù)狀態(tài)下，本文提出的預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果比SIR模型更接近，且在疫情趨勢(shì)預(yù)測(cè)曲線(xiàn)上與實(shí)際疫情走勢(shì)基本吻合。而傳統(tǒng)的SEIR傳播預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)效果誤差很大，在訓(xùn)練集為15天和20天都有較大誤差。這與疫情發(fā)展過(guò)程中，模型初期設(shè)置的參數(shù)發(fā)生變化有關(guān)。如在SEIR傳播預(yù)測(cè)模型中，參數(shù)β代表疾病的傳染能力，受外界因素影響很大，隨著疫情的不斷發(fā)展會(huì)逐漸變化甚至趨近于零，從而對(duì)預(yù)測(cè)精度造成重大影響。使用均方根誤差(RMSE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，3種預(yù)測(cè)模型的RMSE如表1。本文所提出的CHAOS-SVR預(yù)測(cè)模型比曲線(xiàn)擬合和SEIR傳播預(yù)測(cè)模型在干預(yù)狀態(tài)下的預(yù)測(cè)效果更好，在預(yù)測(cè)數(shù)值水平上更接近，均方根誤差更小，趨勢(shì)預(yù)測(cè)更準(zhǔn)確。

表13 種預(yù)測(cè)模型的RMSE

4 結(jié)語(yǔ)

干預(yù)狀態(tài)下的疫情更加難以預(yù)測(cè)，其受其它因素影響更大更難預(yù)測(cè)。基于此，本文提出了一種新的流行病預(yù)測(cè)模型來(lái)預(yù)測(cè)新型冠狀病毒肺炎的傳播。引入混沌理論，建立CHAOS-SVR模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，不斷進(jìn)行遞歸單步預(yù)測(cè)從而實(shí)現(xiàn)多步預(yù)測(cè)效果。并和傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型在相同的數(shù)據(jù)集和干預(yù)狀態(tài)下進(jìn)行了比較分析，結(jié)果表明，本文提出的預(yù)測(cè)模型在相同干預(yù)狀態(tài)下的疫情數(shù)據(jù)上具有更好的泛化能力和預(yù)測(cè)效果，在疫情的防控中具有一定的參考價(jià)值，并且為新型冠狀病毒肺炎傳播預(yù)測(cè)模型提供一種全新的思路。盡管本文所提出的基于機(jī)器學(xué)習(xí)的新型冠狀病毒肺炎傳播預(yù)測(cè)模型較其它模型在相同干預(yù)條件下的疫情數(shù)據(jù)集上的預(yù)測(cè)效果有了較大的提升，但與真實(shí)疫情數(shù)據(jù)還有一定差距，這與遞歸進(jìn)行單步預(yù)測(cè)造成誤差堆積有關(guān)，后續(xù)將進(jìn)一步重點(diǎn)研究?jī)?yōu)化模型，提高單步預(yù)測(cè)精度，減小多步預(yù)測(cè)產(chǎn)生的誤差堆積。