葉 鈴 沈偉國 徐建良 雷迎科

（1.國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，安徽合肥 230000；2.中國電子科技集團(tuán)公司第三十六研究所，浙江嘉興 314000）

1 引言

直接序列擴(kuò)頻信號（Direct Sequence Spread Spectrum，DSSS），因其具有良好的保密性、極強(qiáng)的抗噪聲性能以及低截獲概率被廣泛用于衛(wèi)星、雷達(dá)、超短波、水聲信道等以及各種民用和軍事領(lǐng)域中。隨著擴(kuò)頻通信的廣泛應(yīng)用，作為非協(xié)作方對直擴(kuò)信號進(jìn)行檢測、參數(shù)估計成為了當(dāng)務(wù)之急，具有重要的意義。擴(kuò)頻序列是直擴(kuò)信號的關(guān)鍵參數(shù)，是實施干擾、以及相干解擴(kuò)的首要條件，而信息序列則是非協(xié)作方進(jìn)行解擴(kuò)的最終目的，是信息解密的關(guān)鍵。

目前DSSS 信號偽碼序列的估計方法主要有Massey 算法［1］、三階相關(guān)算法［2］、基于FAST-ICA 算法［3］和矩陣分解算法［4-5］、最大范數(shù)法［6-7］等。Massey算法主要用于估計線性反饋移位寄存器序列，但是不能處理非線性序列的問題，抗噪性能不強(qiáng)。三階相關(guān)算法主要通過三階相關(guān)函數(shù)尋找峰值點，實現(xiàn)擴(kuò)頻碼本原多項式的估計，但是三階相關(guān)函數(shù)的計算量較大，僅能實現(xiàn)m 序列的估計，且適應(yīng)信噪比能力不強(qiáng)。基于矩陣分解算法能夠有效估計偽碼序列，并且可以適應(yīng)多種擴(kuò)頻序列的類型，是直擴(kuò)信號分析最常用的方法，但是矩陣分解算法對信號失步點精度要求較高，而本身矩陣分解算法對信號起始點估計的精度較差，對偽碼序列估計性能有較大影響。最大范數(shù)法通過改變觀測信號的起始點，尋找對應(yīng)的最大Frobenious 范數(shù)的最大值估計失步點最終得到偽碼序列的估計，但是最大范數(shù)法存在計算量大，同步時間長的問題。文獻(xiàn)［7］提出了一種基于改進(jìn)傳播算子的PN 序列估計算法，算法具有計算量小的優(yōu)點，但該算法存在抗噪性能不強(qiáng)的問題，僅能在信噪比大于0dB時實現(xiàn)失步點及PN序列精確估計。信息序列估計傳統(tǒng)方法是先估計得到偽碼序列再采用相關(guān)解擴(kuò)的方式得到信息碼的估計，文獻(xiàn)［8］提出了一種利用觀測矩陣右奇異向量直接估計信息序列的方法，但是該方法僅適用于三段信息序列正交的情況。

針對現(xiàn)有的低信噪比下失步點估計不準(zhǔn)以及偽碼序列盲估計準(zhǔn)確率較低等問題，本文提出了一種改進(jìn)的基于特征值分解的信息序列和偽碼序列盲估計算法。算法對觀測信號按照一倍的偽碼周期進(jìn)行分段，組成觀測矩陣后構(gòu)建第一類接收信號自相關(guān)矩陣，并對其進(jìn)行特征值分解，利用特征值和失步點間的關(guān)系完成信號的失步點估計，隨后再利用相關(guān)矩陣的特征向量完成對信息序列的估計。在此基礎(chǔ)上，再構(gòu)建第二類接收信號自相關(guān)矩陣，并對其進(jìn)行特征值分解，利用矩陣最大特征值對應(yīng)的特征向量完成偽碼序列的估計。該方法不受偽碼類型的限制，能夠高精度的實現(xiàn)信號失步點的盲估計，有效的估計信息序列和偽碼序列，并且對低信噪比條件具有很強(qiáng)的適應(yīng)性。

2 信號模型

本文研究的DSSS 信號類型為短碼直擴(kuò)信號，信號具有一周期偽碼擴(kuò)展一位信息碼的特點。信號通過加性高斯白噪聲信道后，接收機(jī)接受到的基帶信號模型為：

其中s(t) 為基帶直接序列擴(kuò)頻信號，d(t)=為取值為{+1，}-1 且等概率分布的信息序列，信息碼碼片寬度為Tb，g(t)為寬度為Tb的矩形窗函數(shù)；p(t)=，其中bj為取值為{+1，}-1 的偽碼序列，Tc為偽碼碼片寬度，q(t)為發(fā)射濾波器、信道沖激函數(shù)，接收濾波器的卷積；偽碼序列的長度為N，由于擴(kuò)頻方式采用的是短碼擴(kuò)頻，所以有擴(kuò)頻增益等于擴(kuò)頻碼長度即Tb=NTc；n(t)是均值為0，方差為σn2的高斯白噪聲，且與信號不相關(guān)。

在已知信號偽碼序列周期Tb以及偽碼寬度Tc的情況下，對接收信號按照采樣間隔Ts進(jìn)行采樣，并按照一倍的偽碼周期Tb對接收信號進(jìn)行分段，段數(shù)為M。分段后每段信號可以表示為

其中ak、ak+1為兩位連續(xù)的信息碼，n(k)為第k段內(nèi)包含的噪聲向量，p1為一個長度L=Tb/Ts的向量，它包含持續(xù)期為（Tb-Tx）的偽碼波形的后段，后面緊接著持續(xù)期為Tx的零值。p2為一個長度L=Tb/Ts的向量，它包含持續(xù)期為（Tb-Tx）的零值，后接持續(xù)期為Tx的偽碼波形的前段。Tx表示每段信號內(nèi)信息跳變的時刻，又稱為失步時間。

對于包含M段數(shù)據(jù)向量的接收數(shù)據(jù)集，將數(shù)據(jù)矩陣定義為

其中N為噪聲矩陣，S為有用信號矩陣

3 信號失步點及信息序列盲估計

3.1 自相關(guān)矩陣特征值分解

定義第一類接收信號自相關(guān)矩陣R1=AH A，假設(shè)信息碼均勻分布且互不相關(guān)，可將自相關(guān)矩陣進(jìn)一步表示為：

3.2 信號的失步點估計

對信號的自相關(guān)矩陣R1進(jìn)行特征值分解后可以得到兩個較大的特征值，根據(jù)式（11）兩個較大特征值的表達(dá)式可以得到

3.3 信息序列盲估計

在3.2 節(jié)估計得到信號失步點后，可以根據(jù)信號失步點的值計算出t以及β1、β2的值，此時兩個較大特征值對應(yīng)的特征向量可以表示為

實際矩陣進(jìn)行特征值分解時得到的特征向量都為正交歸一化向量，模均為1，由此可以得到

因此，信息序列可以由兩個特征向量的線性組合得到

根據(jù)矩陣的性質(zhì)可知，矩陣R1為正定矩陣，因此最后估計得到的向量和可能會存在180°的極性模糊，又因為當(dāng)Tx≠0 時，向量和的位置關(guān)系沒辦法確定。因此在完成估計后還需要去除兩個向量的極性模糊和位置模糊。去除相位模糊和位置模糊的思量主要是利用a1和a2之間的關(guān)系，向量a1和a2如圖1所示。

觀察圖1 可知，對向量a1和a2作互相關(guān)函數(shù)其峰值點會出現(xiàn)在時延等于1 處，反之對向量a2和a1作互相關(guān)函數(shù)峰值點則會出現(xiàn)在時延等于-1處，因此利用這個特性對向量和作互相關(guān)根據(jù)互相關(guān)函數(shù)峰值點的位置即可去除和之間的位置模糊，同時根據(jù)互相關(guān)函數(shù)峰值的取值為正還是為負(fù)，即可判斷和是同號還是異號，即可去除向量的極性模糊。因此根據(jù)這一思想定義如下函數(shù)［8］

3.4 偽碼序列盲估計

估計得到信號失步點后可以將接收信號進(jìn)行同步，同步后可以保證信號的失步點為0。此時再次將信號按照偽碼周期分段，分段后的信號可以表示為

其中p為一個向量，是由一個完整周期的偽碼序列波形采樣得到，向量長度L=Tb/Ts。此時的有用信號矩陣S可以表示為

其中a=[a1a2…aM-1]，在此基礎(chǔ)上定義第二類接收信號自相關(guān)矩陣R2

4 算法實現(xiàn)步驟

Step1將采樣后觀測信號r的起始點t0在［0，L?1］之間滑動，得到一系列觀測向量r（t0）。

Step2將觀測向量分段排列后形成觀測矩陣A（t0），隨后求得自相關(guān)矩陣R1（t0）=A（t0）HA（t0）。

Step3對自相關(guān)矩陣R1（t0）進(jìn)行特征分解，得到最大特征值λ1(t0)和次大特征值λ2(t0)，通過搜索函數(shù)f(t0)的最大值完成失步點的估計，失步點估計值=-arg maxf(t0)+L。

Step4對矩陣R1（0）進(jìn)行特征分解，得到最大和次大特征向量，根據(jù)式（17）完成信息序列盲估計。

Step5根據(jù)失步點對信號進(jìn)行同步，使用同步后信號構(gòu)造相關(guān)矩陣R2。

Step6對相關(guān)矩陣R2進(jìn)行特征值分解，提取R2最大特征向量完成偽碼序列盲估計。

5 復(fù)雜度比較和仿真分析

5.1 復(fù)雜度比較

算法的復(fù)雜度主要包括兩部分，即算法實現(xiàn)時需要用到的加法次數(shù)以及乘法次數(shù)，假設(shè)接收機(jī)接收到信號組數(shù)為M，偽碼序列長度為N，實際應(yīng)用中一般有M

本文算法在完成失步點估計時對矩陣進(jìn)行了特征值分解操作，特征值分解操作的復(fù)雜度為O（M3）［11］，因此在估計信息序列估計時復(fù)雜度為O（NM3+MN2），估計偽碼序列時的復(fù)雜度為O（NM3+NM2），各算法之間復(fù)雜度對比如表1 所示。根據(jù)表1 可知各算法復(fù)雜度與數(shù)據(jù)組數(shù)M和偽碼序列長度N有關(guān)，其中數(shù)據(jù)組數(shù)M可以進(jìn)行調(diào)節(jié)，而偽碼序列長度N是固定的無法進(jìn)行改變，實際應(yīng)用過程中一般有N大于M，尤其在N取2047或4095等較長的長度時本文算法與特征值分解算法和最大范數(shù)法相比有復(fù)雜度方面的優(yōu)勢。與文獻(xiàn)［8］算法相比本文算法復(fù)雜度略高，但是后續(xù)實驗可以證明本文算法收斂所需組數(shù)M較小，在達(dá)到同樣精度要求的情況下所需的數(shù)據(jù)組數(shù)M更小，所以在實際處理過程中二者復(fù)雜度相差并不大。

表1 算法復(fù)雜度對比Tab.1 Comparison of algorithm complexity

5.2 信號失步點估計仿真

短碼直擴(kuò)信號采用BPSK 調(diào)制，擴(kuò)頻碼分別采用長度為255 和511 的m 序列。觀測數(shù)據(jù)組數(shù)M=500，采樣間隔為Tc，信號失步點為Tx均設(shè)置為80Tc。信噪比SNR 設(shè)置為?10 dB，信噪比的計算公式為SNR=，其中σs2為信號的方差。圖1給出了式（14）所示失步時間估計函數(shù)的波形，圖2（a）、圖2（b）分別代表不同長度擴(kuò)頻碼直擴(kuò)信號的失步點估計結(jié)果，函數(shù)最大值處分別為175Tc和431Tc，根據(jù)式（15）可以計算得到兩個信號的失步點均為80Tc，仿真實驗證明本方法可以正確的估計信號的失步點。

5.3 信息序列和偽碼序列估計仿真

短碼直擴(kuò)信號采用BPSK 調(diào)制，擴(kuò)頻碼采用長度為255 的m 序列。觀測數(shù)據(jù)組數(shù)M=500，采樣間隔為Tc，信號失步點Tx為20Tc，信噪比取SNR=?10 dB。圖3（a）和圖3（b）分別給出了信息序列和偽碼序列估計結(jié)果，結(jié)果表明本方法能夠有效的估計出信號的信息序列和偽碼序列。需要注意的是估計序列與原序列之間可能會出現(xiàn)180°的相位模糊，在沒有其他信息的條件下，整體的相位模糊是無法消除的，但這并不影響用所估計到的序列來對接收解擴(kuò)或發(fā)出干擾信號［12］。

5.4 估計性能分析

信號采用BPSK 調(diào)制，擴(kuò)頻碼采用長度為255的m 序列，采樣頻率間隔為Tc，信號失步點Tx設(shè)置為80Tc，蒙特卡洛次數(shù)為300 次。各項性能指標(biāo)定義如下：

信號失步點估計正確率（Pc）：

均方根誤差：

波形相似度

圖4（a）表示不同方法在不同信噪比下，不同方法估計信號失步點的正確率曲線，此時數(shù)據(jù)組數(shù)M=300，從圖4（a）可以看出在算法準(zhǔn)確度方面本文明顯優(yōu)于最大范數(shù)法和特征分解算法，與文獻(xiàn)［8］算法相比也是本文算法占優(yōu)，以估計正確率達(dá)到90%為標(biāo)準(zhǔn)，本文較其他算法性能提升2 dB 以上。圖4（b）表示不同信噪比下估計信號失步點的均方根誤差，從圖4（b）可以看出，從算法的穩(wěn)定性上來說本文算法也是最好。

圖5（a）反映了各個算法的信息序列估計性能，圖5（b）反映了各個算法的偽碼序列估計性能。由圖5（a）可知，本文算法明顯優(yōu)于最大范數(shù)法和特征分解算法，與文獻(xiàn)［8］方法對比時，在較低信噪比下（小于?14 dB）本文算法性能略微低于文獻(xiàn)［8］算法，但當(dāng)SNR大于?14 dB后，本文算法性能優(yōu)于文獻(xiàn)［8］算法，并且此時的波形相似度可以達(dá)到1，相比之下文獻(xiàn)［8］即使在信噪比較高的情況下波形相似度也無法達(dá)到1，這是由于其算法設(shè)計時僅考慮了特殊情況，本文算法解決了這一問題。觀察圖5（b）可知，本文算法在偽碼估計性能方面要優(yōu)于其他算法。

圖6（a）表示起始點估計算法收斂（Pc>90%）所需的數(shù)據(jù)組數(shù)，圖6（b）表示偽碼序列估計算法收斂（波形相似度>90%）所需的數(shù)據(jù)組數(shù)，由于特征分解算法在低信噪比下無法達(dá)到相應(yīng)的指標(biāo)，所以本實驗僅和最大范數(shù)法以及文獻(xiàn)［8］算法進(jìn)行對比。由圖可知，本文算法收斂所需的數(shù)據(jù)組數(shù)要明顯的低于最大范數(shù)法，與文獻(xiàn)［8］所提算法相當(dāng)，但在低信噪比條件下所需數(shù)據(jù)組數(shù)要明顯少于文獻(xiàn)［8］算法，由于實際截獲的擴(kuò)頻信號長度往往是有限的，所以所需數(shù)據(jù)組數(shù)越少，實用性也越強(qiáng)。

6 結(jié)論

針對現(xiàn)有方法在低信噪比條件下估計失步點不準(zhǔn)的缺點，本文提出了一種改進(jìn)的基于特征值分解的方法?，F(xiàn)有方法可以直接對偽碼序列進(jìn)行盲估計，但是僅能在各段信息序列相互正交的條件下對信息序列進(jìn)行直接估計，本文改進(jìn)后的方法在兩段信息序列非正交的條件下也能實現(xiàn)信息序列的盲估計。同時本文提出的失步點估計方法可以實現(xiàn)低信噪比下失步點的精確估計。實驗驗證了本方法可以在低信噪比的條件下完成直擴(kuò)信號的PN序列盲估計，同時算法收斂所需的信號組數(shù)也要明顯的小于其他算法。在實際的直擴(kuò)信號盲解擴(kuò)過程中所需的信號長度最短，穩(wěn)定性好，易于硬件實現(xiàn)。