蔡 炯 王 銳，2 胡 程

（1.北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院，北京 100081；2.北京理工大學(xué)前沿技術(shù)研究院，山東濟(jì)南 250300）

1 引言

雷達(dá)中的機(jī)動(dòng)小目標(biāo)檢測一直是信號(hào)處理中的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題，典型的機(jī)動(dòng)小目標(biāo)包括小型無人機(jī)、飛鳥等。隨著制造工藝、自動(dòng)控制等技術(shù)的提升，無人機(jī)日趨小型化、機(jī)動(dòng)化，美軍因此也將小型無人機(jī)的發(fā)展上升到戰(zhàn)略層面［1］。除此之外，近幾年，由“黑飛”無人機(jī)、飛鳥等低空機(jī)動(dòng)目標(biāo)導(dǎo)致的民航客機(jī)撞機(jī)事件頻發(fā)［2］，嚴(yán)重影響國家公共安全，空中小型無人機(jī)、鳥類等典型飛行目標(biāo)的雷達(dá)探測已成為當(dāng)前迫切需求以及研究熱點(diǎn)。空中小型無人機(jī)、飛鳥等目標(biāo)體型小、重量輕，RCS弱，導(dǎo)致雷達(dá)回波信噪比極低，難以檢測，必需對(duì)目標(biāo)回波長時(shí)間相參積累以改善信噪比。然而，由于空中無人機(jī)、飛鳥等目標(biāo)飛行機(jī)動(dòng)靈活，運(yùn)動(dòng)過程中時(shí)常存在加速度、加加速度等高階運(yùn)動(dòng)分量［3］，導(dǎo)致多普勒頻率徙動(dòng)（Doppler frequency migration，DFM）現(xiàn)象產(chǎn)生，積累后目標(biāo)散焦，信噪比不足，漏檢嚴(yán)重。

為了解決目標(biāo)機(jī)動(dòng)產(chǎn)生的DFM 現(xiàn)象，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種高階運(yùn)動(dòng)分量補(bǔ)償算法以克服積累后多普勒維上的散焦。這些算法大多通過遍歷搜索等方式估計(jì)出目標(biāo)的高階運(yùn)動(dòng)分量，然后據(jù)此構(gòu)造高階運(yùn)動(dòng)分量共軛信號(hào)，經(jīng)過匹配濾波，消除高階運(yùn)動(dòng)分量完成信號(hào)的DFM 的補(bǔ)償，較為經(jīng)典的有分?jǐn)?shù)階傅里葉變換（Fractional Fourier transform，F(xiàn)RFT）［4］、Radon-Fourier 變換（RFT）［5］、廣義RFT［6］、離散多項(xiàng)式相位變換［7］以及它們的改進(jìn)算法。例如，文獻(xiàn)［8］利用分段處理的思想對(duì)FRFT 進(jìn)行改進(jìn)，其首先通過較粗的搜索方式確定目標(biāo)加速度的大致范圍，然后利用牛頓法迭代得到更為精細(xì)的估計(jì)結(jié)果，一定程度減輕了FRFT 的運(yùn)算負(fù)擔(dān)；為克服廣義RFT 計(jì)算量大的問題并提高多目標(biāo)場景下的算法效率，文獻(xiàn)［9］提出了一種基于多粒子群的尋優(yōu)方法，有效檢測到了空中的遷徙害蟲。

然而當(dāng)前大多數(shù)研究都是針對(duì)只含二階運(yùn)動(dòng)分量（勻加速）的目標(biāo)，對(duì)加加速度等高階運(yùn)動(dòng)分量的估計(jì)補(bǔ)償方法較少。在實(shí)際雷達(dá)場景中，由于目標(biāo)的時(shí)變運(yùn)動(dòng)以及雷達(dá)視線與目標(biāo)的空間幾何關(guān)系，目標(biāo)相對(duì)于雷達(dá)的徑向運(yùn)動(dòng)將變得尤為復(fù)雜，往往含有加加速度等更高階的速度分量。在此場景下，大多傳統(tǒng)的高階運(yùn)動(dòng)分量補(bǔ)償算法存在補(bǔ)償效果不佳、運(yùn)算量過大等性能局限問題。為此，本文提出了一種基于最小熵的機(jī)動(dòng)目標(biāo)檢測算法，相較于其他同領(lǐng)域研究成果，本文貢獻(xiàn)如下：

（1）提供了一種高階運(yùn)動(dòng)分量的通用估計(jì)補(bǔ)償算法，利用仿真和實(shí)測數(shù)據(jù)證明其能有效補(bǔ)償加速度、加加速度等高階分量；

（2）以多普勒頻譜熵為代價(jià)函數(shù)，推導(dǎo)了相應(yīng)的迭代尋優(yōu)公式，可高效地實(shí)現(xiàn)高階運(yùn)動(dòng)分量的參數(shù)估計(jì)。

2 算法原理

在圖像處理當(dāng)中，由于圖像熵具有較好的凸優(yōu)化性質(zhì)，往往被作為代價(jià)函數(shù)，用于參數(shù)的迭代尋優(yōu)估計(jì)［10］。而類似地，在雷達(dá)信號(hào)處理中，若不對(duì)目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行DFM 補(bǔ)償，當(dāng)目標(biāo)存在高階運(yùn)動(dòng)分量時(shí)，直接進(jìn)行動(dòng)目標(biāo)檢測（Moving Target Detection，MTD）處理，其能量在多普勒頻譜上將會(huì)發(fā)散，不能理想地聚焦（熵值較大）；如果高階運(yùn)動(dòng)分量補(bǔ)償完成后，再進(jìn)行MTD 處理，則能夠得到良好的聚焦頻譜（熵值較小）。受此啟發(fā)，本文提出了一種基于最小熵的機(jī)動(dòng)目標(biāo)檢測算法，首先對(duì)目標(biāo)回波時(shí)域加窗并進(jìn)行FFT 以獲得其多普勒頻譜；然后針對(duì)目標(biāo)頻譜，以頻譜熵為代價(jià)函數(shù)，通過牛頓法快速迭代搜索加速度、加加速度等高階運(yùn)動(dòng)分量以使頻譜熵最小化；最后，利用搜索到的高階運(yùn)動(dòng)參數(shù)補(bǔ)償目標(biāo)信號(hào)的高階相位，即可完成相參積累。

2.1 多普勒頻譜熵

熵在圖像中可以表示圖像的混亂、復(fù)雜程度。如下圖1所示，熵值越大，圖像就越無序（散焦）、隨機(jī)、復(fù)雜；反之圖像熵越小，圖像就越有序（聚焦）、規(guī)則、簡單。圖像能量能完全聚焦于一點(diǎn)，熵值達(dá)到理論上的最小值0。一幅圖像的熵可利用下述公式計(jì)算：

其中|z(m，n)|代表圖像中一像素點(diǎn)的幅值。C為歸一化系數(shù)，是整幅圖像的能量，C=。

受此啟發(fā)，我們將熵值應(yīng)用于多普勒頻譜的評(píng)估中。如圖1（a）所示，當(dāng)目標(biāo)存在高階運(yùn)動(dòng)分量時(shí)，直接進(jìn)行MTD 處理，目標(biāo)的能量在頻譜上將會(huì)發(fā)散，熵值較大（4.8075），不能理想地聚焦于某個(gè)多普勒頻率。這導(dǎo)致脈沖積累增益降低，不利于后續(xù)的目標(biāo)檢測。而如果高階運(yùn)動(dòng)分量補(bǔ)償完成后，再進(jìn)行MTD 處理，如圖1（b）所示，則能夠得到良好的聚焦圖像，熵值較?。?.7731），信號(hào)最大值相比于直接MTD，提升了12 dB左右。

在速度估計(jì)相同的情況下，高階分量的估計(jì)補(bǔ)償越準(zhǔn)確，得到的熵值就會(huì)越小。因此，可以將速度設(shè)置為一固定值（通?？梢詾?），將熵作為補(bǔ)償高階運(yùn)動(dòng)分量的代價(jià)函數(shù)，通過最優(yōu)化頻譜熵可以實(shí)現(xiàn)高階運(yùn)動(dòng)分量的補(bǔ)償，以及準(zhǔn)確估計(jì)的目的。

假設(shè)雷達(dá)為脈沖多普勒雷達(dá)，其相位補(bǔ)償模型可表示為：

其中，s(m)為脈壓后第m個(gè)脈沖的目標(biāo)信號(hào)，φm為相位補(bǔ)償量，S(k)為相位補(bǔ)償后的多普勒譜。當(dāng)目標(biāo)做高階運(yùn)動(dòng)時(shí)，相位補(bǔ)償量φm可以表示為：

其中λ為雷達(dá)波長，T為PRT，ah代表h階運(yùn)動(dòng)分量大小。

此時(shí)多普勒頻譜的熵可表示為：

2.2 時(shí)域加窗

本文以熵為代價(jià)函數(shù)，通過牛頓法迭代尋優(yōu)，然而，牛頓迭代法只能保證熵收斂于某個(gè)局部極小值，其并不一定是全局最小值。為了讓算法更易于收斂于最小值，本算法通過時(shí)域加窗對(duì)回波信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，即對(duì)原始的雷達(dá)回波信號(hào)加權(quán)高階次的漢明窗后進(jìn)行FFT獲得主瓣展寬后的頻譜，以作后續(xù)迭代運(yùn)算處理。

時(shí)域加窗能夠展寬MTD 頻譜主瓣，平滑熵值曲線，從而保證算法易于收斂到最小值。如圖2所示，為一時(shí)域加窗的仿真示例效果。圖2（a）為未加窗時(shí)，頻譜熵隨補(bǔ)償?shù)亩A運(yùn)動(dòng)分量的變化曲線，可以看到此時(shí)熵值變化曲線存在眾多極小值點(diǎn)，易造成牛頓迭代法陷入局部最優(yōu)解；而圖2（b）為目標(biāo)信號(hào)回波時(shí)域加權(quán)高階漢明窗后的熵值變化曲線，可以看到加窗后熵值曲線更加平滑，極小值點(diǎn)大大減少，并且最小值點(diǎn)的橫坐標(biāo)位置保持不變，這樣能夠保證牛頓迭代法可較為輕易地收斂于最小值，估計(jì)出最佳的高階運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償分量。

2.3 迭代尋優(yōu)

補(bǔ)償高階運(yùn)動(dòng)相位后的多普勒頻譜S(k)將具有較小的熵，因此可以通過最小化S(k)對(duì)應(yīng)的熵E來估計(jì)目標(biāo)高階運(yùn)動(dòng)分量。其最優(yōu)化數(shù)學(xué)形式為：

對(duì)于此最優(yōu)化問題，我們利用牛頓法迭代求解。第i迭代中，將熵在處泰勒展開，可表示為：

（2）m≠l時(shí)，則

3 算法驗(yàn)證

3.1 仿真驗(yàn)證

3.1.1 補(bǔ)償性能測試

為了形象地說明基于最小熵的積累算法的迭代過程以及最終補(bǔ)償性能，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)含有三階運(yùn)動(dòng)分量的目標(biāo)場景，提取多個(gè)脈沖目標(biāo)脈壓后的信號(hào)，并分別直接MTD，利用FrFT 以及本文方法進(jìn)行補(bǔ)償。仿真中的具體雷達(dá)系統(tǒng)參數(shù)、目標(biāo)參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

對(duì)于本文最小熵的方法，設(shè)置一、二、三階運(yùn)動(dòng)分量的初值都為0，迭代求解二、三階運(yùn)動(dòng)分量，迭代終止條件為各階運(yùn)動(dòng)分量的一階導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值小于1e-4，其結(jié)果如圖3所示。從圖3（a）中可以看到，盡管高階運(yùn)動(dòng)分量的初值都為0，但隨著迭代次數(shù)的增多，二階、三階運(yùn)動(dòng)分量逐漸趨近于真值［0.3，0.1］，在第417 次迭代時(shí)，由于一階導(dǎo)數(shù)較小，達(dá)到迭代終止條件，最終得到二階、三階運(yùn)動(dòng)分量的估計(jì)值［0.34，0.07］。利用此估計(jì)值。

圖4展示了直接MTD 處理、經(jīng)過FrFT補(bǔ)償加速度后MTD 以及最小熵補(bǔ)償后MTD 的對(duì)比結(jié)果，可以看到直接MTD后，信號(hào)頻譜能量發(fā)散、呈帶狀，最大值約為37 dB；通過FrFT搜索加速度進(jìn)行補(bǔ)償后，DFM 有所改善，信號(hào)多普勒頻譜的能量更加集中，最大值約44 dB；而利用本文的最小熵補(bǔ)償后，DFM產(chǎn)生的頻譜能量擴(kuò)散現(xiàn)象被極大抑制，積累后的最大值為52 dB，較FrFT補(bǔ)償效果提高了8 dB。

3.1.2 檢測性能測試

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于最小熵的積累算法對(duì)強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的檢測性能，我們對(duì)補(bǔ)償后的頻譜進(jìn)行單元平均恒虛警率檢測（CA-CFAR），并采用蒙特卡羅仿真方法測試不同信噪比的目標(biāo)檢測概率。即，沿用表1的雷達(dá)系統(tǒng)參數(shù)，生成含有三階運(yùn)動(dòng)分量（加加速度）的固定目標(biāo)雷達(dá)回波，改變目標(biāo)信噪比，在固定虛警率的條件下，采用基于最小熵的積累檢測算法進(jìn)行恒虛警檢測并與真值對(duì)比，多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)不同信噪比下的目標(biāo)檢測概率，并與相同條件下的MTD、FrFT 積累算法作對(duì)比，蒙特卡羅仿真具體參數(shù)如表2所示。

表2 蒙特卡羅仿真參數(shù)Tab.2 Monte-Carlo Simulation parameters

經(jīng)過1000次的蒙特卡羅仿真，分別統(tǒng)計(jì)三種積累算法對(duì)不同信噪比條件下檢測出目標(biāo)的次數(shù)，并與總次數(shù)作比，計(jì)算檢測概率，其結(jié)果如圖5所示。

基于最小熵的積累方法能夠補(bǔ)償目標(biāo)的高階運(yùn)動(dòng)分量，抑制多普勒頻譜的能量發(fā)散，因此相比于MTD、FrFT 檢測性能最佳，當(dāng)目標(biāo)信噪比為3 dB時(shí)，檢測概率即可在90%以上；

FrFT 與MTD 只能補(bǔ)償?shù)碗A的運(yùn)動(dòng)分量，因此積累增益較低，在低信噪比條件下其檢測概率要低于基于最小熵的積累算法；

FrFT 與MTD 未能補(bǔ)償高階的運(yùn)動(dòng)分量，存在多普勒頻譜能量發(fā)散現(xiàn)象。從檢測概率曲線中可以看到，當(dāng)目標(biāo)的信噪比增大到一定程度后，發(fā)散的頻譜能量將混入到CA-CFAR的參考單元中，導(dǎo)致檢測門限過高，檢測概率不變甚至下降。

3.2 實(shí)測驗(yàn)證

為了驗(yàn)證算法對(duì)于實(shí)測數(shù)據(jù)的有效性，我們使用了一部Ku 波段的高分辨雷達(dá)（雷達(dá)系統(tǒng)參數(shù)與表1 一致）進(jìn)行空中目標(biāo)探測試驗(yàn)，并利用傳統(tǒng)的MTD、FrFT 以及本文的方法分別處理，對(duì)比積累效果。為了減少外界雜波影響，雷達(dá)被放置于平坦的草地上垂直對(duì)天觀測，監(jiān)測遷徙的鳥類。如圖6（a）所示，為試驗(yàn)雷達(dá)觀測到的典型鳥類機(jī)動(dòng)場景，可以清晰地看到該目標(biāo)距離隨時(shí)間的變化關(guān)系為一曲線，說明其速度存在變化，發(fā)生了DFM。

通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃檢測前跟蹤［11］等信號(hào)處理手段，可提取此機(jī)動(dòng)目標(biāo)信號(hào)（如圖6（d）紅線）。由于目標(biāo)信號(hào)中可能含有目標(biāo)微動(dòng)產(chǎn)生的微多普勒分量，而微多普勒分量也能使目標(biāo)多普勒頻譜展寬。為了更準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)目標(biāo)機(jī)動(dòng)產(chǎn)生的DFM 影響，我們通過短時(shí)傅里葉變換進(jìn)行時(shí)頻分析（如圖6（b）），并保留主多普勒分量（如圖6（c）），通過逆變換獲得只含主多普勒分量的目標(biāo)信號(hào)（如圖6（d）藍(lán)線），以此排除微多普勒帶來的DFM 影響。

經(jīng)過時(shí)頻分析處理后可得剔除微多普勒分量后的實(shí)測目標(biāo)回波，分別利用MTD、FrFT 以及最小熵等三種算法，對(duì)其進(jìn)行積累處理。如圖7（a），直接對(duì)提取的目標(biāo)信號(hào)做MTD，可以看到目標(biāo)信號(hào)的多普勒頻譜發(fā)生明顯擴(kuò)散，最大值約130 dB；利用FrFT 完成加速度補(bǔ)償后進(jìn)行MTD，DFM 得到改善，最大值提高6 dB，約為136 dB；而利用最小熵的方法補(bǔ)償加速度、加加速度后，目標(biāo)頻譜能量得到更一步集中，最大值較直接MTD 提高了8 dB，約為138 dB。圖7（b）為圖7（a）的主瓣區(qū)域局部放大圖，可進(jìn)一步清晰地反映最小熵補(bǔ)償與FrFT 補(bǔ)償?shù)男Ч町?，其中?jīng)過FrFT補(bǔ)償后，頻譜發(fā)生錯(cuò)峰現(xiàn)象，無清晰的主瓣，易在后續(xù)檢測中導(dǎo)致多檢現(xiàn)象；而經(jīng)過最小熵補(bǔ)償后，目標(biāo)信號(hào)頻譜只存在一個(gè)最高的主瓣，并且左右兩個(gè)第一副瓣基本對(duì)稱，較好地符合補(bǔ)償后理想的目標(biāo)頻譜模型。因此綜合比較來看，本文方法對(duì)實(shí)測數(shù)據(jù)依舊具備較好的DFM 校正性能。

4 結(jié)論

在相參積累中，機(jī)動(dòng)目標(biāo)易發(fā)生DFM 現(xiàn)象，導(dǎo)致多普勒頻譜發(fā)散，漏檢概率增大。針對(duì)此問題，本文提出一種基于最小熵的機(jī)動(dòng)目標(biāo)雷達(dá)檢測算法，其以多普勒頻譜的熵為代價(jià)函數(shù)，通過牛頓迭代法估計(jì)高階運(yùn)動(dòng)分量并做補(bǔ)償，完成DFM 現(xiàn)象的校正。通過仿真以及實(shí)測數(shù)據(jù)測試，以MTD 以及FrFT 為參考，我們驗(yàn)證了基于最小熵算法的補(bǔ)償性能。本文算法能夠有效地估計(jì)出目標(biāo)信號(hào)的高階運(yùn)動(dòng)分量，補(bǔ)償后聚焦效果相對(duì)于傳統(tǒng)的FrFT更佳。