劉志強(qiáng),陳亞明,沈德明,楊建剛,譚 平

（1.東南大學(xué) 火電機(jī)組振動(dòng)國家工程研究中心，南京 210096；2.光大環(huán)境科技（中國）有限公司，南京 211106；3.南京科遠(yuǎn)智慧科技集團(tuán)股份有限公司，南京 211102；4.江蘇省熱工過程智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 211102）

動(dòng)載荷是影響旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸承性能的重要因素，準(zhǔn)確識(shí)別軸承動(dòng)載荷對于保證旋轉(zhuǎn)機(jī)械的安全穩(wěn)定運(yùn)行至關(guān)重要。軸承動(dòng)載荷很難直接測量獲取，根據(jù)實(shí)測振動(dòng)等數(shù)據(jù)識(shí)別軸承動(dòng)載荷是研究熱點(diǎn)。

動(dòng)載荷識(shí)別方法主要有頻域法和時(shí)域法[1]。時(shí)域法利用結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)建立逆向時(shí)域模型，根據(jù)已知的動(dòng)響應(yīng)重構(gòu)動(dòng)載荷。時(shí)域法對初值非常敏感，誤差累積難以避免且計(jì)算效率低[2]。頻域法是在頻域內(nèi)構(gòu)建系統(tǒng)逆向頻響函數(shù)模型，再通過系統(tǒng)輸出識(shí)別輸入。頻域識(shí)別方法包括：頻響函數(shù)直接求逆法和模態(tài)坐標(biāo)變換法。模態(tài)坐標(biāo)變換法需要已知結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，在模態(tài)空間識(shí)別載荷的分布特性后，轉(zhuǎn)換到物理空間[3]。該方法對模態(tài)參數(shù)識(shí)別的準(zhǔn)確度要求較高，存在因模態(tài)截?cái)嗨鶐淼恼`差。頻響函數(shù)直接求逆法[4]簡便，得到廣泛應(yīng)用。但是該方法存在測點(diǎn)和試驗(yàn)工況合理選取、矩陣病態(tài)等問題，導(dǎo)致解的不適定性。為了解決頻響函數(shù)矩陣病態(tài)問題，人們開展了很多研究。Hansen[5]提出TSVD 法將較小的奇異值過濾，避免實(shí)測響應(yīng)誤差被過度放大。陳震等[6]在TSVD的基礎(chǔ)上，提出基于分段多項(xiàng)式截?cái)嗥娈愔捣纸猓≒iecewise Polynomial Truncated Singular Value Decomposition，PPTSVD）識(shí)別橋梁移動(dòng)載荷，算例表明該方法識(shí)別移動(dòng)載荷精度高。夏超男、葉新茂[7－8]分別采用L 曲線法、廣義交叉驗(yàn)證(GCV)法和通用交叉驗(yàn)證(OCV)法選取TSVD 模型中最優(yōu)正則化參數(shù)。部分學(xué)者根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)測試思路解決矩陣病態(tài)問題，姜金輝等、周林等[9－10]提出基于復(fù)合條件數(shù)權(quán)重法的測點(diǎn)優(yōu)選模型，一定程度上可以減輕頻響函數(shù)矩陣病態(tài)程度。楊帆等[11]基于模態(tài)函數(shù)分布創(chuàng)立了響應(yīng)點(diǎn)篩選理論，適用于不同的載荷類型和邊界條件。Gupta 等[12]利用D-最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)合有限元分析，確定最佳測點(diǎn)位置以提高載荷識(shí)別精度。

本文以發(fā)動(dòng)機(jī)多支點(diǎn)軸承動(dòng)載荷識(shí)別問題為對象，在基于條件數(shù)的響應(yīng)點(diǎn)優(yōu)化選擇基礎(chǔ)上，采用TSVD正則化方法消除矩陣病態(tài)性。在雙轉(zhuǎn)子試驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行載荷識(shí)別試驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 軸承動(dòng)載荷辨識(shí)模型

對于實(shí)測的線性結(jié)構(gòu)確定性響應(yīng)，設(shè)實(shí)測響應(yīng)點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，待識(shí)別的載荷個(gè)數(shù)為n。動(dòng)載荷列陣F(ω)與響應(yīng)列陣U(ω)之間在頻域上線性關(guān)系如式(1)所示：

式中：H∈Cm×n，m≥n，H為系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣。動(dòng)載荷可以表示為：

式中：上標(biāo)“H”表示矩陣復(fù)共軛轉(zhuǎn)置。

1.1 基于條件數(shù)的測點(diǎn)優(yōu)化

不同響應(yīng)點(diǎn)測點(diǎn)組合對應(yīng)的頻響函數(shù)矩陣不同，響應(yīng)測點(diǎn)最優(yōu)組合在于找到病態(tài)程度最低的頻響函數(shù)矩陣。響應(yīng)點(diǎn)個(gè)數(shù)對應(yīng)頻響函數(shù)的行數(shù)，載荷激勵(lì)個(gè)數(shù)對應(yīng)其列數(shù)，為保證解唯一，響應(yīng)點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于載荷激勵(lì)個(gè)數(shù)[13]。

選取響應(yīng)測點(diǎn)個(gè)數(shù)為mr(n≤mr≤m)，則測點(diǎn)選取共有種組合，對于第i種組合，對應(yīng)的頻響函數(shù)矩陣表示為Hi(mr×n)，其條件數(shù)可以表示如下：

遍歷所有測點(diǎn)個(gè)數(shù)下測點(diǎn)組合頻響函數(shù)矩陣的條件數(shù)，找到條件數(shù)最小的矩陣，對應(yīng)的響應(yīng)測點(diǎn)組合即為最優(yōu)方案。

1.2 截?cái)嗥娈愔捣纸饧夹g(shù)（TSVD）

對頻響函數(shù)矩陣H進(jìn)行奇異值分解：

式中：Umn={u1,u2,…,un}和Vnn={v1,v2,…,vn}為列向量正交陣，是系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣H分解出的兩個(gè)酉矩陣，分別包括H矩陣奇異值左、右奇異向量；對角陣Σnn的對角元素{ }σi，i=1,2,…,n，σi≥0 是矩陣H的所有奇異值且按由大到小的順序排列。將式(4)代入式(2)中，則得到F為：

式中：上標(biāo)“+”表示矩陣H的摩爾-彭諾斯廣義偽逆，H+的表達(dá)式為：

從式(5)可以看出，較小的奇異值會(huì)顯著放大響應(yīng)誤差對參數(shù)估值的影響，使最小二乘解非常不穩(wěn)定。截?cái)嗥娈愔捣纸?TSVD)法采用一個(gè)低秩矩陣Hk逼近原矩陣H，其中k＜n，目的是消除過小的奇異值及對應(yīng)的特征向量對正則解帶來的影響，由此削弱方程的病態(tài)特性，則式(1)的TSVD正則化解表示為：

式中：

式中：Σk是將對角陣Σ中n-k個(gè)最小的奇異值過濾后得到的，當(dāng)k取值合理時(shí)，矩陣Hk的條件數(shù)適中，使得TSVD 正則解更穩(wěn)定，k稱為截?cái)鄶?shù)，使病態(tài)矩陣H轉(zhuǎn)化為良態(tài)矩陣Hk。引入濾波因子：

將式(8)代入式(7)中，正則化解表達(dá)為：

TSVD法的關(guān)鍵在于截?cái)鄶?shù)k的選取，即確定合適的奇異閾值σk。在本文試驗(yàn)條件下，待識(shí)別載荷個(gè)數(shù)為3 個(gè)，分解后的奇異值矩陣中，只有3 個(gè)奇異值，大部分測點(diǎn)組合下最小奇異值占比不到10%，故取奇異值累積占比為90%，舍棄小奇異值，排除實(shí)際測試中響應(yīng)誤差的干擾。

2 軸承動(dòng)載荷識(shí)別試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)臺(tái)

在具有內(nèi)外雙機(jī)匣的雙轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行軸承支點(diǎn)動(dòng)載荷辨識(shí)試驗(yàn)。試驗(yàn)臺(tái)為帶有高、低壓轉(zhuǎn)子的雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，各支承通過錐殼和輻板連接到機(jī)匣上耦合在一起，機(jī)匣包括：進(jìn)氣機(jī)匣、風(fēng)扇機(jī)匣、中介機(jī)匣、核心機(jī)匣和渦輪后機(jī)匣，機(jī)匣通過兩個(gè)安裝節(jié)安裝在基座上。本文主要通過機(jī)匣水平方向振動(dòng)，識(shí)別低壓轉(zhuǎn)子軸承水平方向動(dòng)載荷。低壓轉(zhuǎn)子由#1、#2、#3共3個(gè)滾動(dòng)軸承支承，其上帶有2個(gè)輪盤，軸承支點(diǎn)動(dòng)載荷主要由輪盤不平衡力引起，可利用輪盤進(jìn)行動(dòng)平衡實(shí)驗(yàn)。低壓轉(zhuǎn)子支撐模型和試驗(yàn)臺(tái)實(shí)物圖如圖1所示。

圖1 軸承支點(diǎn)動(dòng)載荷識(shí)別試驗(yàn)裝置

頻響函數(shù)測試系統(tǒng)主要由加速度傳感器、電荷放大器、力錘和信號分析儀組成。在頻響函數(shù)測試試驗(yàn)時(shí)，激勵(lì)由壓電式力傳感器產(chǎn)生，靈敏度為4.11 pC/N，力信號通過電荷放大器放大后傳輸?shù)?52u IOtech 動(dòng)態(tài)信號分析儀中，電荷放大器的放大系數(shù)為1 mV/N；通過振動(dòng)加速度傳感器測量系統(tǒng)加速度響應(yīng)，傳感器靈敏度為100 mV/g，力信號和加速度振動(dòng)信號由信號分析儀采集后被輸入計(jì)算機(jī)，經(jīng)計(jì)算得到位移頻響函數(shù)。試驗(yàn)臺(tái)運(yùn)行時(shí)，使用振動(dòng)數(shù)據(jù)采集儀獲取機(jī)匣表面振動(dòng)位移信號，采樣樣本長度設(shè)置為1 024，同步采樣周期數(shù)為8。

2.2 實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

在低壓壓氣機(jī)和渦輪輪盤上設(shè)置不平衡量，模擬不同動(dòng)載荷工況，表1給出了7種試驗(yàn)工況。在保證試驗(yàn)安全下，使各工況之間機(jī)匣表面振動(dòng)變化盡可能大。

表1 雙轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)運(yùn)行工況

在機(jī)匣表面布置10 個(gè)測點(diǎn)測量機(jī)匣響應(yīng)作為系統(tǒng)響應(yīng)，將低壓轉(zhuǎn)子所受不平衡力等效為3 個(gè)軸承所受激勵(lì)并作為系統(tǒng)激勵(lì)，低壓轉(zhuǎn)子測點(diǎn)布置如圖2所示。拆除轉(zhuǎn)子，分別敲擊機(jī)匣表面的10 個(gè)測點(diǎn)，得到3個(gè)軸承支點(diǎn)的響應(yīng)，再利用頻響函數(shù)互易性，獲得軸承支點(diǎn)到機(jī)匣表面10×3維加速度頻響函數(shù)矩陣，相干系數(shù)大于0.7，認(rèn)為頻響函數(shù)可靠。

圖2 試驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)及測點(diǎn)布置

利用實(shí)測機(jī)匣響應(yīng)和頻響函數(shù)，識(shí)別出兩種工況下3 個(gè)軸承支點(diǎn)動(dòng)載荷矢量差，根據(jù)力和力矩平衡，計(jì)算出兩個(gè)輪盤上不平衡力，將計(jì)算出的輪盤不平衡力矢量差與實(shí)際不平衡力矢量差對比，得到不平衡力的幅值和相位誤差，平均幅值相對誤差在15%左右，同時(shí)平均相位誤差不超過20°，認(rèn)為動(dòng)載荷識(shí)別結(jié)果可靠[14]。

低壓轉(zhuǎn)子受力分析模型如圖3所示，輪盤不平衡力求解方程見式(11)。

圖3 低壓轉(zhuǎn)子受力分析模型

式中：U1和U2分別為低壓壓氣機(jī)風(fēng)扇輪盤和低壓渦輪盤所受不平衡力；F1、F2和F3分別為#1、#2 和#3 軸承所受動(dòng)載荷。

2.3 試驗(yàn)結(jié)果分析

以測點(diǎn)3為例，圖4給出了轉(zhuǎn)速為1 170 r/min和1 294 r/min時(shí)機(jī)匣表面該測點(diǎn)的振動(dòng)原始波形和頻譜圖。試驗(yàn)轉(zhuǎn)速1 170 r/min 接近臨界轉(zhuǎn)速1 200 r/min，與不平衡力同頻的工頻振動(dòng)被大幅度激發(fā)出來，幅值較大，占據(jù)主導(dǎo)成分，導(dǎo)致振動(dòng)波型比較規(guī)則。遠(yuǎn)離該轉(zhuǎn)速區(qū)間，轉(zhuǎn)速在1 294 r/min時(shí)，各種頻率成分都存在，信號比較不規(guī)則，故選擇轉(zhuǎn)速1 170 r/min時(shí)進(jìn)行分析。圖5為通過錘擊試驗(yàn)獲得的各機(jī)匣與軸承支點(diǎn)的頻響函數(shù)和相干系數(shù)，在10 Hz～30 Hz研究范圍內(nèi)相干系數(shù)大于0.85。

圖4 機(jī)匣測點(diǎn)3原始波形和頻譜圖

圖5 機(jī)匣-軸承頻響函數(shù)曲線

為了驗(yàn)證最優(yōu)響應(yīng)測點(diǎn)選取方案識(shí)別載荷的準(zhǔn)確性，試驗(yàn)中總共選取響應(yīng)測點(diǎn)3個(gè)～10個(gè)，載荷識(shí)別個(gè)數(shù)為3，共有=968種可能的組合，并對每種組合情況計(jì)算其對應(yīng)的頻響函數(shù)條件數(shù)。圖6給出了所有測點(diǎn)組合的條件數(shù)，表2為部分較小和較大條件數(shù)時(shí)的測點(diǎn)組合。

圖6 不同測點(diǎn)組合對應(yīng)的條件數(shù)

從表2可以看出：測點(diǎn)組合為2、6、8時(shí)最小條件數(shù)為6.4；測點(diǎn)組合為1、2、10時(shí)最大條件數(shù)為181.9。對比表中左右兩列測點(diǎn)組合，當(dāng)加入測點(diǎn)5、10 時(shí)，條件數(shù)較大，導(dǎo)致矩陣病態(tài)程度變大。選擇響應(yīng)點(diǎn)測點(diǎn)時(shí)應(yīng)遵循以下原則：①避開機(jī)匣邊緣處；②測點(diǎn)之間不能相距太近。選擇低壓壓氣機(jī)風(fēng)扇機(jī)匣和核心機(jī)匣中部時(shí)，頻響函數(shù)條件數(shù)更低，矩陣病態(tài)程度得到改善。

表2 部分測點(diǎn)組合條件數(shù)

對比不同載荷識(shí)別方法，選擇6組對比工況，響應(yīng)點(diǎn)分別選取機(jī)匣表面全部測點(diǎn)、對比測點(diǎn)組合2、5、6、8和優(yōu)化測點(diǎn)組合2、6、8時(shí)，得到3個(gè)軸承支點(diǎn)動(dòng)載荷識(shí)別結(jié)果，根據(jù)式（11）計(jì)算出加重輪盤不平衡力識(shí)別值，對比實(shí)際不平衡力和識(shí)別值獲得載荷識(shí)別幅值和相位誤差。

表3給出了選取機(jī)匣表面全部測點(diǎn)時(shí)，采用頻響函數(shù)直接求逆法識(shí)別軸承動(dòng)載荷結(jié)果；表4給出了選取機(jī)匣表面全部測點(diǎn)時(shí)，采用TSVD 正則化法識(shí)別軸承動(dòng)載荷結(jié)果；表5給出了選取對比測點(diǎn)組合時(shí)，采用TSVD正則化法識(shí)別軸承動(dòng)載荷結(jié)果；表6給出了選取優(yōu)化響應(yīng)點(diǎn)測點(diǎn)組合時(shí)，采用TSVD正則化法識(shí)別軸承動(dòng)載荷結(jié)果。

表3 全部測點(diǎn)-直接求逆

表4 全部測點(diǎn)-TSVD法

表5 對比測點(diǎn)-TSVD法

表6 優(yōu)化測點(diǎn)-TSVD法

從表3可以發(fā)現(xiàn)，對比組合加入機(jī)匣邊緣測點(diǎn)5時(shí)，由于與測點(diǎn)6距離較近，響應(yīng)之間線性相關(guān)性變大，導(dǎo)致載荷識(shí)別誤差比優(yōu)化測點(diǎn)組合大，故只需選取其中一個(gè)測點(diǎn)即可，這進(jìn)一步說明測點(diǎn)選取的合理性。綜合采用基于條件數(shù)的響應(yīng)點(diǎn)優(yōu)化方法和TSVD 法能夠改善頻響函數(shù)矩陣的病態(tài)程度，提高軸承動(dòng)載荷的識(shí)別精度。

3 結(jié)語

針對帶機(jī)匣的多支承旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸承動(dòng)載荷識(shí)別問題，采用頻響函數(shù)直接求逆法識(shí)別載荷，建立TSVD 正則化和基于條件數(shù)的響應(yīng)點(diǎn)測點(diǎn)優(yōu)化相結(jié)合的方法，抑制該逆問題中矩陣的病態(tài)性。在雙轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行載荷識(shí)別試驗(yàn)，通過在輪盤上模擬不同不平衡工況，將低壓轉(zhuǎn)子所受不平衡力等效為軸承支點(diǎn)所受動(dòng)載荷，驗(yàn)證載荷識(shí)別的準(zhǔn)確性。結(jié)果表明：機(jī)匣響應(yīng)點(diǎn)測點(diǎn)選取應(yīng)避開結(jié)構(gòu)邊緣，采用測點(diǎn)組合優(yōu)化后的TSVD方法可以有效減弱頻響函數(shù)矩陣的病態(tài)性，使軸承動(dòng)載荷識(shí)別結(jié)果更準(zhǔn)確。