孫晨輝

(渭南師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，陜西 渭南 714099)

隨著社會的發(fā)展和對人才的需求，高等教育中本學科專業(yè)人才與跨學科綜合人才的培養(yǎng)都十分重要.Logistic方程是不僅能夠描述人口及許多物種數(shù)量的變化規(guī)律，而且在社會經(jīng)濟領域也有廣泛的應用.本文以新的視角，分析本專業(yè)與跨專業(yè)學生的比較優(yōu)勢，研究兩類學生協(xié)同發(fā)展的Logistic-Volterra模型的平衡點與穩(wěn)定性，將定性分析與模型分析相結合得出有意義的結論，有利于促進專業(yè)性與綜合性人才的均衡發(fā)展.

徐寬，張彤(2019)[1]以知識轉(zhuǎn)移五個相關因素為根據(jù)，對比了跨專業(yè)學生與本專業(yè)學生在圖情領域知識轉(zhuǎn)移的區(qū)別，并分析了可能存在的影響因素.辛敏英，姚遠等(2016)[2]結合學科、生源、師資及培養(yǎng)方案和研究方向等方面的情況，對多學科跨專業(yè)協(xié)同研究生培養(yǎng)的特點進行分析，并從生源專業(yè)、項目設置、導師合作、院校政策等方面提出了適合交叉學科專業(yè)研究生招生及培養(yǎng)模式的建議.劉美君，李福華等(2021)[3]通過半結構化訪談和案例討論，研究了跨專業(yè)碩士研究生的學習適應狀況，建立了適應過程模型.

Logistic方程是比利時生物數(shù)學家Verhulst于1984年提出的，它可以刻畫物種數(shù)量的變化規(guī)律，意大利數(shù)學家Volterra建立的食餌-捕食者模型研究了既有依存、又有制約的增長規(guī)律[4].部分學者將Logistic或Volterra模型與消費品零售額、產(chǎn)業(yè)聯(lián)動、人口增長等領域相結合開展研究[5-7]，但將Logistic方程和Volterra競爭模型應用于高等教育本專業(yè)與跨專業(yè)培養(yǎng)分析的文獻較少.

1 本專業(yè)與跨專業(yè)學生的比較優(yōu)勢

本專業(yè)人才與跨專業(yè)人才在學習、就業(yè)、發(fā)展等方面各有優(yōu)勢.本專業(yè)學生相較于跨專業(yè)學生的比較優(yōu)勢有：(1)專業(yè)基礎扎實.始終在同一專業(yè)學習的學生在本專業(yè)的人才培養(yǎng)模式下，獲取系統(tǒng)性的專業(yè)知識，理論基礎和實驗技能比較扎實.(2)系統(tǒng)性邏輯強.本專業(yè)人才在受教育過程中循序漸進，對專業(yè)領域的知識和技能有系統(tǒng)性的學習掌握和邏輯思維.(3)對口工作上手快.本專業(yè)學生在受教育過程中對相關工作已經(jīng)有了一定的認識和實習，畢業(yè)之后從事專業(yè)對口的工作能夠較快的適應和完成.(4)深造相對便捷.本專業(yè)人才因為具有專業(yè)功底、科研基礎，同領域?qū)＜液蛯熉?lián)系較多，發(fā)展深造相對便捷.

跨專業(yè)學生的比較優(yōu)勢主要有：(1)復合型知識學習.跨專業(yè)的學生擁有自己原專業(yè)的學科基礎的同時進行了跨專業(yè)的課程學習，知識面更寬，具有復合型特點.(2)思維開闊活躍.跨專業(yè)的學生根據(jù)個人情況，選擇新的專業(yè)學習，感受自身對不同學科的認知與接收能力，思維更加開闊活躍.(3)適應能力較強.跨專業(yè)學生要快速高效的學習新專業(yè)的知識和技能，具備一定的克服困難和解決問題的能力，主動適應能力較強.(4)就業(yè)面更寬.跨專業(yè)學生具有不同專業(yè)的學習背景和交叉視野，在就業(yè)過程中有更多行業(yè)、方向和職位可以選擇.

2 基于比較優(yōu)勢的Logistic-Volterra發(fā)展模型

由于本專業(yè)學生與跨專業(yè)學生具備各自的特點和比較優(yōu)勢，學生人數(shù)在本專業(yè)(用符號S表示)和跨專業(yè)(符號為I)之間進行分配.雖然學生規(guī)模通常會隨時間呈增長趨勢，但本專業(yè)與跨專業(yè)的學生增長率不會一成不變，人口數(shù)量、教育機構、社會需求及選擇偏好等因素都會對學生規(guī)模的增長產(chǎn)生影響.

設QS(t)為在t時刻本專業(yè)學生數(shù)量，QI(t)為t時刻跨專業(yè)學生數(shù)量.令MS、MI分別為人口數(shù)量、教育機構、社會需求及選擇偏好等因素綜合決定的本專業(yè)最大學生規(guī)模與跨專業(yè)的最大學生規(guī)模，vS、vI為本專業(yè)和跨專業(yè)學生的固有增長率.對于本專業(yè)學生規(guī)模，其數(shù)量不僅受到人口數(shù)量、教育機構、社會需求及選擇偏好等因素的影響，而且會因跨專業(yè)選擇的存在而受到影響；而跨專業(yè)學生規(guī)模也是如此，本專業(yè)學生人數(shù)也會對其產(chǎn)生一定的影響.設λS>0為跨專業(yè)對本專業(yè)學生數(shù)量的影響系數(shù)，λI>0為本專業(yè)對跨專業(yè)學生數(shù)量的影響系數(shù)，則本專業(yè)與跨專業(yè)學生數(shù)量的Logistic-Volterra發(fā)展模型為

(1)

(2)

由上述兩組增長方程可以看出，影響系數(shù)λS越大，跨專業(yè)對本專業(yè)學生增長的負向效應越大；λI越大，則本專業(yè)對跨專業(yè)學生的負向影響越大.因為本專業(yè)學生與跨專業(yè)學生各自具有比較優(yōu)勢，所以設λS<1且λI<1.Logistic-Volterra發(fā)展模型能夠客觀的描述事物的邏輯規(guī)律，系數(shù)假設也較好的遵從了實際情況和發(fā)展規(guī)律.

3 穩(wěn)定性及相軌線分析

為進一步研究本專業(yè)與跨專業(yè)學生規(guī)模在比較優(yōu)勢下如何協(xié)同發(fā)展，將開展二者Logistic-Volterra增長方程組的平衡點穩(wěn)定性分析.首先對代數(shù)方程組(3)求解，從而找到本專業(yè)與跨專業(yè)學生數(shù)量的Logistic-Volterra增長方程(微分方程(1)、(2))的平衡點.

(3)

經(jīng)過求解得本專業(yè)與跨專業(yè)學生數(shù)量的Logistic-Volterra增長方程組的平衡點有以下4個：

其中fQS、fQI、hQS、hQI分別為f與h對QS、QI的偏導數(shù)，系數(shù)矩陣記作

根據(jù)微分方程穩(wěn)定性理論，若特征方程det(Α-λΙ)=0的兩個系數(shù)同時為正，則平衡點穩(wěn)定.通過計算知特征方程的系數(shù)可以表示為

α=-(fQS+hQI)|Pi，i=1,2,3,4

β=detΑ|Pi，i=1,2,3,4

在0<λS<1且0<λI<1的條件下，將四個平衡點的特征方程系數(shù)α與β求出，并判斷平衡點的穩(wěn)定性可得結果如表1.

表1 本專業(yè)與跨專業(yè)學生協(xié)同發(fā)展的平衡點及穩(wěn)定性

通過平衡點的穩(wěn)定性分析可知：

命題1 在本專業(yè)與跨專業(yè)學生均擁有自身比較優(yōu)勢的情形下，兩類學生協(xié)同發(fā)展的穩(wěn)定平衡點是唯一的，本專業(yè)與跨學業(yè)學生數(shù)量將發(fā)展到與相關資源條件及比較優(yōu)勢相適應的規(guī)模.

(4)

(5)

圖1 相軌線圖形

命題2 跨專業(yè)對本專業(yè)的影響系數(shù)越大，則達到穩(wěn)定狀態(tài)時跨專業(yè)的學生數(shù)量越大，本專業(yè)的學生數(shù)量縮??；反之，本專業(yè)對跨專業(yè)的影響系數(shù)越大，則穩(wěn)定狀態(tài)下本專業(yè)的學生數(shù)量越大，跨專業(yè)的學生數(shù)量相對減少.

4 結語

本專業(yè)尖端人才和跨專業(yè)復合人才都在社會發(fā)展中起到重要作用.本文歸納了本專業(yè)與跨專業(yè)學生的比較優(yōu)勢，建立了Logistic-Volterra發(fā)展模型來研究兩類學生的增長規(guī)律和協(xié)同發(fā)展的平衡點穩(wěn)定性.結果表明：在本專業(yè)與跨專業(yè)學生均擁有自身比較優(yōu)勢的情形下，兩類學生協(xié)同發(fā)展的穩(wěn)定平衡點是唯一的，各自的學生數(shù)量均將發(fā)展到與資源條件和比較優(yōu)勢相適應的規(guī)模.同時，這一均衡的學生規(guī)模與影響系數(shù)有關：本專業(yè)的影響系數(shù)越大，則穩(wěn)定狀態(tài)下的本專業(yè)學生數(shù)量越多；跨專業(yè)的影響系數(shù)越大，則穩(wěn)定狀態(tài)下的跨專業(yè)學生數(shù)量越多.

因此，本專業(yè)和跨專業(yè)的人才教育和培養(yǎng)均有重要意義.從學生角度，一方面高考之后填報志愿階段應充分結合擬選專業(yè)和自身情況的相關因素，盡量選擇適合自己的專業(yè)；另一方面，若本科階段想要學習其他專業(yè)，需充分利用大學時間自主學習，包括旁聽課程、閱讀專業(yè)書籍等，在本科學習的基礎上為跨專業(yè)考研升學做準備.從學校角度，本科教育時期注重夯實學生的公共課和專業(yè)課基礎，允許跨專業(yè)旁聽，使得學生本專業(yè)和跨專業(yè)發(fā)展均有相關能力和知識儲備；研究生教育時期適度開展差異化培養(yǎng)，客觀論證兩類學生的特點和優(yōu)勢，培育本專業(yè)工匠型人才和跨專業(yè)融合型人才.