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        數(shù)列中探索性問題的類型與破解策略

        2022-08-18 09:55:40江蘇省大豐高級中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年15期
        關(guān)鍵詞:變形分析

        ?江蘇省大豐高級中學(xué)

        姜興榮

        1 引言

        數(shù)列中的探索性問題是近年新課標(biāo)高考中比較常見的一類創(chuàng)新性問題,根據(jù)數(shù)列中的定義、通項公式、求和公式以及相關(guān)性質(zhì)等加以變形與應(yīng)用,通過觀察、分析、試驗、歸納、運算、類比、猜想、論證來剖析與轉(zhuǎn)化,創(chuàng)新成分非常高.

        2 數(shù)列中的條件探索性問題

        此類問題的基本特征是:結(jié)合確定的結(jié)論,探尋未知條件,或確定條件的增刪情況,或判定條件的正誤等.解決此類數(shù)列問題的基本策略是執(zhí)果索因,首先確定結(jié)論成立的必要條件,再檢驗或認(rèn)證結(jié)論成立的充分條件.注意“執(zhí)果索因”中推理過程是否可逆.

        例1已知函數(shù)f(x)=logkx(k為常數(shù),k>0且k≠1).

        (1)在下列三個條件中選擇一個,使{an}是等比數(shù)列,并說明理由:

        ①{f(an)}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列;

        ②{f(an)}是首項為4,公差為2的等差數(shù)列;

        ③{f(an)}是首項為2,公差為2的等差數(shù)列的前n項和構(gòu)成的數(shù)列.

        分析:對第(1)問根據(jù)等比數(shù)列的定義,結(jié)合不同條件建立對應(yīng)的f(an)的關(guān)系式,通過數(shù)學(xué)運算與變形來分析;對第(2)問,結(jié)合(1)的結(jié)論與對應(yīng)的條件,確定數(shù)列{bn}的通項公式,利用通項公式的裂項相消進(jìn)行數(shù)列求和.

        解析:(1)條件①③不能使數(shù)列{an}成等比數(shù)列,條件②可以.

        所以

        Tn=b1+b2+……+bn

        點評:涉及數(shù)列中的條件探索性問題,根據(jù)不同條件加以合理推理與轉(zhuǎn)化,通過數(shù)列中定義、公式、性質(zhì)等的應(yīng)用來分析與運算.此類條件探索類問題,可以通過數(shù)列中的不同條件來分析對應(yīng)的結(jié)論,也可以通過數(shù)列中的確定結(jié)論來反推滿足題意的條件等.

        3 數(shù)列中的結(jié)論探索性問題

        此類數(shù)列問題的基本特征是:給出確定的條件,自行確定對應(yīng)的結(jié)論或判定結(jié)論的正誤等.解決此類數(shù)列問題的基本策略是先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論.注意從特殊情況入手加以觀察,再合理分析,并歸納與猜想,最后論證.

        例2已知各項均不為零的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a1=4,an+1=3Sn+4(n∈N*).

        (1)求數(shù)列{an}的通項公式;

        分析:(1)由數(shù)列的遞推關(guān)系式,合理變形,結(jié)合等比數(shù)列的定義確定數(shù)列類型,進(jìn)而確定對應(yīng)的通項公式;(2)通過第(1)問的結(jié)論以及條件中關(guān)系式確定bn的表達(dá)式,利用錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和,借助不等式的放縮法來確定大小關(guān)系.

        ①式-②式,得

        點評:涉及數(shù)列中的結(jié)論探索性問題,一定要先確定一個相應(yīng)的結(jié)論,再進(jìn)行合理推理論證.對比較大小的問題,經(jīng)??梢酝ㄟ^構(gòu)建函數(shù),利用函數(shù)的基本性質(zhì)來分析,也可利用放縮法加以變形轉(zhuǎn)化等.

        4 數(shù)列中的存在探索性問題

        此類數(shù)列問題的基本特征是根據(jù)確定的條件,判斷數(shù)列對象是否存在或相應(yīng)結(jié)論是否成立.解決此類數(shù)列問題的基本策略是:先假定存在性,再在此條件下加以合理推理,推理正確則肯定結(jié)論,推理矛盾則否定假設(shè).注意反證法的應(yīng)用.

        已知{an}是公差為2的等差數(shù)列,其前n項和為Sn,______.

        (1)求數(shù)列{an}的通項公式.

        分析:(1)根據(jù)選擇的條件,從不同角度,結(jié)合不同數(shù)列類型加以變形與轉(zhuǎn)化,進(jìn)而確定數(shù)列{an}的通項公式;(2)結(jié)合第(1)問的結(jié)論與對應(yīng)的條件來確定bn的表達(dá)式,利用作差比較法進(jìn)行合理變形,通過項數(shù)n的取值情況確定數(shù)列{bn}中的最大項,進(jìn)而確定數(shù)列的存在性問題.

        若選③數(shù)列{a2n}的前5項和為65,則a2(n+1)-a2n=[2(n+1)-2n]×2=4,因為a2=a1+2,所以{a2n}是首項為a1+2,公差為4的等差數(shù)列.

        點評:遇到含多個變量的數(shù)列存在探索性問題,在假設(shè)存在的情況下,確定滿足條件的關(guān)系再進(jìn)一步尋找相關(guān)的條件,而根據(jù)條件推出矛盾則說明不存在.破解此類問題一般可以利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、重要不等式、函數(shù)的值域或取值范圍等的判斷來確定對應(yīng)的存在性問題.

        5 結(jié)束語

        處理數(shù)列中的探索性問題,應(yīng)充分利用已知條件或?qū)?yīng)的結(jié)論,合理根據(jù)數(shù)列前幾項的特點透徹分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、猜想條件或結(jié)論的存在性等,綜合不等式的性質(zhì)(包括放縮法等)、函數(shù)的性質(zhì)等加以合理運算與推理,從而得以解決探索性問題,提升數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新能力.綜合數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的應(yīng)用,養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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