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        不同版本教材“誘導(dǎo)公式證明”的比較研究

        2022-08-18 09:53:00西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年15期
        關(guān)鍵詞:教材學(xué)生

        ?西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院

        胡奇云

        ?綿陽東辰國際學(xué)校

        陳文靜

        1 引言

        2 不同版本教材中誘導(dǎo)公式的證明分析

        2.1 新人教A版的證明特點(diǎn)

        2.2 舊人教B版的證明特點(diǎn)

        教材首先證明了角α與α+k·2π(k∈Z)的三角函數(shù)關(guān)系,觀察該公式特征,進(jìn)行猜想,進(jìn)而研究角α與α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系.結(jié)合這兩個(gè)公式,推陳出新,得到角α與α+nπ(n∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系:角α與α加上π的偶數(shù)倍的同名三角函數(shù)值相等;角α與α加上π的奇數(shù)倍的正弦、余弦值互為相反數(shù),角α與α加上π的奇數(shù)倍的正切值相等.歸納總結(jié)公式,有利于學(xué)生理解與記憶,并培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

        2.3 新人教B版的證明特點(diǎn)

        公式證明最后,均以相應(yīng)的三角函數(shù)線之間的關(guān)系進(jìn)行輔佐,學(xué)生動(dòng)手操作,關(guān)聯(lián)舊知,互相結(jié)合加深印象,避免死記硬背公式.

        2.4 北師大版的證明特點(diǎn)

        教材內(nèi)容分為誘導(dǎo)公式與對稱、誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)兩部分,直觀展現(xiàn)了誘導(dǎo)公式的兩種證明方法,并以此將誘導(dǎo)公式進(jìn)行分類.相較于其他版本,北師大版教材中各誘導(dǎo)公式的證明標(biāo)題更加明確,主體突出,如“角α與-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系”,證明結(jié)論也沒有順勢給出相關(guān)的正切函數(shù),使知識(shí)點(diǎn)更加聚焦.

        2.5 湘教版的證明特點(diǎn)

        教材通過已證得的誘導(dǎo)公式來推導(dǎo)證明角α與π-α的三角函數(shù)關(guān)系,也提示學(xué)生從兩個(gè)角的終邊關(guān)于y軸對稱來探究,又繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生借助單位圓的三角函數(shù)線來研究,證明方法不再局限于一種,鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力,有利于思維的發(fā)展.

        2.6 各個(gè)版本教材證明的共同點(diǎn)

        (1)證明過程均利用單位圓的對稱性.三角函數(shù)具有奇偶性,而奇偶性也是對稱性的一種形式,故三角函數(shù)也具有這些性質(zhì)[3].圓最特殊和最重要的性質(zhì)就是對稱性,所以利用圓的對稱性來研究三角函數(shù)的對稱性,符合2017年版課程標(biāo)準(zhǔn)要求.在單位圓中,兩個(gè)終邊具有對稱性的角,其與單位圓的交點(diǎn)亦具有對稱性,根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)的特征即證得誘導(dǎo)公式.

        (2)對于研究角α與α+k·2π(k∈Z)的三角函數(shù)間的關(guān)系,以上版本教材都是依據(jù)三角函數(shù)的定義證明,銜接舊知,體現(xiàn)定義的基礎(chǔ)性與導(dǎo)向性.

        (4)各版本教材均歸納了公式間的共同特征,將其一般化,總結(jié)概括為法則并明確用途.

        3 課堂教學(xué)建議

        3.1 對比教材,進(jìn)行互補(bǔ)

        3.2 自主探究,合作交流

        證明誘導(dǎo)公式的思路和方法有多種,且有很強(qiáng)的邏輯性.課堂上教師可以讓學(xué)生自己動(dòng)手證明,或小組合作探究.引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察,猜測分析角之間的關(guān)系,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維,提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.推理過程也能幫助學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想,防止學(xué)生思維僵化和教學(xué)“滿堂灌”的現(xiàn)象,符合學(xué)生身心發(fā)展的需要.

        3.3 關(guān)聯(lián)知識(shí),注重聯(lián)系

        誘導(dǎo)公式安排在三角函數(shù)定義之后,教師應(yīng)在教學(xué)過程中注意新舊知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系和銜接,由淺入深帶領(lǐng)學(xué)生感受誘導(dǎo)公式的重要作用以及單位圓在三角函數(shù)中的重要性,強(qiáng)化對知識(shí)點(diǎn)的理解[4].另外,初中階段初步認(rèn)識(shí)的銳角三角函數(shù),在證明過程中也能用來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行關(guān)聯(lián),從特殊到一般,加深情境印象,鞏固知識(shí)結(jié)構(gòu).

        4 總結(jié)與反思

        誘導(dǎo)公式揭示了終邊具有某種關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.各版本教材使學(xué)生基于單位圓從角終邊的對稱性的角度深刻理解并運(yùn)用誘導(dǎo)公式,體會(huì)對稱的作用.誘導(dǎo)公式的證明體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的簡化思想、化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想.如何合理有效地將不同版本教材的特點(diǎn)運(yùn)用于教學(xué)活動(dòng)中,使課堂效率最大化,還有待研究.

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