楊 月，王永茂

(燕山大學(xué) 理學(xué)院， 河北 秦皇島 066004)

對(duì)金融市場的大量實(shí)證表明，金融資產(chǎn)的價(jià)格非隨機(jī)游走，而是存在長記憶性和自相似性等特征. 近年來，很多研究人員考慮用修正的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來描述金融資產(chǎn)的變化行為[1-2]，但是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不是半鞅, 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型會(huì)產(chǎn)生套利[3]. 為了刻畫長相依、自相似等特征，并消除套利機(jī)會(huì)，一些學(xué)者提出用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)或混合高斯模型代替分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng). 目前，基于混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)研究期權(quán)定價(jià)的文獻(xiàn)較多. 然而Tudor[4]進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的退化速度優(yōu)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng). El-Nouty等[5]證明了當(dāng)赫斯特指數(shù)H∈[0.75,1]時(shí)，混合高斯模型具有長相依、自相似等特征，有非平穩(wěn)的二階矩增量，從而混合次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)能更好地刻畫金融資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng). 郭精軍[6]基于混合高斯模型建立永久美式定價(jià)模型對(duì)股票市場有較好的反應(yīng). 彭波等[7]建立了基于跳環(huán)境和混合高斯模型下的歐式期權(quán)定價(jià)模型. 安翔[8]基于混合高斯模型，解得永久美式回望期權(quán)價(jià)格的閉式解與最優(yōu)實(shí)施邊界. 當(dāng)重大信息來臨時(shí)資產(chǎn)價(jià)格或許會(huì)發(fā)生不連續(xù)的波動(dòng)即跳躍，在隨機(jī)微分方程中加入Possion過程可以刻畫波動(dòng). 耿延靜等[9]和徐峰等[10]利用熱傳導(dǎo)方程經(jīng)典解得到帶跳躍的亞式期權(quán)和交換期權(quán)的定價(jià)公式. 運(yùn)用偏微分方程法或者測度變換的方法研究權(quán)定價(jià)問題需要大量換元，Mellin變換法可以將求解過程簡單化避免大量換元. Elshegmani[11]運(yùn)用Mellin變換法將算術(shù)平均亞式期權(quán)價(jià)值降低階數(shù)，最終得到了連續(xù)算術(shù)平均亞式期權(quán)定價(jià)公式. 常競文等[12]利用二重Mellin變換法得到交換期權(quán)定價(jià)公式的閉式解.

本文將Mellin變換法推廣到混合高斯模型和跳-擴(kuò)散環(huán)境下交換期權(quán)定價(jià)，并通過Mellin變換得到解析解，并進(jìn)行了數(shù)值模擬探究參數(shù)對(duì)價(jià)值的影響.

1 混合高斯模型及Mellin變換

1.1 混合高斯模型

定義1[6]設(shè)(Ω,F,P)是一個(gè)完備概率空間，定義參數(shù)為(σ,ε,H)的混合高斯模型是一個(gè)次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和布朗運(yùn)動(dòng)的線性組合，即XH(t)=εB(t)+σξH(t),(?t?∈R+)

其中：B(t)是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，ξH(t)是赫斯特指數(shù)H∈(0,1)的次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，ε,σ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且與B(t),ξH(t)相互獨(dú)立.混合高斯模型XH(t)滿足以下性質(zhì)[5].

1)?t∈R+，混合高斯模型XH(t)平方的期望函數(shù)與二階矩增量數(shù)為:

E(XH(t))2=ε2t+σ2(2-22H-1)t2H

E(XH(t)-XH(s))2=ε2(t-s)+σ2[-22H-1(t2H+s2H)+(t+s)2H+(t-s)2H]

2)混合高斯模型XH(t)是一個(gè)中心高斯過程

1.2 Mellin變換[13]

定義2 對(duì)于Lebesgue可積函數(shù)f(x),x∈R+，定義Mellin變換M(f(x),z),z∈C如下:

若a

2 資產(chǎn)價(jià)格模型及交換期權(quán)定價(jià)

本節(jié)討論一般性不帶跳躍的模型，下一小節(jié)將加入Possion跳躍.假設(shè)金融市場上有3種自由連續(xù)交易的資產(chǎn)，無風(fēng)險(xiǎn)債券價(jià)格Xt滿足dXt=rXtdt，其中：r是無風(fēng)險(xiǎn)利率.交換期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)分別為S1和S2，在t時(shí)刻的價(jià)格S(t)遵循下面混合高斯模型:

εiSi(t)dBi(t)(i=1,2).

(1)

引理4[6]標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格滿足偏微分方程(1)的解為

2.1 交換期權(quán)價(jià)格所滿足的偏微分方程

定理1 在混合高斯模型下，交換期權(quán)價(jià)值C=C(S1,S2,t)的Black-Scholes的偏微分方程，滿足：

終值條件為：C(S1,S2,T)=(S1-S2)+

證明構(gòu)造投資組合Πt=C-Δ1S1-Δ2S2，其中：Δ1,Δ1分別為兩種標(biāo)的資產(chǎn)份額.在[t,t+dt]的時(shí)間內(nèi)，投資組合的變化為

(2)

根據(jù)無套利原理，考慮到支付紅利，有

rΠtdt=dΠt-Δ1S1q1dt-Δ2S2q2dt

(3)

rC=0

(4)

2.2 不帶跳躍的模型求解

定理2 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)服從混合高斯模型(1)時(shí)，到期日為T的交換期權(quán)，損益函數(shù)為C(S1,S2,T)=(S1-S2)+，在t∈[0,T]時(shí)交換期權(quán)的價(jià)值為

其中：

證明為使得交換期權(quán)價(jià)格所滿足的偏微分方程的維數(shù)減少，下面采用變量替換將(4)轉(zhuǎn)化成一個(gè)Cauchy問題，令Z=S1/S2，有C(S1,S2,t)=S2U(Z,t)，則

帶入式(4)，整理有

(5)

(6)

對(duì)式(6)進(jìn)行積分得

(7)

令

由引理1，對(duì)F(Z,t)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到

由引理2可得

對(duì)U(Z,t)式進(jìn)行整理

(8)

經(jīng)過轉(zhuǎn)化Z=S1/S2，C(S1,S2,t)=S2U(Z,t)，定理2即可得證.

推論1 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)服從混合高斯模型(1)時(shí)，到期日為T的交換期權(quán)，損益函數(shù)為C(S1,S2,T)=(S2-S1)+，在t∈[0,T]時(shí)交換期權(quán)的價(jià)值為

其中：a1,a2,a3,d1，d2與定理2保持一致.

證明取C(S1,S2,T)=(S2-S2)+，參照定理2證明即可.

3 帶跳交換期權(quán)定價(jià)

本節(jié)討論跳躍環(huán)境的定價(jià)模型，基于對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)模型的假設(shè)，將模型擴(kuò)展為跳-擴(kuò)散模型

ωidBi(t)+dNi(t)],(i=1,2)

(9)

dNi(t)dBi(t)=0

(10)

3.1 跳-擴(kuò)散環(huán)境下B-S偏微分方程

f(0,0)

(11)

推論3 混合高斯模型下跳-擴(kuò)散環(huán)境下式(9)的解為:

定理3 在標(biāo)的資產(chǎn)滿足式(9)的跳-擴(kuò)散環(huán)境下，交換期權(quán)價(jià)值C=C(S1,S2,t)的Black-Scholes的偏微分方程為

[2HρH(2-22H-1)σ1σ2θ1θ2S1S2t2H-1+

(12)

證明結(jié)合做出的獨(dú)立性假設(shè)，有

22H-1)σ1σ2θ1θ2S1S2t2H-1+ρσ1σ2ω1ω2S1S2]dt

同理可得其他展開式, 按照定理1的證明思路，定理3得證.

3.2 跳-擴(kuò)散環(huán)境下交換期權(quán)定價(jià)

定理4 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)服從混合高斯模型驅(qū)動(dòng)的跳-擴(kuò)散過程時(shí)，到期日為T的交換期權(quán)，損益函數(shù)為C(S1,S2,T)=(S1-S2)+，在t∈[0,T]時(shí)交換期權(quán)的價(jià)值為

其中：

a3=(q2-q1)(T-t)

證明為使得交換期權(quán)價(jià)格所滿足的偏微分方程的維數(shù)降低，下面采用變量替換將式(12)轉(zhuǎn)化成一個(gè)Cauchy問題，令Z=S1/S2，有C(S1,S2,t)=S2U(Z,t)，計(jì)算帶入式(12)后得

令

對(duì)上式進(jìn)行Mellin變換得

(13)

注1 當(dāng)H=0.5,q1=q2=0,ε=0時(shí)，定理2轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)下交換期權(quán)定價(jià)公式[14].

注2 當(dāng)q1=q2=0,σ=0時(shí)，可推出次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下交換期權(quán)公式[10].

4 數(shù)值模擬

針對(duì)定理2和定理4，對(duì)不同的Hurst指數(shù)H，分別為 0.5(H=0.5退化為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng))，0.75，0.9進(jìn)行模擬.并對(duì)交換期權(quán)做如下假設(shè)：

T=0.75,t=0,q1=q2=0.1,σ1=σ2=0.15,

ε1=ε2=0.15,ρH=ρ=0.25

給定S1=100和S2=100，比較考察標(biāo)的資產(chǎn)S1(t)和S2(t)分別增加時(shí)，交換期權(quán)價(jià)值C(S1,S2,t)的變化情況.

從圖1可以看出，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S1上升時(shí)，交換期權(quán)的價(jià)值C(S1,S2,t)越來越大，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)S2上升時(shí)，交換期權(quán)的價(jià)值C(S1,S2,t)越來越小.同時(shí)對(duì)于相同的資產(chǎn)，隨著H的增大，交換期權(quán)價(jià)值都是越來越小.可以解釋為當(dāng)H越大，混合高斯模型作為噪聲的持續(xù)性，即暗示時(shí)間序列的長期記憶性.表現(xiàn)為標(biāo)的資產(chǎn)上漲(下跌)，則下一時(shí)刻很有可能繼續(xù)上漲(下跌)，因此市場變得可預(yù)測，對(duì)應(yīng)的市場風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較低，期權(quán)價(jià)值變的更低.這種變化趨勢符合實(shí)際情況, 從而說明該定價(jià)公式的正確性

圖1 不同標(biāo)的下交換期權(quán)價(jià)值Figure 1 Exchange option with different subject matters

圖2表明對(duì)于相同期限，Hurst 指數(shù)與期權(quán)價(jià)格的關(guān)系呈現(xiàn)反比，反映出Hurst 指數(shù)H>0.5時(shí)混合高斯模型的長期記憶性. 這種變化趨勢符合實(shí)際情況, 因?yàn)楫?dāng)Hurst指數(shù)增加時(shí), 標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的路徑會(huì)更光滑, 即價(jià)格波動(dòng)變小, 此時(shí), 期權(quán)帶來的回報(bào)就會(huì)降低, 從而導(dǎo)致期權(quán)價(jià)格下降. 對(duì)于相同Hurst 指數(shù)，期權(quán)價(jià)格與期限成正比，暗示期限越長，市場的不確定性高，從而期權(quán)價(jià)值更高,均符合實(shí)際情況.

圖 2 不同期限下的Hurst指數(shù)與期權(quán)價(jià)格的關(guān)系Figure 2 The relationship between Hurst index and option price based on different time limits

圖3分別給出了不同跳躍強(qiáng)度和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下交換期權(quán)價(jià)值的變化. 可以看出跳躍強(qiáng)度與交換期權(quán)的價(jià)值成正比. 這是因?yàn)樘S越大表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格有越大變動(dòng)的可能性，而更大的價(jià)格變動(dòng)會(huì)使得期權(quán)價(jià)值變高，與實(shí)際情況相同.

圖3 不同跳躍強(qiáng)度和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下交換期權(quán)價(jià)值變化Figure 3 The change of exchange option value with different jump intensity and underlying asset price

5 結(jié) 語

本文基于混合高斯模型刻畫標(biāo)的股票的長期記憶性，Possion跳刻畫“跳躍”. 利用Mellin變變換法得到帶跳混合高斯模型下交換期權(quán)定價(jià)公式.

相比傳統(tǒng)的變換轉(zhuǎn)化為熱傳導(dǎo)方程，Mellin變換積分法簡化了計(jì)算. 通過數(shù)值模擬，Hurst指數(shù)、到期期限、跳躍強(qiáng)度對(duì)交換期權(quán)價(jià)值有明顯影響，且變化方向符合市場規(guī)律. 特別地，當(dāng)H=0.5,q1=q2=0,ε=0時(shí)，得到經(jīng)典B-S交換期權(quán)定價(jià)公式[14]，表明本文定價(jià)公式的普遍性和正確性. Meliin變換法可以推廣到其他模型和奇異期權(quán)的定價(jià)中.