熊 政，車文剛

(昆明理工大學(xué) 信息工程與自動(dòng)化學(xué)院， 云南 昆明 650500)

股票投資是人們主要的投資手段之一，近年來，越來越多的人開始關(guān)注股票市場并加入到股民這一行列。然而，對(duì)于股民來說，在面對(duì)上千支股票時(shí)，選擇哪一支股票可以降低虧損風(fēng)險(xiǎn)帶來不錯(cuò)的收益就需要一些輔助手段了。金融時(shí)間序列模型是股票預(yù)測中最常用的方法，也被認(rèn)為是預(yù)測股市變化最好的工具之一，準(zhǔn)確的股票預(yù)測能夠幫助投資者做出正確的判斷。而對(duì)于個(gè)人投資者來說，高速、簡易、預(yù)測準(zhǔn)確的輕量型時(shí)間序列模型更加適合個(gè)人投資者在日常生活中的應(yīng)用，也是眾多科研工作者研究的目標(biāo)。

張穎超等[1]通過建立ARIMA模型對(duì)股票未來的上證指數(shù)進(jìn)行預(yù)測和分析，發(fā)現(xiàn)該模型在未來4個(gè)交易日里的預(yù)測效果較好。劉松等[2]通過建立ARIMA模型對(duì)選取的金融市場股票的歷史收盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)和預(yù)測，得出對(duì)未來三天的預(yù)測值與真實(shí)值的最大誤差不超過0.04。Murat等[3]在對(duì)市場壓力下的股票市場波動(dòng)的MIDAS回歸預(yù)測實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在采用高頻率的數(shù)據(jù)來估計(jì)模型時(shí)，GARCH模型具有較好的預(yù)測性能，并提出了遞推方案可以提高GARCH模型性能的可能性。MIAH等[4]在實(shí)驗(yàn)中測試不同滯后階的GARCH模型，利用Akaike信息準(zhǔn)則和貝葉斯準(zhǔn)則證明了GARCH(1,1)模型比其他GARCH(p,q)模型對(duì)DSE日收益序列的波動(dòng)性建模效果要好。印凡成等[5]利用GARCH-M模型擬合上證A股指數(shù)波動(dòng)率的變化趨勢并進(jìn)行預(yù)測，而后將其應(yīng)用于Black-Scholes模型中，克服了以往假定有效期內(nèi)波動(dòng)率為常數(shù)的不合理假設(shè)，使預(yù)測值進(jìn)一步趨近實(shí)際值。方燕等[6]利用ARIMA-GARCH模型對(duì)傳媒股價(jià)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，該模型對(duì)具有“尖峰肥尾”分布特征的個(gè)股預(yù)測相比于傳統(tǒng)ARIMA模型和GARCH模型要更加精確。而楊琦等[7]的研究進(jìn)一步說明了ARIMA-GARCH模型的預(yù)測誤差會(huì)隨著預(yù)測步數(shù)的增加而增大，精度也會(huì)越來越低。許舒雅等[8]通過建立ARIMA-GARCH模型對(duì)宇通客車的收盤價(jià)序列進(jìn)行擬合并通過實(shí)證進(jìn)行誤差分析，得到最小誤差為-0.001 272 647 2，證明了該模型可以應(yīng)用于股票收盤價(jià)格的預(yù)測。本文在此基礎(chǔ)上將波動(dòng)率代入ARIMA-GARCH中，嘗試克服傳統(tǒng)股票預(yù)測中方差不變的假設(shè)，希望將預(yù)測精度進(jìn)一步提高。在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，該模型對(duì)“尖峰肥尾”分布不明顯的個(gè)股多步數(shù)的預(yù)測相對(duì)較差，但是在下一天的預(yù)測與真實(shí)值更加接近，因此，利用遞歸的思想，將第1天的預(yù)測值放原始數(shù)據(jù)中，再重復(fù)進(jìn)行第2天的預(yù)測。

1 ARIMA-GARCH-M模型

1.1 ARIMA模型原理

ARIMA模型即差分自回歸移動(dòng)平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model)，是由Box和Jenkins于20世紀(jì)70年代初提出的著名時(shí)間序列預(yù)測方法，又被稱為Box-Jenkins模型。ARIMA模型本質(zhì)上是通過自相關(guān)和部分自相關(guān)函數(shù)來模擬數(shù)據(jù)的隨機(jī)性變化，從而達(dá)到預(yù)測數(shù)據(jù)未來變化趨勢的目的。ARIMA(p,d,q)模型用公式可以表示為

其中p、d、q分別為自回歸階數(shù)、差分階數(shù)和滑動(dòng)平均階數(shù)，Xt是時(shí)間t的時(shí)間序列，φi、θj分別是p階和q階的平穩(wěn)多項(xiàng)式算子，εt為一個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)。

1.2 ARCH模型原理

1.3 GARCH模型原理

1.4 GARCH-M模型原理

GARCH-M模型是對(duì)GARCH模型的擴(kuò)展，將波動(dòng)率作為解釋變量代入到時(shí)間序列的均值方程中，可以較好地描述收盤價(jià)與股價(jià)波動(dòng)的相關(guān)性[9],其一般形式可以表示為

1.5 ARIMA-GARCH模型原理

ARIMA-GARCH混合模型是ARIMA模型和GARCH模型結(jié)合，可以表示為

1.6 ARIMA-GARCH-M模型原理

ARIMA-GARCH-M混合模型是ARIMA模型和GARCH-M模型結(jié)合，能夠更有效地捕捉時(shí)間序列的“尖尾”特征，并改善預(yù)測結(jié)果[10]。該模型表示如下：

其中B為滯后計(jì)算。

2 實(shí)驗(yàn)研究

2.1 實(shí)驗(yàn)步驟

(1)對(duì)股票數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)數(shù)據(jù)之間是否存在自相關(guān)；

(2)ADF檢驗(yàn)完成對(duì)股票價(jià)格平穩(wěn)性檢驗(yàn)；

(3)若股票序列為非平穩(wěn)序列，則對(duì)該序列作差分處理，將其轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列；

(4)對(duì)ARIMA模型作ARCH檢驗(yàn)，確定是否存在異方差性；

(5)對(duì)ARIMA-GARCH-M模型進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，檢驗(yàn)殘差是否符合白噪聲，若不符，則需對(duì)模型作進(jìn)一步優(yōu)化；

(6)在確定ARIMA-GARCH-M模型參數(shù)之后，對(duì)目標(biāo)股票進(jìn)行收盤價(jià)單步預(yù)測并將預(yù)測結(jié)果添加到原始數(shù)據(jù)的下一條數(shù)據(jù)中；

(7)重復(fù)以上步驟，并建立ARIMA模型、GARCH模型、GARCH-M模型、ARIMA-GARCH模型與ARIMA-GARCH-M模型做實(shí)驗(yàn)對(duì)比。

2.2 相關(guān)性檢驗(yàn)

隨機(jī)選取了2018年1月2日—2021年4月2日“平安銀行”的790條股票收盤價(jià)數(shù)據(jù)來建立要分析的時(shí)間序列模型，部分?jǐn)?shù)據(jù)見表1。

首先對(duì)股票數(shù)據(jù)進(jìn)行DW(Durbin-Watson)檢驗(yàn)，DW檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為0.009 336，P為0.000 0。從檢驗(yàn)結(jié)果看，P<0.005，說明數(shù)據(jù)之間存在自相關(guān)性，因此，可以作時(shí)間序列分析。

2.3 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

在進(jìn)行ADF檢驗(yàn)前，假設(shè)該時(shí)間序列為非平穩(wěn)序列，通過表2的ADF檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，在未進(jìn)行差分的情況下，P>0.05，不能拒絕原假設(shè)，則該序列為非平穩(wěn)序列。在將該序列一階差分后，再次進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，從表中可看出，差分后P<0.01，則拒絕原假設(shè)，該時(shí)間序列為平穩(wěn)時(shí)間序列，符合實(shí)驗(yàn)要求。

表2 ADF檢驗(yàn)結(jié)果

2.4 模型選擇和參數(shù)估計(jì)

從一階差分后的自相關(guān)和偏自相關(guān)信息中可以大致確定p和q的取值都為(3，4)中的值，為了具體確認(rèn)p和q的值，結(jié)合AIC信息準(zhǔn)則，建立多個(gè)ARIMA(p，d，q)模型，由ADF檢驗(yàn)得d=1，p和q的取值分別從1到4，篩選AIC值最小的一個(gè)，最終選出最佳模型ARIMA(4，1，3)，輸出結(jié)果見表3。

表3 不同階數(shù)模型的AIC值

對(duì)于得到的ARIMA(4，1，3)模型，對(duì)其進(jìn)行ARCH檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果0.262 2,小于F-statistic的1.258 724，因此，該模型存在異方差性，可以建立GARCH-M模型。根據(jù)MIAH等[4]的研究結(jié)果，這里選取GARCH(1，1)-M。

2.5 ARIMA-GARCH-M模型的建立

由于在該實(shí)驗(yàn)中引入了遞歸的方式，因此每次生成的ARIMA-GARCH-M模型參數(shù)是不同的，這里列出第一次預(yù)測的模型參數(shù)，對(duì)后面多次的參數(shù)不再列出。

利用ARIMA(4，1，3)-GARCH-M(1，1)-M模型對(duì)股票數(shù)據(jù)擬合，估計(jì)模型參數(shù)，結(jié)果見表4。

表4 ARIMA(4，1，3)-GARCH(1，1)-M模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由表4擬合參數(shù)可以得到第一次預(yù)測的ARIMA-GARCH-M模型：

2.6 模型預(yù)測

通過建立的ARIMA-GARCH-M時(shí)間序列模型，預(yù)測“平安銀行”股票4天收盤價(jià)，結(jié)果見表5。

由表5的預(yù)測結(jié)果可知ARIMA-GARCH-M模型對(duì)“平安銀行”股票預(yù)測的最大相對(duì)誤差和最小相對(duì)誤差分別為-0.260 368 937、0.029 351 052。

2.7 精度比較

為了對(duì)比ARIMA-GARCH模型和加入波動(dòng)率之后的ARIMA-GARCH-M模型的預(yù)測效果，使用擬合圖像和殘差圖像來作對(duì)比分析,如圖1、圖2所示。

表5 ARIMA(4，1，3)-GARCH(1，1)-M模型預(yù)測股票4天收盤價(jià)結(jié)果

圖1 ARIMA-GARCH擬合殘差圖 圖2 ARIMA-GARCH-M擬合殘差圖

由于使用的數(shù)據(jù)量相對(duì)較大，從擬合圖像和殘差圖像上難以觀察到兩者之間的差別，因此，采用方差圖像來進(jìn)一步對(duì)比兩者的區(qū)別，如圖3、圖4所示。

圖3 ARIMA-GARCH方差圖 圖4 ARIMA-GARCH-M方差圖

通過方差圖像可以明顯看出ARIMA-GARCH-M模型比ARIMA-GARCH模型的偏差程度更小。因此ARIMA-GARCH-M模型的預(yù)測效果會(huì)更優(yōu)于ARIMA-GARCH模型。

2.8 誤差檢驗(yàn)與實(shí)驗(yàn)對(duì)比

為了檢驗(yàn)預(yù)測的準(zhǔn)確性，采用平均絕對(duì)誤差MAPE、均方根誤差RMSE和等系數(shù)EC對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)ARIMA模型在預(yù)測出第5天時(shí)會(huì)出現(xiàn)較大的波動(dòng)，因此在做實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比時(shí)，將預(yù)測4期股票收盤價(jià)誤差檢驗(yàn)結(jié)果分別對(duì)比：

其中N為預(yù)測數(shù)據(jù)天數(shù)，ai和ei分別為第i天的實(shí)際收盤價(jià)和預(yù)測收盤價(jià)。結(jié)果見表6。

根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，在對(duì)股票4天的預(yù)測中，ARIMA-GARCH-M模型的平均絕對(duì)誤差為0.63%，均方根誤差為16.09%，等系數(shù)為99.63%。傳統(tǒng)的ARIMA模型的平均絕對(duì)誤差為0.72%，均方根誤差為17.09%，等系數(shù)為99.60%。GARCH模型的平均絕對(duì)誤差為0.64%，均方根誤差為16.20%，等系數(shù)為99.62%。GARCH-M模型的平均絕對(duì)誤差為0.64%，均方根誤差為16.08%，等系數(shù)為99.63%。ARIMA-GARCH模型的平均絕對(duì)誤差為0.68%，均方根誤差為17.07%，等系數(shù)為99.60%。由此可見，在對(duì)平安銀行股票收盤價(jià)的預(yù)測中，ARIMA-GARCH-M模型預(yù)測結(jié)果是優(yōu)于表6中的其他模型的。

表6 對(duì)“平安銀行”4天收盤價(jià)的預(yù)測誤差檢驗(yàn)結(jié)果

3 結(jié)論

通過以上實(shí)驗(yàn)，可以得到ARIMA-GARCH-M模型在擬合和預(yù)測短期股票市場價(jià)格上比ARIMA模型、GARCH模型、GARCH-M模型和ARIMA-GARCH模型要更精確一些。對(duì)于個(gè)人投資者來說，該方法簡單有效，可以在日常生活中應(yīng)用。而對(duì)于有更高需求的投資者，想要更加精確地預(yù)測出股票的價(jià)格，則可以結(jié)合龐大的數(shù)據(jù)量、運(yùn)用更復(fù)雜的模型進(jìn)行分析，盡可能將更多影響股市價(jià)格的因素代入研究中，比如新聞導(dǎo)向、國內(nèi)政策、投資者購買欲望等。