郭煜

（陜西郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西咸陽(yáng) 712000）

1 引言

近年來(lái)，應(yīng)用數(shù)學(xué)相關(guān)研究者與工程技術(shù)相關(guān)研究者一直將研究的重點(diǎn)放在針對(duì)非線性方程組求解方法探索中[1]。從上世紀(jì)90 年代開(kāi)始，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家將研究的核心內(nèi)容放在非線性方程求解的研究中。各國(guó)學(xué)者提出眾多有效求解方法，其中最為有效的方法包括進(jìn)化計(jì)算方法、牛頓法以及數(shù)值迭代法等[2-3]。使用數(shù)值迭代法對(duì)非線性方程組求解是目前學(xué)術(shù)界使用最為常見(jiàn)和經(jīng)典的方法。Newton-Raphson迭代法是所有數(shù)值迭代法的基礎(chǔ)，該迭代方法具有較快的收斂速度和較強(qiáng)的局部二階收斂性[4]。但是該迭代算法的計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，每實(shí)現(xiàn)一次迭代都需要對(duì)Jacobi矩陣實(shí)行計(jì)算，再對(duì)線性方程組求解；而且Newton-Raphson迭代法在選擇初值時(shí)具有較強(qiáng)的敏感性，很難獲得收斂至所需解的初值；一旦Jacobi 矩陣陷入奇異中或者接近奇異，Newton-Raphson迭代法則不能繼續(xù)迭代。近年來(lái)還有學(xué)者將遺傳算法作為基礎(chǔ)對(duì)非線性方程組求解[5]，該方法通用性較強(qiáng)，但是在實(shí)際使用過(guò)程中仍舊遇到很多無(wú)法解決的問(wèn)題。

上世紀(jì)末，廣大學(xué)者對(duì)于集群智能相關(guān)研究產(chǎn)生極大興趣，該時(shí)期涌現(xiàn)出許多具有代表性的集群智能方法，如粒子群算法和蟻群算法。其中粒子群算法主要是仿真簡(jiǎn)化社會(huì)模型，該算法的主要思想來(lái)源于魚(yú)類(lèi)和鳥(niǎo)類(lèi)的集群現(xiàn)象和人工生命理論，是極具代表性的集群智能方法之一[6-7]。與蟻群算法類(lèi)似，粒子群算法也是將群體作為基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化。粒子群算法具有以下三個(gè)特點(diǎn)：賦予各粒子隨機(jī)速度，使得每個(gè)粒子都能在問(wèn)題空間內(nèi)自由流動(dòng)；經(jīng)過(guò)粒子之間相互競(jìng)爭(zhēng)與合作實(shí)現(xiàn)粒子的進(jìn)化；每個(gè)粒子都具有極強(qiáng)的記憶功能[9-11]。國(guó)內(nèi)外各類(lèi)學(xué)者都對(duì)粒子群算法實(shí)行深入研究，逐漸發(fā)現(xiàn)粒子群算法存在穩(wěn)定性較差收斂速度較慢等問(wèn)題，因此提出一種粒子群優(yōu)化算法，該算法經(jīng)過(guò)各類(lèi)學(xué)者的反復(fù)驗(yàn)證，確定粒子群優(yōu)化算法具有收斂速度快、快速實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)、概念簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)便捷、參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)，被學(xué)術(shù)界廣泛認(rèn)可。基于粒子群算法的優(yōu)秀特性，在電力、經(jīng)濟(jì)、水利、函數(shù)優(yōu)化等大規(guī)模組合優(yōu)化問(wèn)題內(nèi)應(yīng)用廣泛[12]。由于粒子群優(yōu)化算法極強(qiáng)的高效并行能力，在多峰值、非線性以及不可微等復(fù)雜問(wèn)題方面都有極廣泛的應(yīng)用。

本文將非線性方程組的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)換為函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，將改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法作為基礎(chǔ)，對(duì)非線性方程組求解。

2 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法分析

2.1 粒子群優(yōu)化算法

在自然環(huán)境下，學(xué)者通過(guò)實(shí)際觀察鳥(niǎo)類(lèi)集群中對(duì)事物實(shí)行搜索時(shí)的行為獲得啟示，研究出粒子群優(yōu)化算法。通過(guò)總結(jié)個(gè)體自身經(jīng)驗(yàn)并且共享個(gè)體之間的信息，將個(gè)體行動(dòng)策略修正，獲得最終優(yōu)化問(wèn)題解。在粒子群優(yōu)化算法內(nèi)，粒子在搜索空間內(nèi)等同于優(yōu)化問(wèn)題的各潛在解，根據(jù)優(yōu)化函數(shù)確定全部粒子的各個(gè)適應(yīng)值。各粒子的飛翔距離與飛翔方向由各個(gè)粒子的速度決定，在解空間內(nèi)，最優(yōu)粒子實(shí)行搜索時(shí)會(huì)有很多粒子在其后跟隨。粒子群優(yōu)化算法在初始階段會(huì)生成蟻群隨機(jī)粒子，經(jīng)過(guò)不斷迭代尋找到整個(gè)粒子群中的最優(yōu)解。粒子群算法優(yōu)化過(guò)程中，將各粒子的不同認(rèn)知域作為基礎(chǔ)，使粒子群算法性能得到提高。粒子的認(rèn)知域是指將粒子在計(jì)算當(dāng)下所能得到的最好位置作為中心，當(dāng)前適應(yīng)度作為半徑劃分的區(qū)域。所謂最大認(rèn)知域(Maximum Cognitive Domain，MCD)就是指這個(gè)區(qū)域的邊界位置。第i個(gè)粒子的最大認(rèn)知域?yàn)椋?/p>

式中，fiti(l)表示第i個(gè)粒子的適應(yīng)度值；maxfiti(l)表示第i個(gè)粒子在當(dāng)下能夠獲取的最佳適應(yīng)度值。

假設(shè)存在某個(gè)粒子，該粒子在認(rèn)知域內(nèi)的飛行方向被稱(chēng)為認(rèn)知方向C：

式中，PBest(k，l)與disPBest分別表示某個(gè)粒子在l時(shí)刻k變量下能夠獲得的最佳值與最佳值各位變量平方和，disPBest=；D代表粒子變量維數(shù)。粒子發(fā)揮本身能力找到的最優(yōu)解(也被稱(chēng)為個(gè)體極值)使用式(3)表示：

式中，r1(t)與r2(t)均代表(0，1)之中隨機(jī)數(shù)；w表示PBest(k，l)的飛行率，通常情況下取值為0．001至0．01。

全部粒子種群在一定時(shí)間段內(nèi)所能找到的最優(yōu)解為全局極值，使用gBest表示。歷次迭代過(guò)程中更新粒子時(shí)需要對(duì)兩個(gè)“極值”實(shí)行跟蹤得以實(shí)現(xiàn)更新。通過(guò)式(4)和式(5)各個(gè)粒子實(shí)現(xiàn)自身位置與速度的更新：

式中，φ0與vt分別表示慣性常數(shù)和第t次迭代時(shí)粒子的速度，xt與φ1、φ2分別表示第t次迭代時(shí)粒子空間位置與各學(xué)習(xí)因子。

2.2 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法

在粒子群優(yōu)化算法中，各個(gè)粒子不會(huì)對(duì)除自身以外的粒子活動(dòng)情況加以考慮，更新自身距離與位置時(shí)只會(huì)考慮各粒子自己的個(gè)體極值與全局極值，所以在整個(gè)解空間中，粒子群的搜素方式呈現(xiàn)單向性。本文所使用的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法，排序粒子群中的粒子時(shí)依據(jù)的規(guī)則為對(duì)應(yīng)各個(gè)粒子個(gè)體極值的適應(yīng)值大小，修正各粒子下一次迭代的行動(dòng)策略時(shí)需要選擇前n個(gè)粒子信息[13]。由此可以看出本文所使用的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法在解空間內(nèi)實(shí)行搜索時(shí)粒子群內(nèi)的全部粒子實(shí)行多方向性均勻搜索，將改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的全局收斂性與計(jì)算精度有效提高，式(6)與式(7)表示改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的基本公式：

式中，r2i(t)與φ2i分別代表(0，1)中的隨機(jī)數(shù)和學(xué)習(xí)因子。

適應(yīng)值大小與全部粒子中粒子個(gè)體極值對(duì)應(yīng)，按照適應(yīng)值大小對(duì)粒子排序，取排序完成后的前n個(gè)粒子，這些粒子在整個(gè)解空間內(nèi)所處的位置即為gBest，其中n＜m。根據(jù)式(6)可得出判斷：n=1 的特例即為常見(jiàn)的粒子群優(yōu)化算法。常規(guī)情況下，若想求解效果較好，則需要設(shè)定40至60個(gè)粒子作為粒子群數(shù)目，如果求解問(wèn)題比較特殊，則可以適當(dāng)將粒子數(shù)目增加。粒子最大速度vmax會(huì)在歷次迭代過(guò)程中限制個(gè)粒子的運(yùn)行速度。最大速度vmax變量變化范圍控制在10%至20%之間變能實(shí)行局部搜索能力與全局搜索能力的平衡。

2.3 求解非線性方程組

求解非線性方程組時(shí)，根據(jù)定理，||F(x)||2全局極小值點(diǎn)與非線性方程組F(x)=0是等價(jià)的[14]。求解非線性方程組的具體過(guò)程如下：(1)將改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法中的粒子速度vt+1與位置xt+1以及整個(gè)粒子群的種群規(guī)模N初始化，把最大迭代次數(shù)max iterations與終止條件精度eps確定下來(lái)；(2)設(shè)定目標(biāo)函數(shù)：非線性方程組||F(x)||2，對(duì)各粒子的適應(yīng)度值fit(l)實(shí)行計(jì)算，將各粒子的位置vt+1與適應(yīng)度值fit(l)存儲(chǔ)起來(lái)，從中選出最佳適應(yīng)度的粒子位置，使用FBest表示；(3)利用式(6)和式(7)進(jìn)化操作各粒子；(4)對(duì)于進(jìn)化完成的粒子確定極值，刷新整個(gè)粒子群體的歷史最優(yōu)位置以及粒子歷史最優(yōu)位置；(5)不斷重復(fù)第(4)個(gè)計(jì)算步驟，一直到算法滿足終止條件。

3 算例分析

本文實(shí)驗(yàn)研究分別從改進(jìn)粒子群算法性能以及求解分線性方程組兩個(gè)方面開(kāi)展。

3.1 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法性能分析

在測(cè)試求解非線性方程組方法性能時(shí)，選取3個(gè)測(cè)試函數(shù)對(duì)方法的性能實(shí)行測(cè)試，3個(gè)測(cè)試函數(shù)分別為球曲面(Sphere)函數(shù)、非凸(Rosenbrock)函數(shù)以及格里旺克(Griewank)函數(shù)，3 個(gè)測(cè)試函數(shù)如式(8)所示。各測(cè)試函數(shù)的最優(yōu)值均為0。為對(duì)比本文方法性能，使用大型線性方程組求解的可驗(yàn)證外包方法與兩類(lèi)五階解非線性方程組的迭代方法與本文方法形成對(duì)比，這兩個(gè)對(duì)比方法分別為文獻(xiàn)[4]算法與文獻(xiàn)[5]方法。性能分析在Matlab仿真平臺(tái)下開(kāi)展，將3種測(cè)試函數(shù)直接輸入到Matlab仿真平臺(tái)的工具箱中，方便調(diào)用。

分析三種方法在各測(cè)試函數(shù)下的平均適應(yīng)度函數(shù)，在測(cè)試過(guò)程中，將粒子群種群規(guī)模、粒子維數(shù)以及整體粒子群的粒子最優(yōu)位置這三類(lèi)實(shí)驗(yàn)參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置，平均適應(yīng)度值結(jié)果見(jiàn)表1。從表1中能夠看出，在實(shí)驗(yàn)各影響參數(shù)條件相同的情況中，本文方法無(wú)論在哪種測(cè)試函數(shù)之下，都遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于另兩種對(duì)比方法的平均適應(yīng)度值。在反復(fù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中也證明本文方法具有良好的穩(wěn)定性，歷次實(shí)驗(yàn)中都能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)值，沒(méi)有出現(xiàn)失敗情況。

表1 平均適應(yīng)度值

以球曲面(Sphere)函數(shù)f1為例，分析3 種方法的尋優(yōu)情況，結(jié)果見(jiàn)圖1。從圖1能夠看出，文獻(xiàn)[4]方法尋優(yōu)能力較差，隨著迭代次數(shù)的增加，粒子適應(yīng)度始終在降低，尋優(yōu)能力較差；文獻(xiàn)[5]方法雖然也實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)，但是速度較較慢，極易陷入局部最優(yōu)解；本文方法，能夠跳出局部最優(yōu)，尋優(yōu)性能較強(qiáng)。

圖1 尋優(yōu)曲線變化趨勢(shì)

針對(duì)各方法的在收斂過(guò)程中的穩(wěn)定情況，繪制圖2，分析各方法的穩(wěn)定情況。從圖2中能夠看出，文獻(xiàn)[4]方法和文獻(xiàn)[5]方法幾乎需要迭代次數(shù)達(dá)到560 次以上穩(wěn)點(diǎn)系數(shù)才能逐漸上升至0．90以上，而本文方法在迭代達(dá)到280次時(shí)便能實(shí)現(xiàn)收斂曲線迅速上升趨于平穩(wěn)，證明本文方法收斂速度較快，實(shí)現(xiàn)計(jì)算時(shí)精度較高。

圖2 收斂情況對(duì)比

3.2 非線性方程組求解

為了驗(yàn)證本文方法對(duì)于非線性方程組的求解效果，選取兩組非線性方程組作為求解對(duì)象，能夠本文方法對(duì)其求解，以下為分析過(guò)程及結(jié)果。

非線性方程組(1)：

依據(jù)上文研究，||F(x)||2全局極小值點(diǎn)與非線性方程組F(x)=0是等價(jià)的，所以非線性方程組f1(x)可以表示為F1(x)=，將變換后的非線性方程組作為目標(biāo)函數(shù)，使用本文方法對(duì)其求解，表2位求解結(jié)果。

通過(guò)表2能夠看出，使用本文方法弄夠?qū)Ψ蔷€性方程求解，具有較高的使用價(jià)值。

表2 非線性方程組求解結(jié)果

非線性方程組(2)：

非線性方程(2)的計(jì)算過(guò)程與非線性方程(1)的計(jì)算過(guò)程原理相同，通過(guò)F2(x)表示f2(x)。表3和表4分別為具體求解結(jié)果以及三種方法對(duì)分線性方程組求解結(jié)果比較。通過(guò)表3與表4中的非線性方程組求解結(jié)果以及比較結(jié)果可以看出本文方法求解結(jié)果較為精準(zhǔn)，沒(méi)實(shí)行一次計(jì)算便能獲得一次求解結(jié)果，由此證明具有100%的概率求出非線性方程組的結(jié)果。且本文方法的求解精度較高。同時(shí)本文方法具有計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，所需參數(shù)較少等特點(diǎn)，再對(duì)非線性方程組求解過(guò)程中具備一定優(yōu)勢(shì)。

表3 非線性方程組求解結(jié)果

表4 求解結(jié)果比較

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法作為基礎(chǔ)，利用粒子全砌墻的收斂性能，實(shí)現(xiàn)非線性方程組的有效求解，使用該方法求解，具有快速高效的特點(diǎn)，所求得的非線性方程組解精度較高，與同類(lèi)方法相比具有一定優(yōu)勢(shì)。利用仿真平臺(tái)開(kāi)展實(shí)驗(yàn)證明該方法具有良好的有效性與可行性，從多角度開(kāi)展實(shí)驗(yàn)證明該方法具有高效利用性，為非線性方程組的求解計(jì)算拓展新的研究方向。

對(duì)于非線性方程組的相關(guān)研究一直是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)研究人員一直關(guān)注的問(wèn)題，在今后的研究中，可以從各種細(xì)化角度開(kāi)展，例如通過(guò)優(yōu)化參數(shù)實(shí)現(xiàn)非線性方程的精度求解；探尋是否存在更加簡(jiǎn)便快捷的方式或算法，進(jìn)一步精確求解非線性方程組。