梅鑫南, 王應(yīng)明

(福州大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,福建 福州 350108)

0 引言

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(data envelopment analysis，DEA)是一種處理多輸入多輸出評(píng)價(jià)問(wèn)題的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，在效率評(píng)價(jià)方面受到越來(lái)越多的重視[1]。Charnes等[2]最早提出了DEA方法和CCR模型。CCR模型能夠有效地評(píng)估決策單元的相對(duì)有效性，但缺乏進(jìn)一步區(qū)分決策單元的能力。此外，CCR模型可能會(huì)出現(xiàn)極端不現(xiàn)實(shí)的權(quán)重。針對(duì)該問(wèn)題，Sexton等[3]結(jié)合自評(píng)和他評(píng)的思想，提出了交叉效率評(píng)價(jià)方法。交叉效率方法是最可靠的排序方法之一，廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域[4]。

交叉效率的理論研究主要分為兩個(gè)方面：一是交叉效率矩陣的計(jì)算，通過(guò)構(gòu)建二次目標(biāo)模型來(lái)選擇唯一的權(quán)重集；二是交叉效率的集結(jié)，根據(jù)自評(píng)和他評(píng)之間的關(guān)聯(lián)來(lái)集結(jié)效率[5]。CCR模型的最優(yōu)權(quán)重往往不是唯一的，從而導(dǎo)致交叉效率值的不穩(wěn)定性。為此，學(xué)者們提出了不同的二次目標(biāo)模型來(lái)解決該問(wèn)題。Doyle等[6]提出了激進(jìn)型和仁慈型交叉效率模型，Liang等[7]提出了DEA博弈交叉效率模型；Wang和Chin[8]提出了中立DEA模型；Wu等[9]結(jié)合目標(biāo)識(shí)別模型，從不同的角度構(gòu)造二次目標(biāo)模型。關(guān)于交叉效率的集結(jié)，傳統(tǒng)做法是將交叉效率值進(jìn)行算術(shù)平均。算術(shù)平均方法未考慮決策單元之間的相對(duì)重要性，并且低估了自評(píng)的重要性。Wang等[10]從差異性和偏離度等角度出發(fā)，提出了三種確定交叉效率相對(duì)重要性權(quán)重的方法。Song等[11]引入香農(nóng)熵集結(jié)交叉效率。劉鵬等[12]將交叉效率矩陣轉(zhuǎn)換為專家打分矩陣，提出了基于“專家打分法”的集結(jié)方法。然而，這些方法忽視了決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。事實(shí)上，決策者的心理在決策過(guò)程中起著重要作用。Wang和Chin[13]引入有序加權(quán)平均(OWA)算子進(jìn)行交叉效率集結(jié)，考慮決策者對(duì)最佳相對(duì)效率的樂(lè)觀水平。但該方法僅靠決策者樂(lè)觀水平來(lái)決定集結(jié)方式，忽視了決策者在面對(duì)收益和損失時(shí)個(gè)人主觀價(jià)值感受的差異[14]。Liu等[15]將前景理論應(yīng)用于交叉效率評(píng)價(jià)，提出了前景交叉效率模型。然而，該方法運(yùn)用算術(shù)平均方法集結(jié)最終效率，與實(shí)際情況不一致[16]。Chen等[17]提出了基于前景共識(shí)過(guò)程的交叉效率集結(jié)方法，根據(jù)期望值與結(jié)果之間的差異，不斷調(diào)整期望值以達(dá)成共識(shí)。但該方法未考慮調(diào)整過(guò)程中的共識(shí)成本。

綜上所述，上述方法存在的問(wèn)題主要包括：第一，忽視了決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好，難以描述決策者在交叉效率集結(jié)時(shí)的心理行為；第二，考慮了決策者的偏好，但集結(jié)權(quán)重的方法存在一定的局限性。為了解決上述問(wèn)題，本文結(jié)合前景理論和熵權(quán)法，提出一種新的交叉效率集結(jié)方法。首先，運(yùn)用熵權(quán)法確定他評(píng)過(guò)程中評(píng)價(jià)單元的權(quán)重。然后，引入前景理論以考慮決策者在交叉效率集結(jié)過(guò)程中的風(fēng)險(xiǎn)偏好，確定正負(fù)參考點(diǎn)，得到前景交叉效率矩陣。隨后，構(gòu)建最大化前景價(jià)值模型，求解集結(jié)權(quán)重以及最終效率值。最后，結(jié)合實(shí)例驗(yàn)證方法的有效性。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 DEA交叉效率模型

假設(shè)有n個(gè)決策單元，每個(gè)決策單元具有m個(gè)投入和s個(gè)產(chǎn)出。對(duì)于第j個(gè)決策單元DMUj，令xij(i=1,…,m)和yrj(r=1,…,s)分別表示為DMUj的第j個(gè)投入和第r個(gè)產(chǎn)出。根據(jù)CCR模型，被評(píng)價(jià)單元DMUd的自評(píng)效率為:

uid≥0,vid≥0,r=1,2,…,s;i=1,2,…,m

(1)

(2)

針對(duì)模型(1)中可能出現(xiàn)最優(yōu)解非唯一的問(wèn)題，最常用的方法是使用激進(jìn)型或仁慈型二次目標(biāo)模型。由于激進(jìn)型模型在求解時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生較多的零權(quán)重，因此本文采用仁慈型模型來(lái)求解決策單元的交叉效率，具體模型如下:

urd≥0,vid≥0,r=1,2,…,s;i=1,2,…,m

(3)

1.2 熵權(quán)法

在不確定性條件下進(jìn)行決策時(shí)，香農(nóng)熵是一種有效的度量工具。熵權(quán)法是一種客觀賦權(quán)方法，通過(guò)信息熵得到各指標(biāo)的熵權(quán)，再利用熵權(quán)對(duì)各指標(biāo)的權(quán)重進(jìn)行改進(jìn)以得到客觀的權(quán)重[18]。該方法的具體步驟如下:

Step1對(duì)決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理。

(4)

Step2求第j個(gè)指標(biāo)的熵。

(5)

Step3求第j個(gè)指標(biāo)的權(quán)重。

(6)

1.3 前景理論

前景理論是Kahneman和Tversky在1979年提出的一種用于描述決策者在風(fēng)險(xiǎn)和不確定性條件下的行為決策理論[19。在前景理論中，前景價(jià)值能夠反應(yīng)決策者在面對(duì)得失時(shí)的主觀感受。前景理論的價(jià)值函數(shù)表示為:

(7)

其中，Δz=z-z0，表示z與參考點(diǎn)z0的偏差值。當(dāng)Δz≥0時(shí)，結(jié)果表示相對(duì)收益；當(dāng)Δz<0時(shí)，結(jié)果表示相對(duì)損失。α和β分別表示決策者對(duì)收益和損失的敏感性程度，且0<α<1，0<β<1。變量θ表示損失規(guī)避系數(shù)，且θ>1，即決策者對(duì)損失的敏感程度要大于其獲得同等收益的敏感程度。前景理論的相關(guān)研究表明，當(dāng)α=β=0.88，θ=2.25時(shí)，這是最符合決策者在有限理性條件下的決策心理[19]。

在前景理論中，決策者依據(jù)參考點(diǎn)來(lái)衡量方案的收益和損失情況，參考點(diǎn)的選取往往依賴于決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好和心理狀態(tài)[20]。確定參考點(diǎn)的方法有很多，但是以往選擇參考點(diǎn)的方法不能充分反映總體情況，在評(píng)價(jià)時(shí)缺乏通用性。本文運(yùn)用TOPSIS方法識(shí)別正負(fù)參考點(diǎn)，定義加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣中每一行的最大值為正參考點(diǎn)，最小值為負(fù)參考點(diǎn)，以構(gòu)建前景交叉效率矩陣。

2 基于前景理論和熵權(quán)法的交叉效率集結(jié)方法

傳統(tǒng)的算術(shù)平均方法忽視了決策單元之間的相對(duì)重要性，且未考慮決策者在交叉效率集結(jié)過(guò)程中的主觀偏好。為了解決上述問(wèn)題，本文提出一種基于前景理論和熵權(quán)法的交叉效率集結(jié)方法。首先，利用仁慈型交叉效率模型求解交叉效率值，運(yùn)用熵權(quán)法確定他評(píng)過(guò)程中評(píng)價(jià)單元的指標(biāo)權(quán)重。熵權(quán)法能夠充分利用交叉效率矩陣的信息，提升決策單元的辨別能力。然后，引入前景理論考慮決策者在交叉效率集結(jié)過(guò)程中的風(fēng)險(xiǎn)偏好，運(yùn)用TOPSIS方法識(shí)別正負(fù)參考點(diǎn)，定義加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣中每一行的最大值為正參考點(diǎn)，最小值為負(fù)參考點(diǎn)。在前景價(jià)值函數(shù)的基礎(chǔ)上，根據(jù)正負(fù)參考點(diǎn)，得到損失值和收益值。求解綜合收益損失值，得到?jīng)Q策單元的前景交叉效率矩陣；構(gòu)建最大化前景價(jià)值模型，求解集結(jié)權(quán)重，并用于集結(jié)交叉效率矩陣，得到?jīng)Q策單元的最終效率值及排序結(jié)果。具體步驟如下：

Step1求解CCR模型和仁慈型交叉效率模型，得到交叉效率矩陣{θij}n×n。

Step2使用熵權(quán)法，確定他評(píng)過(guò)程中評(píng)價(jià)單元的權(quán)重w=(w1,w2,…,wn)。

Step3構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣{eij}n×n。

(8)

Step4構(gòu)造加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣{xij}n×n。

xij=wj×eij.i,j=1,2,…,n

(9)

Step5確定正負(fù)參考點(diǎn)。運(yùn)用TOPSIS方法，確定正負(fù)參考點(diǎn)為:

(10)

Step6求解加權(quán)交叉效率矩陣的前景價(jià)值。根據(jù)前景理論，當(dāng)選擇正參考點(diǎn)時(shí)，決策者的主觀感受表現(xiàn)為相對(duì)損失；當(dāng)選擇負(fù)參考點(diǎn)時(shí)，則表現(xiàn)為相對(duì)收益。決策者主觀感受的損失值、收益值和綜合收益損失值分別為:

v′(xij)=v+(xij)+v-(xij)

(11)

為確保決策單元所有交叉效率的前景價(jià)值均為正數(shù)，本文借鑒文獻(xiàn)[17]方法，令v(xij)=v′(xij)+max{xi1,xi2,…,xin}-min{xi1,xi2,…,xin}以得到前景交叉效率矩陣{v(xij)}n×n。

Step7構(gòu)建最大化前景價(jià)值模型。在交叉效率評(píng)價(jià)過(guò)程中，決策單元的前景價(jià)值越高，那么被評(píng)價(jià)的決策單元的接受程度就越高，即決策者對(duì)交叉效率值越滿意[14,16]。因此，具有較高前景價(jià)值的決策單元應(yīng)被賦予較大的集結(jié)權(quán)重，且決策者希望決策單元的前景價(jià)值盡可能大?；诖?，構(gòu)建最大化前景價(jià)值模型：

(12)

其中，模型(12)的解為:

(13)

Step8集結(jié)最終交叉效率值，對(duì)決策單元進(jìn)行排序。將集結(jié)權(quán)重與原始交叉效率矩陣進(jìn)行計(jì)算，得到?jīng)Q策單元的效率值，并進(jìn)行綜合排序。

(14)

3 算例分析

3.1 問(wèn)題描述

本節(jié)將通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明方法的有效性。本文選擇文獻(xiàn)[10]的實(shí)例，該實(shí)例描述了具有兩個(gè)投入和兩個(gè)產(chǎn)出的工業(yè)機(jī)器人的技術(shù)數(shù)據(jù)，以評(píng)價(jià)27個(gè)工業(yè)機(jī)器人的效率。表1為27個(gè)機(jī)器人的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)，其中將成本(10000美元)和可重復(fù)性(毫米)視為投入，將裝載能力(千克)和速率(米/秒)視為產(chǎn)出。

表1 27個(gè)工業(yè)機(jī)器人的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)

3.2 交叉效率評(píng)價(jià)分析

本節(jié)采用提出的方法對(duì)表1的決策單元進(jìn)行效率分析。具體過(guò)程如下：

Step1求解決策單元的交叉效率。限于篇幅，交叉效率矩陣可見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

Step2求解評(píng)價(jià)單元的權(quán)重。根據(jù)公式(4～6)，得到評(píng)價(jià)單元的權(quán)重集w=(0.0582，0.1014，0.0194，0.1007，0.0642，0.0264，0.0204，0.0211，0.0300，0.0300，0.0204，0.0582，0.0400，0.0211，0.0194，0.0582，0.0194，0.0300，0.0204，0.0194，0.0194，0.1014，0.0194，0.0194，0.0211，0.0204，0.0204)。

Step3構(gòu)造加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣，根據(jù)公式(8～10)，識(shí)別出正負(fù)參考點(diǎn)。

Step4求解公式(11)，計(jì)算交叉效率的前景價(jià)值。表2僅展示前5個(gè)決策單元對(duì)所有單元評(píng)價(jià)時(shí)的前景交叉效率值。

Step5根據(jù)公式(12-13)，得到交叉效率的集結(jié)權(quán)重λ=(0.0244，0.0176，0.0456，0.0178，0.0227，0.0378，0.0447，0.0438，0.0361，0.0361，0.0447，0.0244，0.0306，0.0438，0.0456，0.0244，0.0456，0.0361，0.0447，0.0456，0.0456，0.0176，0.0456，0.0456，0.0438，0.0447，0.0447)。

Step6計(jì)算公式(14)，得到最終的交叉效率值。表3為決策單元的排序結(jié)果。

表2 前景交叉效率矩陣(部分)

表3 各決策單元最終效率值及排序結(jié)果

從表1中可以看出，決策單元DMU1，DMU4，DMU7，DMU10，DMU13，DMU14，DMU19，DMU20，DMU27的自評(píng)效率值均為1，因此無(wú)法對(duì)它們進(jìn)一步區(qū)分。在CCR模型中，決策單元會(huì)選擇最有利于自身的權(quán)重來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)，從而導(dǎo)致自評(píng)效率值過(guò)高，決策單元之間無(wú)法實(shí)現(xiàn)全面排序。表3為各決策單元的效率值以及排序結(jié)果，通過(guò)對(duì)27個(gè)決策單元的效率分析可知，DMU7為最優(yōu)決策單元，其次是DMU14。而DMU12的效率值最低，排在第27位。本文結(jié)合前景理論和熵權(quán)法對(duì)交叉效率進(jìn)行集結(jié)，通過(guò)構(gòu)建最大化前景價(jià)值模型求解集結(jié)權(quán)重，該方法能夠解決自評(píng)效率高估的問(wèn)題，并具備對(duì)決策單元進(jìn)一步區(qū)分的能力。

3.3 方法比較與分析

本節(jié)將與傳統(tǒng)的算術(shù)平均方法和文獻(xiàn)[10]中Wang提出的三種方法進(jìn)行比較分析，進(jìn)一步說(shuō)明本文方法的有效性。五種交叉效率集結(jié)方法的結(jié)果如表4所示。

通過(guò)不同方法的對(duì)比可知，五種方法的結(jié)果均表明最差的決策單元是DMU12。算術(shù)平均方法得出DMU14表現(xiàn)最優(yōu)，后四種方法的結(jié)果則表明DMU7是最優(yōu)單元。傳統(tǒng)方法對(duì)每個(gè)決策單元賦予相同的權(quán)重，并沒(méi)有考慮到?jīng)Q策單元之間的相對(duì)重要性。此外，該方法忽視了決策者在效率評(píng)價(jià)過(guò)程中的心理偏好。因此，采用算術(shù)平均方法集結(jié)交叉效率容易遺漏大量的決策信息。本文與Wang的方法得到的結(jié)果具有較高的一致性，主要原因是兩者均考慮了交叉效率集結(jié)的相對(duì)重要性權(quán)重。Wang分別根據(jù)不同評(píng)價(jià)單元提供的他評(píng)效率之間的相似性、評(píng)價(jià)單元提供的他評(píng)效率與被評(píng)價(jià)單元的自評(píng)效率之間的差異性以及綜合考慮相似性和差異性來(lái)確定集結(jié)權(quán)重。當(dāng)評(píng)價(jià)單元提供的他評(píng)效率與其他評(píng)價(jià)單元相比具有較高的相似性，或者與被評(píng)價(jià)單元的自評(píng)效率之間具有較小的差異性，則被賦予較大的權(quán)重。然而，這些方法忽視了決策者的偏好，無(wú)法反映決策者在效率評(píng)價(jià)過(guò)程中可能會(huì)面臨得失的心理行為。不同的是，本文通過(guò)定義正負(fù)參考點(diǎn)來(lái)反映交叉效率之間的差異性，求解交叉效率的前景價(jià)值以描述決策者的心理偏好；根據(jù)提供較高前景價(jià)值的評(píng)價(jià)單元應(yīng)當(dāng)被賦予較大權(quán)重的原則，求解集結(jié)權(quán)重。在Wang的三種方法中，DMU21分別排在第18位、第12位和第18位，而本文結(jié)果表明DMU21應(yīng)當(dāng)排在第15位。通過(guò)集結(jié)權(quán)重的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，DMU21在Wang的三種方法中權(quán)重值分別為0.0290、0.0499和0.0336，第一種和第三種方法權(quán)重相差較小，與第二種方法差異較大。本文求得權(quán)重為0.0456，與第二種方法相差不大，但明顯要大于另外兩種方法。因此，本文得到與Wang方法排序不同的結(jié)果。同理，在本文方法中，DMU25的集結(jié)權(quán)重為0.0438，而在Wang的方法分別為0.0713、0.0474和0.0656。因此，DMU25在Wang的方法中分別排在第12位、第15位和第12位，但在本文中排在第14位。與Wang的方法相比，本文既考慮了交叉效率集結(jié)的相對(duì)重要性權(quán)重，又將決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好納入到交叉效率集結(jié)過(guò)程中。因此，本文方法能夠更好地反映實(shí)際情況，具有較好的實(shí)用性。

表4 不同方法下決策單元的效率值及排序結(jié)果

4 結(jié)論

作為一種重要的評(píng)價(jià)方法，交叉效率的研究得到越來(lái)越多的關(guān)注。在交叉效率集結(jié)過(guò)程中，常用的方法是算術(shù)平均方法。然而，該方法忽視了決策單元之間的相互重要性，且未考慮決策者在效率評(píng)價(jià)過(guò)程中的風(fēng)險(xiǎn)偏好。針對(duì)該問(wèn)題，本文提出一種基于前景理論和熵權(quán)法的交叉效率集結(jié)方法。該方法首先利用熵權(quán)法確定他評(píng)過(guò)程中評(píng)價(jià)單元的指標(biāo)權(quán)重；然后，引入前景理論來(lái)反應(yīng)決策者在交叉效率集結(jié)過(guò)程中的風(fēng)險(xiǎn)偏好，利用TOPSIS方法識(shí)別正負(fù)參考點(diǎn)，求解前景交叉效率矩陣；最后，構(gòu)建最大化前景價(jià)值模型，求解集結(jié)權(quán)重以得到?jīng)Q策單元的最終效率值。在本文方法中，熵權(quán)法充分利用交叉效率矩陣的信息，提升決策單元之間的辨別能力。引入前景理論，定義新的參考點(diǎn)，以考慮決策者在效率評(píng)價(jià)過(guò)程中的風(fēng)險(xiǎn)偏好。因此，本文方法不僅能夠?qū)崿F(xiàn)決策單元的全排序，而且能更好地反映實(shí)際情況。本文研究的是輸入輸出數(shù)據(jù)為確定值，并且需要考慮決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好的效率評(píng)價(jià)問(wèn)題。但現(xiàn)實(shí)生活中的輸入輸出數(shù)據(jù)可能是不確定的，決策者也可能面臨模糊的環(huán)境。因此，未來(lái)將研究不確定性條件下的交叉效率方法。