齊小軍

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅 天水 741001)

0 引言

積分是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)中積分又分為定積分，重積分，曲線積分和曲面積分等．曲線積分是其中的一個(gè)難點(diǎn)，其內(nèi)容抽象，計(jì)算方法多樣．曲線積分又分為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分和對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，很多文獻(xiàn)[4-7]對(duì)這類(lèi)積分做過(guò)較為細(xì)致的研究．在高等數(shù)學(xué)中，隨著積分內(nèi)容的深入，積分之間聯(lián)系越來(lái)越密切，難度也在加大．本文主要討論對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算，以及探討在計(jì)算中的簡(jiǎn)便方法．

1 一般曲線上的對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

在上述問(wèn)題中，我們也可以通過(guò)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)，將問(wèn)題化為某一坐標(biāo)面上的定積分．通過(guò)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)有時(shí)還可將曲線化作較簡(jiǎn)單曲線，簡(jiǎn)化計(jì)算．

通過(guò)做坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)，在新的坐標(biāo)系下使曲線變?yōu)檩^簡(jiǎn)單的曲線方程，對(duì)曲線方程引入?yún)?shù)方程，計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，這不失為一種新的處理曲線積分問(wèn)題的方法．在某些情況下可考慮這種方法．

將曲線積分轉(zhuǎn)化為某一參量的的積分，這里的計(jì)算會(huì)依賴(lài)于曲線方程的簡(jiǎn)易程度，也可以轉(zhuǎn)化為對(duì)變量x或變量y的定積分．一個(gè)自然的想法是能否將對(duì)不同坐標(biāo)的積分轉(zhuǎn)化為對(duì)其中一個(gè)坐標(biāo)的曲線積分．

同樣也可轉(zhuǎn)化成對(duì)y坐標(biāo)的積分，計(jì)算難易程度相同．對(duì)于上述積分如果通過(guò)兩類(lèi)曲線積分間的等式轉(zhuǎn)變成對(duì)面積的曲線積分，其最終還是化成了對(duì)某一變量的定積分，這跟上述作法如出一轍．反過(guò)來(lái)，如果將對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分轉(zhuǎn)化成對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，在這種情況下可能簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程．

2 封閉曲線上的對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

前面，我們將曲線積分轉(zhuǎn)變?yōu)槎ǚe分，同樣也可轉(zhuǎn)化成重積分．假設(shè)區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P(x,y)，Q(x,y)在閉區(qū)域D上有一階連續(xù)的偏導(dǎo)，則有Green公式

[2]，其中L是D的取正向的邊界曲線．

問(wèn)題2 計(jì)算

其中L是沿曲線y=x2由點(diǎn)A(1,1)到點(diǎn)O(0,0)的一段．

在y軸的點(diǎn)B(0,1)處連接OB,AB．于是可得由曲線y=x2以及坐標(biāo)軸y和直線段y=1所圍成的一個(gè)二維封閉圖形D，在區(qū)域D上使用Green公式，于是有

在直線段AB上dy=0，于是

-6-e.

在直線段BO上dx=0，于是

=sin1

由Green公式

于是I=-3-e+sin1.

同樣，上述問(wèn)題也可利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件轉(zhuǎn)化成折線路徑求解．

而積分

由此，利用恰當(dāng)條件可使計(jì)算簡(jiǎn)化，當(dāng)然這種方法適合區(qū)域D是單連通域，并且滿(mǎn)足積分與路徑無(wú)關(guān)的條件．

前面我們將平面閉曲線上的曲線積分轉(zhuǎn)化成重積分，但對(duì)于空間閉曲線上曲線積分，我們可以將其表示成空間曲面上的曲面積分．利用Stokes公式就可將曲線積分表示成曲面積分．在某些情況下，這樣的做法可極大的簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程．

其中，Γ為分段光滑的空間有向曲線，Σ是以Γ為邊界的分片光滑的有向曲面并且Γ的正向與Σ的側(cè)符合右手法則．

問(wèn)題3 計(jì)算積分

上述問(wèn)題同樣也可利用空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，轉(zhuǎn)變?yōu)榍‘?dāng)方程求解．

(z2-xy)dz成立．于是積分

可以看出，使用恰當(dāng)方程解題過(guò)程更簡(jiǎn)單．

至此，我們討論了關(guān)于對(duì)坐標(biāo)的曲線積分在兩種曲線類(lèi)型下計(jì)算的部分問(wèn)題，包括曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分，曲線積分的向量形式，兩類(lèi)曲線積分的相互轉(zhuǎn)化，曲線積分和重積分以及曲線積分和曲面積分之間相互轉(zhuǎn)換，曲線積分在二維平面閉區(qū)域，三維空間區(qū)域上積分與路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題的計(jì)算，每一種問(wèn)題的解決方法都有各自的特點(diǎn)，可以看出曲線積分跟積分曲線，被積表達(dá)式的關(guān)系密切．同一種問(wèn)題用多種方法都可以加以解決，但處理的過(guò)程有難易區(qū)別．在使用這些方法時(shí)要注意他們各自適用的條件．也可以通過(guò)被積函數(shù)的奇偶性，曲線的對(duì)稱(chēng)性等靈活處理．